# 自激力：从静力扭转发散到动力失稳

备课整合稿 v5｜2026-10-16｜建议 45 分钟

本稿按语音语境将“四级力”理解为“自激力”，“智慧环”理解为“滞回环”，“主振项”理解为“阻尼项”。以用户提供的《10 (1).pdf》、我来课程资料与既有静风课堂为主，补充概念核查。PDF 页码均为文件实际页序，不是幻灯片内的页码。

**整节课只围绕一个问题：平均风不随时间变化，为什么桥梁仍可能越振越大？**

回答分两步：结构运动改变相对来流和绕流，从而改变气动力；气动力再反过来影响结构运动。静力失稳看小偏转后的恢复能力，动力失稳看振动中的能量收支与耦合系统稳定性。

## 1. 我来中已有材料，可以怎样用

| 已核实的来源 | 可复用内容 | 本次处理 |
|---|---|---|
| [2026秋课程资料](https://www.wolai.com/27sTG7vvF7FU7tMkesVauS) → 程序和参考 → 自激振动—颤振 | `self_excited.mlx`；四份 Ur=1、16 × 扭转、竖向强迫振动时程；`tacoma_total` 时程 | 是本节最直接的材料。现有本地归档已提取讲稿和程序，能接续旧课 |
| 同页 → 参考阅读 | 泰勒展开与自激力、静力扭转发散的关联；桥梁风工程参考书 | 用作“同一种线性化方法，作用在不同变量上”的收束 |
| [2025秋课程资料](https://www.wolai.com/kpY43KZmdizcoEEgKT1Lt9) | 自激力主题、对应旧课件目录及程序资料 | 用于对照旧课程组织，不重复堆积相同内容 |
| [2025 桥梁抗风毕设题目](https://www.wolai.com/1bwySt9n3hQcxdnNKYcRQd) → 颤振导数说明 | 钝体/流线型断面比较、强迫运动 CFD、导数识别与临界风速分析流程 | 可放在课末作为研究入口。原文“精确临界风速”等表述应改为“在给定模型和验证条件下的估计” |
| 本地《静风效应_交互课堂.html》 | 平衡转角、力矩斜率、气动与结构力矩曲面、平衡点附近线性化 | 开头复用 5 分钟。旧页沿净力矩播放的是静力趋势，不能当作真实振动时程 |
| 本地 `mean_wind_load.m` 的五点攻角表 | α = −10°、−3°、0°、3°、10° 的原课程 Cd、Cl、Cm 给定值 | 原表未说明截面归属、坐标与参考尺度，可作来源补充；本次交互受力图使用明示教学曲线，未把原表当作已验证实测数据 |
| 用户 PDF 第 9–27、34–37 页 | 相对运动、准定常、强迫振动、非定常自激力、耦合失稳 | 作为本节主骨架；公式与术语修正见第 5 节。第 38 页为空白 |

四份强迫振动材料在原讲稿中明确称为 **CFD 分析**，不是风洞实测。扭转两组规定转角幅值 3°；竖向两组规定运动引起的最大等效攻角约 3°，因此高频组位移幅值更小，不是等位移幅比较。

原始文本中的 `Wind=20` 与竖向位移 `UY` 尚缺明确单位约定；本次不据此输出真实气动能量或实桥临界风速，原始数据比较限于已确认的相对变化与相位关系。

本地材料入口：旧讲稿提取文本（原课程归档：`../source_archive/extracted_matlab/self_excited.full-text.txt`）、静风教师说明（原课程归档：`静风效应_教师说明.md`）、[课堂演示](self-excited.html)。

