二维联合概率密度：每一点是一组 (S, R)
蓝色越深，概率密度越高。红色斜线区域满足 R＜S；失效概率是该区域内密度的积分。
坐标与颜色量程固定；色标使用对数刻度。图窗仅截取分布的一部分，概率数值按完整分布计算。
失效概率 可靠指标
作用与可靠度 · 参数实验
抗力—作用效应与失效概率
直接在二维平面里看抗力 R 与作用效应 S 的组合。改变均值、波动或相关性，观察概率密度怎样进入 R＜S 的失效域。
完全离线 · 固定随机种子
基准参数
均值与离散程度共同决定失效域中的概率质量
初始参数取平均抗力 10、平均作用效应 6，标准差分别为 1.50 和 1.20。后续图形在同一坐标、同一失效边界下显示均值、标准差和相关系数变化，所有结论均以计算结果为依据。
概率分布
先看联合分布，再看失效域
展开辅助视图三维曲面、抽样点与差值分布；一维边缘曲线仅作对照
联合概率密度曲面
曲面峰值对应概率密度较高的参数组合；红色区域表示联合分布越过 R = S 极限状态边界的尾部。
拖动旋转 · 滚轮缩放 · 双击复位
R ≥ S：安全侧R < S：失效侧
联合密度曲面、平面等高线与差值分布表示同一概率模型
联合密度等高线与随机样本
横轴为作用效应，纵轴为抗力；椭圆表示联合概率密度等高线，R = S 直线下方为失效域。
R ≥ S：安全域R < S：失效域
—
功能函数 Z = R − S 的分布
横轴为抗力与作用效应之差。Z < 0 与联合分布中 R = S 直线下方的失效域相对应。
联合分布中的失效样本与差值分布中 Z < 0 的概率质量相互对应。
一维边缘分布：两条曲线的重叠面积不是失效概率
抗力与作用效应的边缘分布
青色曲线表示抗力，红色曲线表示作用效应。这两条曲线仅分别说明 R 和 S 的边缘分布，不能确定二者的相关性。两条曲线的重叠面积不是失效概率。图示抗力的5%分位点也不等于结构可靠度要求。
抗力 R荷载 S
一维曲线的面积为 1；特征值右侧的青色面积为 95%
结果解释
可靠指标与失效概率
可靠度由均值差和随机变量的离散程度共同决定。
平均抗力大于平均作用效应只反映两个分布中心的相对位置；分布尾部仍可能进入失效域。离散程度增大时，越过极限状态边界的概率质量可能增加，因此应同时考察均值、标准差与相关性。
同一分析框架可用于其他“能力—需求”问题，但其概率分布、相关性和越界后果必须依据相应对象重新确定。
保持均值不变时，增大标准差会加宽分布，并改变越过极限状态边界的概率质量。
可靠指标 β—
理论失效概率 Pf—
样本失效次数—
样本比例置信区间—
理论值描述给定分布；样本值只描述这一批有限抽样。样本数很少时，即使理论概率不为零，也可能一次都没有抽到。
进阶：公式和这个模型的适用边界
功能函数、可靠指标与失效概率
Z = R − SσZ = √(σR² + σS² − 2ρσRσS)β = (μR − μS) / σZPf = Φ(−β)
初始情形取 ρ = 0，R 与 S 相互独立，所以 σZ = √(σR² + σS²)。“可靠指标 β”就是均值差里能放下多少个“差值的标准差”；Pf 是 Z < 0 的理论概率。