# 悬臂施工阶段内力与上部配筋：来源与计算说明

本模块是单墩两向完全固结悬臂的解析教学模型，采用原创 SVG。它不读取既有 Godot 模型的几何或内力，不是实桥施工验算。

## [1] 悬臂束的位置

FHWA，*Guidelines for Sampling, Assessing, and Restoring Defective Grout in Prestressed Concrete Bridge Post-Tensioning Ducts*，FHWA-HRT-13-028，2013 年 10 月。第 3 章 “CIP Segmental Balanced Cantilever Bridge” 和 “Precast Segmental Balanced Cantilever Bridge” 说明：悬臂束通常位于顶板内、腹板上方；悬臂束与成桥连续束的用途和位置不同。

- [FHWA 官方全文 HTML](https://www.fhwa.dot.gov/publications/research/infrastructure/structures/bridge/13028/index.cfm)
- [官方 PDF，含勘误](https://www.fhwa.dot.gov/publications/research/infrastructure/structures/bridge/13028/13028_errata.pdf)

本图仅依据上述构造关系绘制位置示意，没有复制报告照片或施工图。钢筋和钢束的根数、间距、锚固及张拉不在计算范围内。

## [2] 悬臂弹性挠度

MIT OpenCourseWare，*1.050 Solid Mechanics, Fall 2004 — Chapter 10: Deflections due to Bending*。印刷页 268（PDF 第 6 页）列出端集中力、均布荷载悬臂的弹性挠度解；第 269 页说明线性解叠加；第 264 页给出小位移、小转角下的弯矩—曲率关系。

[MIT 官方 PDF，第 6 页](https://live.ocw.mit.edu/courses/1-050-solid-mechanics-fall-2004/f9a4d5764b9b0f51ffaacbdf69f7aed8_emech10_04.pdf#page=6)

## 模型与单位

每侧为等截面、线弹性、小挠度 Euler–Bernoulli 梁；固定墩顶位移与转角。给定 $q=120\ \mathrm{kN/m}$，$E=35\ \mathrm{GPa}$，$I=10\ \mathrm{m^4}$，$EI=3.50\times10^8\ \mathrm{kN\cdot m^2}$。基准悬臂长由 6 m 增至 30 m，领先一侧另加 3 m；各侧端荷载为 0 或 200 kN。

长度用 m，荷载用 kN、kN/m，弯矩用 kN·m；计算挠度为 m，显示为 mm。主图梁厚、墩高及配筋截面尺寸是示意，不用于生成计算用 $I$。未计开裂导致的刚度变化、剪切变形、墩身和基础变形。

## 解析式与符号

局部坐标 $s$ 自根部向外，$0\le s\le L$。下缘受拉弯矩为正，挠度向下为正：

$$
M(s)=-\frac{q(L-s)^2}{2}-P(L-s),
$$

$$
w(s)=\frac{qs^2(6L^2-4Ls+s^2)}{24EI}
+\frac{Ps^2(3L-s)}{6EI}.
$$

全局坐标 $x$ 向右；左臂 $s=-x$，右臂 $s=x$。按 $V=\mathrm{d}M/\mathrm{d}x$，左臂 $V=-[q(L-s)+P]$，右臂 $V=+[q(L-s)+P]$。有端荷载时，自由端内侧剪力为 $\pm P$，越过端荷载后归零。全局曲率关系为 $EI\,\mathrm{d}^2w/\mathrm{d}x^2=-M$。

令 $B_L$、$B_R$ 为两侧根部负弯矩的绝对值，墩顶对梁的合反力矩（逆时针为正）为

$$C=B_R-B_L.$$

两侧平衡只使 $C=0$，并不使各侧根部弯矩为零。竖向反力为 $R=q(L_L+L_R)+P_L+P_R$。

纯均布荷载下，长度加倍时根部弯矩、剪力、端挠度分别变为 4、2、16 倍；纯端集中荷载下分别为 2、1、8 倍。实际受力模型中的外荷载负弯矩给出上缘受拉趋势；施加预应力后的总应力未在本模块计算。

## 图形比例与阶段边界

图形固定横向比例为 12 SVG 单位/m。弯矩、剪力比例分别为 0.0009 SVG 单位/(kN·m)、0.012 SVG 单位/kN；随阶段不变。挠度相对于真实长度固定放大 60 倍。

进度连续插值当前长度，未模拟实际分段浇筑时序。各阶段挠度是当前荷载对假定直线悬臂的弹性解，不是节段累计安装线形；不含预拱度、龄期、收缩徐变与张拉过程。模块止于合龙前，未用成桥内力覆盖施工历史。

## 核验记录

2026-10-19，独立数值积分、有限差分与解析端点核验通过 909 个模式阶段组合。范围包括反力与整体力矩平衡、固结端位移和转角、自由端边界、全局弯矩—剪力关系、曲率、长度倍率、正反阶段一致性。实际桌面浏览器另核正反播放、端点自动停止、暂停、模式联动和显示数值。

配套记录位于 `修订记录/梁桥施工受力与独立动画_20261019/cantilever/`。完整来源元数据为 `sources.json`，解析核验结果为 `analytic-validation.json`。