## 2. 建议讲授顺序

| 时间 | 这一段要讲清什么 | 展示与课堂提问 | 对应 PDF |
|---|---|---|---|
| 0–5 分钟 | 静力扭转发散是恢复刚度被削弱 | 旧静风网页：固定风速后轻轻扭偏。“松手以后，新增净力矩把它拉回来还是继续推走？” | 2–3 页；承接上节 |
| 5–12 分钟 | 先认静态三分力，再看运动怎样改变相对来流 | 读静态图谱；先看二维地面运动，再减去桥心速度，最后将桥与风一起转正；三维用于定位跨中截面 | 9–16 页 |
| 12–20 分钟 | 准定常：用瞬时相对状态查静态气动力关系 | 四帧中，上图看地面真实运动，下图看水平桥面的等效静风；再增加到八帧与连续，查系数并排成时程 | 17–20 页 |
| 20–28 分钟 | 真实非定常力不能只靠一条静态曲线 | 固定运动形式，比较不同频率的 CFD 时程与滞回图；区别“规定怎样动”和“放开以后怎样动” | 21–24 页 |
| 28–37 分钟 | 同频位移项、速度项及其做功怎样对应 | 先停在最高点与过零位认极值，再看合力峰值和二倍频偏离；最后逐段把做功相加 | 25、34、37 页 |
| 37–45 分钟 | 线性化给出失稳起点；耦合问题需要整体判定 | 自由响应演示比较衰减、等幅、增长；最后展示两自由度方程 | 26–27、35–37 页 |

如果只讲 25 分钟：静风回顾 3 分钟，相对风与准定常 7 分钟，CFD 对比 5 分钟，滞回与等效阻尼 7 分钟，静力/动力对照 3 分钟。Scanlan 八个导数放教师补充，不在第一轮逐个背诵。

## 3. 可以直接使用的课堂讲解

### 第一段：从“扭偏一点”接到“振动一周”

“上一节我们把风看成一个平均作用。桥面会转到一个平衡位置。现在从这个位置再扭一点，结构抗矩会增加，气动力矩也会变化。谁增加得更快，决定这个小偏转能不能被拉回来。

今天我们再让它动起来。风速仍然可以保持不变，但桥面向上、向下运动时，它感受到的相对风已经不同。所以，平均风下的气动力也可以随结构运动变化。我们把其中由结构运动引起的增量称为自激力。”

板书先写平衡，再写增量。取桥轴方向长度为 ℓ 的节段，扭转角 θ 与气动力矩 M 均以逆时针为正，Q=½ρU²B²ℓ。先把气动力矩一般地记为 M_a(θ;U)，以 R(θ) 表示结构抗矩：

\[
R(\theta_e)=M_a(\theta_e;U),\qquad
k_{\rm eff}=R'(\theta_e)-\left.\frac{\partial M_a}{\partial\theta}\right|_{\theta_e}.
\]

与网页统一采用 α=β−θ。静风方向 β=α₀ 时，平衡攻角 α_e=α₀−θ_e；若 M_a=Q C_m(α₀−θ)，链式求导得到 ∂M_a/∂θ=−Q C'_m(α_e)。因此，对攻角求导和对结构转角求导不能混用。网页静力示例的 a 指对 θ 的力矩系数导数，故写成 M_a=Qaθ，k_eff=k−Qa。

在标量局部模型中，k_eff>0 表示有恢复趋势；k_eff=0 表示一阶恢复能力消失；k_eff<0 表示扰动被放大。不能把“存在代数平衡点”直接等同于“平衡稳定”。

**关于 U² 的一句修正：** 固定姿态、固定气动力系数时，荷载随动压 U² 变化；允许结构扭转并改变攻角后，平衡转角通常不再严格正比于 U²。

### 第二段：桥面往上走，相对风就多了一个向下分量

先在第 02 页的静态图谱停下来：“先别让桥面动。这里三张图的横坐标都是风攻角 α，纵坐标分别是升力、阻力、气动力矩系数。每条曲线下面画同一个水平桥面：风从上面吹下、水平吹来、从下面吹上。曲线上的点，就是下方这个静止工况对应的系数。”

“升力的正方向是相对来流逆时针转 90°，在这里主要朝上；CL 为负，实际力就向反方向。阻力沿来流吹去的方向，不是迎着来流。气动力矩绕截面中心转，正方向取逆时针。升力与全局竖向力只有在特定姿态下才相同，后面还要做坐标投影。”

