# 第一条：弯曲—剪切—弯剪共同作用—RC/PC

本资源是原创解析教学例题。学生始终操作同一根三维矩形简支梁，先看跨中正弯矩，再到近支点但避开局部区看剪切，最后看同一点主应力、主拉方向与潜在裂缝方向；随后用受拉钢筋、箍筋和预应力解释设计如何回应。

## 运行与文件

- 以正式教材根目录或工作区根目录启动 HTTP 服务，打开 `index.html`。本页复用 `../../vendor/` 的 Three.js 与 OrbitControls，无联网依赖；`file://` 下浏览器的 ES 模块限制可能阻止加载。
- `calculations.js` 仅保存分析参数与解析计算；`app.js` 负责独立显示层，不把透视、钢筋放大或选中位置反馈成物理尺寸。
- `verify.mjs` 用 Node 运行，输出 `verification.json`：数值积分恢复截面合力、微分平衡、主应力特征向量、换算截面相容与平衡、PC 叠加等独立核验。
- 本页是使用阶段弹性/开裂弹性概念桥接，不是极限承载力等效矩形压区设计。配筋与承载设计仍需完整题目与规范。

## 教学参数与数值

全部数值为明确教学假定，不对应某座真实桥。几何 L=20 m，b=0.60 m，h=1.20 m，A=0.72 m²，I=0.0864 m⁴。混凝土容重25 kN/m³→自重18 kN/m；附加恒载8 kN/m；车辆仅以10 kN/m均布作用表示，并未画一辆与该荷载不一致的汽车。

Ec=30 GPa，Es=200 GPa；8Φ32，As=0.00643398175 m²，d=1.10 m；起裂指标ft=2.4 MPa、钢筋教学屈服值400 MPa。**这些数值不是一个规范混凝土或钢筋牌号，也不是材料设计强度。**

裸梁跨中 M=900 kN·m，毛截面上缘−6.25 MPa、下缘+6.25 MPa。因此默认自重工况已超本页起裂指标。全梁参与解释的区段中任一截面超阈值，就把整个弹性场标成“起裂前模型外推，非裂后真实应力”；不能因为某一点击点尚未到ft，就宣布梁未裂。

PC 取直线向下偏心束，输入给定有效预力 Pe=3000 kN、e=0.35 m。界面从“自重＋给定有效预力”开始，比较再计附加恒载、再计车辆三个**独立弹性工况**。最终跨中 N=−3000 kN、M=750 kN·m，上缘−9.375 MPa、下缘+1.041667 MPa。API 内保留 Pe=0 的 stage0，仅供基线叠加检查；界面不把它编成“先开裂再张拉恢复未裂”的历史。

## 坐标、正号与公式

物理坐标 x 桥向、y 横向、z 竖向，z=0 为毛截面形心。渲染坐标通过唯一映射 `(x−L/2,z+2,−y)` 转换。拉应力为正；正弯矩使上缘受压。V定义为左反力减左侧均布荷载，所以 **+x面沿+z的柯西剪应力 τxz=−VQ/(Ib)**。

- N=−Pe，M=q x(L−x)/2−Pe e，σx=N/A−Mz/I。
- 矩形 τxz=−1.5V/A·[1−(2z/h)²]，σz=0。
- σ1,2=(σx+σz)/2±√[((σx−σz)/2)²+τxz²]。
- θ1=0.5 atan2(2τxz,σx−σz)，从+x向+z量；金色方向是σ1法向。深色潜在裂缝迹线与它垂直。深色短线仅表示方向，不是求解得到的裂缝。

主应力解释仅适用所述梁理论、平面应力和起裂前材料假定。潜在裂缝面法向与最大主拉方向一致，是理想化脆性起裂关系；钢筋混凝土裂后受力、裂缝宽度、间距和扩展不能从这条线推出来。支承和锚固局部区不适用，本页可选截面距端部≥2h也不意味着已经完成D区边界精确识别。

## 未裂与开裂 RC：独立截面模型

只接受纯正弯矩、不计轴力。n=Es/Ec。未裂用 `n−1` 钢筋补充面积，扣除钢筋占位的混凝土；c按换算面积形心求解，I计平行轴项。**钢筋和周围混凝土同一高度应变相同，线弹性应力比为n，不是应力相同。**

开裂时忽略全部受拉混凝土，不含张拉刚化：`bc²/2=nAs(d−c)`，`Icr=bc³/3+nAs(d−c)²`。由κ=M/(EcIcr)和相容求钢筋应变、钢筋应力；压区合力等于钢筋拉力，力偶恢复外弯矩。此时关闭毛截面应力颜色层，只显示压区、中性轴和受拉钢筋。沿高度仍可检查应变，拉区混凝土应力显示0。模型没有引入裂后剪力传递、塑性或疲劳。

## 材料关系与显示

混凝土受拉只画到ft/Ec=80με的教学弹性线，不延伸成裂后真实应力；钢筋图用弹性—理想塑性概念关系。换算截面计算采用弹性钢筋，超过400 MPa会明示计算范围越界。

钢筋圆柱显示直径放大2倍；箍筋、束和箭头是识别用显示几何，不用于确定保护层、孔道净距或锚固设计。实体梁真实20×0.6×1.2 m；人物1.70 m作为统一比例参照。不进行实体有限元分析。

### 解析弯曲形变与平截面标记

“弯曲”步骤默认显示原位梁与形变叠影，其他毛截面步骤可以手动勾选；RC换算截面步骤禁用并关闭。以向下挠度v为正，简支均布梁与恒定偏心预力的闭式叠加为：

`v(x)=q x(L³−2Lx²+x³)/(24EcI)−Pe e x(L−x)/(2EcI)`。

竖向位移`w=−v`，截面转角`θ=dw/dx`。显示层把w与θ同时放大50倍，将每个保持平面的截面整体平移和转动，生成三维梁叠影；上、下缘与形心纤维、若干原位/转动后截面标记均随这一解析场移动。叠影只画弯曲，不画预力引起的轴向缩短；不是实体有限元变形。

倍率不进入分析API，微应变和MPa读数保持真实计算尺度。裸梁自重的毛截面弹性跨中挠度为14.467593 mm（画面50倍）；PC服务工况为8.680556 mm。由于裸梁已越过本题起裂指标，前者明确为起裂前模型外推，不代表真实开裂RC梁的实际挠度。RC步骤关闭该叠影，避免继续使用毛截面刚度。

验证包括端点挠度、跨中转角、对称性、`5qL⁴/(384EcI)`、预力常弯矩项、闭式导数恢复转角与曲率`M/(EcI)`，以及荷载和跨径比例。

## 施工与设计接口

真实施工会改变支点、材料龄期、几何与预力。本页只比较同一支承下的独立弹性工况，未模拟浇筑硬化、架设、张拉损失、徐变收缩或支点转换。与教材施工过程资源联读，不能把本页状态按钮当完整施工历史求解。

箍筋已在三维梁内显示，用于认识裂后传力与锚固问题；本页不以σ1计算箍筋数量。下一步设计应检查承载能力、正常使用、作用组合、耐久和构造；不输出“安全/合格”。