本次图谱统一采用教学曲线：

\[
C_L=2\pi\alpha,\qquad C_D=0.4+2\alpha^2,\qquad C_M=-0.12\alpha.
\]

α 代入弧度，ρ = 1.225 kg/m³，B = 6 m，全部按桥宽归一；每延米 L=qBCL、D=qBCD、M=qB²CM。静态水平桥面 θ=0 时 α=β。让学生固定 α=+8°，把实际风速从 20 改为 40 m/s：系数与曲线不变，动压和非零三分力增为四倍。不要让“系数曲线”与“有量纲力随风速变化”混为一张图的意思。下方箭头显示方向，大小以联动读数为准。这些是教学关系，不是实测某桥气动参数。

这里 CM 对 α 的斜率是 −0.12/rad；由 α=β−θ，水平风下对 θ 的斜率为 +0.12/rad，与前一页发散示例的增量反馈符号一致。旧静风课件若按高度 H 定义阻力系数 CD,H，则必须先换为 CD,B=(H/B)CD,H，再使用本节共同的 B 基准。

“我们不需要先让自然风上下摆动。只要桥面自己向上运动，站在桥面上看，空气就有一个相对向下的速度。水平风和这个竖向相对速度合成，形成新的相对风方向。”

第 02 页的运动模式默认显示二维截面，先逐格讲清三个观察步骤；需要交代截面来自哪里时，再切“看三维全桥”，辨认跨中蓝框后用“取跨中截面，转成二维”回来。两种画面保持同一相位。

“第一格固定在地面上看：桥在动，平均风仍然水平。第二格跟着桥心平移，但坐标轴仍和地面保持同一朝向：把桥心速度从空气速度里减去，这时看到相对风 β，桥面仍倾斜 θ。第三格把整幅相对图转过 −θ：桥面摆平，来流角变成 α=β−θ。相对风速大小没变，风与桥的夹角也没变，只是换成了便于查静态曲线的表示。”

图中 +D 顺着相对风，+L 与它垂直；风轴随着相对风一起转到桥面坐标。这两个箭头先表示正方向，不能把它们与实际正负荷载混淆。四个关键时刻都可点击暂停。纯竖向振动时，最高点和最低点速度为零，等效风水平；向下过零位时相对风向上，向上过零位时相对风向下。纯扭转时桥心不平移，桥心 β=0、α=−θ，因此把桥摆平后，桥心来流方向与原桥面倾角反号；这只描述中心姿态，尚不能代替截面两侧因角速度而不同的局部来流。

三维画面可用俯视观察顺风侧弯，用跨中截面观察竖向运动与扭转，再回到立体理解沿跨变化。相机转动只改变观看角度，不改变所选风与运动。橙色风迹表示给定来流，不是绕流计算结果。

统一用空气相对结构的速度：

\[
\boldsymbol V_{\rm rel}=\boldsymbol V_{\rm air}-\boldsymbol V_{\rm deck}.
\]

为避免混淆，本段先把桥面固定为水平，只保留竖向位移 h（向上为正）。空气速度为 (U,w)，桥面速度为 (0,ḣ)：

\[
\boldsymbol V_{\rm rel}=(U,w-\dot h),\qquad
\beta=\operatorname{atan2}(w-\dot h,U).
\]

静止、均匀水平来流 w=0 时，小角度有 β≈−ḣ/U。β 是相对速度矢量与水平线的夹角；取 θ 逆时针为正，则统一攻角为 α=β−θ，水平桥面 θ=0 时 α=β。采用具体气动力系数表时，还须按它的攻角正向转换。加上扭转以后，截面各点速度还包含转动速度，不能只用中心点 ḣ 代表所有局部运动。

接着专门停在扭转的两个时刻：“最大转角时，桥面很斜，但角速度为零；水平经过时，桥面看着摆正了，却转得最快。θ 管姿态，θ̇ 管两侧怎样运动，它们不是同一件事。”

若截面内某点相对桥心的位置为 r=(rₓ,rₕ)，θ̇ 以逆时针为正，则该点结构速度为 (ẋ−θ̇rₕ, ḣ+θ̇rₓ)，局部相对风为：

\[
\boldsymbol V_{\rm rel}(r)
=\big(U-\dot x+\dot\theta r_h,\;w-\dot h-\dot\theta r_x\big).
\]

桥面水平时，左右两侧 rₓ 异号，角速度产生的竖向速度方向相反。把每个局部速度都转到桥面坐标后，两侧的局部风仍然不同，不能同时用一支均匀的桥心风矢量代表。第 02、03 页的局部来流图用于展示这一点；由单个 α 查静态力只是中心姿态近似。第 03 页取桥面轴上距桥心 r=−3、0、+3 m 的三点；旋转到桥面坐标后，Vx(r)=U cosθ−ḣ sinθ、Vz(r)=−U sinθ−ḣ cosθ−rθ̇，各点分别有自己的 Vr、αr。这是运动学关系，不能把静态全截面 CL 简单分到各点后积分，就宣称得到了完整非定常扭转力。要描述动态扭转气动力，还需识别角速度相关作用，并在耦合问题中考虑其他运动分量。

“这里的竖向相对风并不自动等于一个竖向阻力。我们还要计算升力和阻力，再把它们投影到结构坐标上。”

顺风侧弯的跨中平移若记作 x(t)，则相对来流为 (U−ẋ,−ḣ)。纯顺风移动、桥面水平且自然风水平时，相对风速改变而 α=0。纯竖向小速度运动满足 Vrel=U+O(ḣ²/U)，其一阶主要变化是攻角 β≈−ḣ/U。这里“侧弯”特指沿横桥平均风方向的水平弯曲，不能混同竖向弯曲。

### 第三段：先用静态关系，得到速度相关的反馈

在第 02 页先补上结构这一步：跨中一小段用质量 m 和等效竖向弹簧 k 概括，h 从静平衡位置量，结构恢复力为 −kh。最高、最低处瞬时速度为零，但恢复力最大；经过中间时恢复力增量为零，桥面靠惯性继续走。这里把结构恢复力、运动速度、气动力分开画，不由规定等幅运动判断稳定性。

对竖向运动，用“站在地面看”“随桥一起上下移动”“把相对斜风配给静态模型”取代抽象的观察坐标术语。桥面本来就水平，无需旋转；速度拼图为水平 U 加竖向 −ḣ。局部风向由速度决定，并不是桥的竖向位移本身直接变成了风攻角。

网页新增荷载投影卡：L = ½ρV²B C_L(α)，D = ½ρV²B C_D(α)，地面竖向力 F_y = L cosα + D sinα。相对来流变斜后，阻力也有竖向分量。零攻角附近的最后线性式为 δF_y = −½ρUB[C′_L(0)+C_D(0)]ḣ。先讲 C′_L 是斜率、C_D 是值，再引出等效气动阻尼；不要把两者都写成同一个静态系数。所有系数须用相同参考宽度 B，斜率按弧度定义。

“最简单的想法是：虽然结构在动，但每一瞬间，我们都用这个相对风速和攻角，到静态三分力曲线上查一个气动力。这就是准定常近似。它忽略的是流场对过去运动的记忆，不是说结构没有运动。”

第 03 页仍保留“地面看—随桥心平移—随桥面转轴”三步。先暂停并只看一个时刻：最后一格必须是水平桥面，以同一相对风速 V 和攻角 α 给定定常来流。默认四帧里，每格上面画真实运动状态，下面画桥面摆平后的静态工况；让学生逐格说出 β、θ、α，并指出静态曲线上的 CL。所有下图的桥都水平，区别在于风速和来流角。扭转与组合运动另列左、中、右三点的局部来流；此时查表横坐标标为桥心 αc，明确它只代表中心姿态近似。

再从四帧增加到八帧和连续（也可退到一帧）：“每一刻都先做这样的坐标转换，再查一个静态力，把这些力按时间接起来。结构仍然在动；我们只是近似认为气动力能立即达到这个瞬时状态对应的静态值。”第一格仍可切到三维全桥帮助定位跨中。网页这一页聚焦风轴 CL 的逐时映射，下列推导再补足阻力分量与地面竖向投影。

需要强调：把图转正只是同一状态的坐标表达；把这个状态的力用定常结果近似，才是准定常的物理假定。后者会忽略气动记忆，不能由前者自动推出。主查表关系使用桥心平动速度和截面姿态；旁边的局部来流图补充扭转角速度产生的空间差异。一个桥心攻角不能完整重建旋转气动力，更不能自动给出角速度型气动力矩系数。

以下给出一套自洽的纯竖向示例约定：水平来流 U>0，h 向上为正，β 为上式的相对风方向角；C_L(β) 的正力沿相对风逆时针旋转 90°，C_D 沿相对风，两种力系数都以 B 归一。则单位桥轴长度的竖向力为：

\[
F_h=\tfrac12\rho V_{\rm rel}^2 B
\left[C_L(\beta)\cos\beta+C_D(\beta)\sin\beta\right].
\]

在零攻角、小速度比 |ḣ|/U≪1 附近，动压变化是二阶量；消去平均荷载与静平衡，保留一阶项：

\[
F_{\rm se}\approx-\tfrac12\rho U B
\left(C'_L(0)+C_D(0)\right)\dot h.
\]

这里 m、c_s、k_s 与 F 都按单位桥轴长度取值，C′_L 对弧度求导。把荷载移项：

\[
m\ddot h+
\underbrace{\left[c_s+\tfrac12\rho U B\left(C'_L+C_D\right)\right]}_{c_{\rm eff}}
\dot h+k_sh=0.
\]

“你会发现，静态气动力前面虽然有 U²，但运动引起的攻角里有 ḣ/U。乘起来以后，这个简化模型的气动阻尼系数随 U 一次变化。这也解释了为什么不能把所有风效应都概括成平方关系。”

在这一约定与模型下，C′_L+C_D<0 是出现负气动阻尼的条件；还要负气动阻尼的绝对值超过结构阻尼，c_eff 才小于零。不要将别处采用不同坐标/参考尺度的系数不经转换直接代入。此处是经典准定常驰振入门模型，不能替代一般桥梁颤振分析。

### 第四段：规定一个运动，测量风怎样回应

“刚才是由静态曲线推出来的。现在我们换一种办法：让断面按照规定的正弦规律运动，记录它受到的气动力。先给定运动，再求力，便于识别运动引起的气动力。”

分别规定 h=h₀cosωt 或 θ=θ₀cosωt；在风洞或经验证的 CFD 中改变频率、风速等条件，记录力与运动的相位关系。当前材料是 CFD。

将扭转工况的 M–θ 图与竖向工况的 L–h 图并列展示：同一个位置，去程与回程的力可能不同。再把时程同步点亮，学生就能看到“环”来自同一时刻的运动与力配对，而不是一条随意画出的曲线。

三个比较边界：

1. **出现位移—力环本身，不足以证明流体记忆。** 仅有准定常速度力 F=b ḣ，在正弦运动下也有环。要检验准定常，应比较同一瞬时相对状态下的预测与结果，并检查频率相关的幅值、相位偏差。
2. **非定常不等于非线性。** 小振幅的非定常模型仍可对运动保持线性，只是系数随频率变化。倍频、非椭圆环也须区分非线性、涡脱落或其他输入，不能只凭一个形状作唯一归因。
3. **强迫振动试验不是自由响应。** 试验中振幅由装置规定，即使测得正做功，也不会按自由系统规律自行增长。自由系统还要比较结构耗能。

### 第五段：把一个周期的力拆成两部分

“对某一个给定频率，我们先只保留气动力中与运动同频的部分。与位移同相的分量可以写成 a x；与速度同相的分量可以写成 b ẋ。这样，力的相位信息就变成了两个系数。”

若 x=Acosωt，单频线性表达为：

\[
F_{\rm se}=a(U,\omega)x+b(U,\omega)\dot x.
\]

这里的频率相关表示可从试验识别，并不意味着任意非定常时程都能无条件写成两个常数的瞬时函数。一般非定常关系可能需要历史卷积或附加气动状态。

第 05 页先暂停在四个关键时刻，用归一化 ξ=cosτ、ξ′=−sinτ 逐个对照：

| 相位 | 桥面状态 | 位移项 aξ | 速度项 bξ′ |
|---|---|---|---|
| 0° | 最高点，速度为零 | +a | 0 |
| 90° | 向下过平衡位置，向下速度最大 | 0 | −b |
| 180° | 最低点，速度为零 | −a | 0 |
| 270° | 向上过平衡位置，向上速度最大 | 0 | +b |

“最高点时，不是所有力都最大。位移项达到极值，速度项却为零；过平衡位置时正好交换。两个分量加起来以后，合力峰值又可能落在中间。”点击“停在同频力正峰值”：F₁=a cosτ−b sinτ 的正峰值为 √(a²+b²)，对应相位 atan2(−b,a) 按一周取值；a=b=0 时力处处为零，没有独立峰值。

切到扭转时，图上桥面实际旋转，两种分量改为转角型力矩与角速度型力矩。在归一化表示 θ=cosτ、θ′=−sinτ 下，M₁=aθ+bθ′：

| 相位 | 扭转状态 | 转角项 aθ | 角速度项 bθ′ |
|---|---|---|---|
| 0° | 最大正转角，角速度为零 | +a | 0 |
| 90° | 顺时针经过水平，角速度绝对值最大 | 0 | −b |
| 180° | 最大负转角，角速度为零 | −a | 0 |
| 270° | 逆时针经过水平，角速度绝对值最大 | 0 | +b |

“桥摆正了”不等于“风不产生动态作用”：角速度项恰好可能在这时达到最大。若以整段节段的有量纲气动力矩表示，转角系数单位为 N·m/rad，角速度系数为 N·m·s/rad，不能与平动力的 N/m、N·s/m 系数混用；每延米定义还须相应除以节段长度。此处仍用规定的单自由度谐波帮助认识两个分量，不由局部来流示意直接计算实际扭转气动力矩。

随后切换“同频＋二倍频”：F=F₁+0.35cos(2τ+45°)。桥仍按同样的正弦规律运动，紫色总力每圈也重复，但波形和峰值位置偏离橙色的同频合力。紫色减橙色就是尚未由 a、b 表达的部分；本例纯二倍频与两种同频基函数在完整周期上正交，所以不改变原来的 a、b。它是合成的教学示意，不是原 CFD 数据。

这里要区分两个问题：**周期波形不必是正弦；规定周期运动也不保证一般气动力必然同周期。** 只有对稳定线性时不变系统，正弦输入在瞬态衰减后才必然得到同频正弦输出；实际气动力还可能受高次谐波、起始瞬态、涡脱频率及锁频条件影响。先看稳定段与频谱，再判断同频近似是否足够。可配合网页所列 [MIT 连续系统正弦响应讲义](https://ocw.mit.edu/courses/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/6a9dd6d7fe4f6102720e6dcded0c76e9_lecture_02.pdf)、[桥面运动与阵风气动力的非线性相互作用研究](https://arxiv.org/abs/2109.00441) 和 [周期受迫尾流同步实验](https://arxiv.org/abs/2001.12000) 深入阅读。

将它代回结构方程，且 x 是相对风致静平衡的扰动：

\[
m\ddot x+c_s\dot x+k_sx=F_{\rm se}
\quad\Rightarrow\quad
m\ddot x+(c_s-b)\dot x+(k_s-a)x=0.
\]

| 右端的运动相关气动力 | 移到左端后的作用 | 课堂解释 |
|---|---|---|
| a x | k_eff=k_s−a | 修改恢复刚度 |
| b ẋ | c_eff=c_s−b | 修改阻尼；b>0 在此约定下向运动输入能量 |
| d ẍ（若显式采用） | m_eff=m−d | 修改惯性；不是阻尼 |

有些教材把左端增量定义为气动阻尼 c_a=−b，此时 c_eff=c_s+c_a。两套记号都可以，课堂中必须保持一致。

**滞回环为什么能讲能量？** 只有力与其功共轭的位移配对，才有：

\[
W_{\rm aero}=\oint F_{\rm se}\,dx
=\int_0^T F_{\rm se}\dot x\,dt
=\pi b A^2\omega.
\]

刚度部分 a x 在一周内净做功为零；速度部分决定本标量模型的净输入或输出。结构阻尼一周消耗 W_s=πc_sA²ω。所以在 k_eff>0、振荡模式存在的情况下，b>c_s 才会出现净能量增长；b>0 本身不等于系统已经失稳。

第 06 页先不盯着环，固定地面参考看实心桥的当前位置和虚线桥的下一位置：“桥向下走，风也向下推，就是正功；桥向下走而风向上拉，就是负功。”端点处必须补一句：“它在这一瞬间速度为零，因此功率为零；接下来走过一段路，仍然可以有做功。”图中虚线桥是再前进 30° 相位的状态，小段做功使用沿程变化力的积分，不能把当前 F 乘有限位移当作精确值。

再点四段卡片。对本页无量纲模型 F=aξ+bv，v=dξ/dτ=−sinτ，有：

| 行程 | 位移变化 | 位移项做功 | 速度项做功 | 本段合计 |
|---|---|---|---|---|
| 0°→90°：最高点到平衡位置 | +1→0 | −a/2 | πb/4 | −a/2+πb/4 |
| 90°→180°：平衡位置到最低点 | 0→−1 | +a/2 | πb/4 | +a/2+πb/4 |
| 180°→270°：最低点到平衡位置 | −1→0 | −a/2 | πb/4 | −a/2+πb/4 |
| 270°→360°：平衡位置到最高点 | 0→+1 | +a/2 | πb/4 | +a/2+πb/4 |
| 一周合计 | 回到原位 | 0 | πb | πb |

四段做功柱与环上四段使用相同颜色。先在卡片里看桥走了哪段路，再在力—位移图里指出对应段，最后相加。纯位移项的轨迹退化成往返的一条直线，正负功抵消；纯速度项在两次经过同一位置时力可以不同。混合模式中某一瞬间的力可以为零，但整段积分仍不为零，不能用一个点代替整个行程。装置仍维持规定振幅，因此这里的供能要到下一页撤去约束后，才能与阻尼耗能一起讨论自由响应。

扭转应计算 ∮M dθ，竖向应计算 ∮L dh。不要把阻力—扭转角的环面积称为扭转做功。系数图还需要恢复相应动压、参考尺度与角度单位，才有物理能量单位。

### 第六段：再回到静态与动态的对照

“上一节问的是：偏一点以后，还能不能恢复？今天问的是：振一周以后，能量是少了还是多了？二者都可以从平衡状态附近的小扰动入手，但关注的反馈不同。”

| 比较项 | 静力扭转发散 | 动力失稳的入门图景 |
|---|---|---|
| 主要问题 | 一阶静态恢复能力是否消失 | 振动反馈是否使某个运动模式增长 |
| 标量指标 | k_eff 过零 | 在 m_eff、k_eff>0 的振荡系统中 c_eff 过零 |
| 典型表现 | 偏转持续放大，属于非振荡失稳机制 | 振幅包络增长 |
| 小扰动分析给出的结果 | 局部静力临界条件 | 局部动力稳定边界 |
| 不能由此直接给出的结果 | 最终翻转角、破坏时刻 | 大振幅极限环、最终破坏幅度 |

c_eff>0 时自由振动衰减；c_eff=0 时理想线性系统等幅，是中性边界；c_eff<0 时出现增长。不要把“≤0”统一说成“振幅必然增长”。

对于竖弯—扭转耦合，令 q=[h,θ]ᵀ：

\[
\boldsymbol M\ddot{\boldsymbol q}
+(\boldsymbol C_s-\boldsymbol C_{\rm se})\dot{\boldsymbol q}
+(\boldsymbol K_s-\boldsymbol K_{\rm se})\boldsymbol q=0.
\]

不能只盯某个阻尼对角项。应看整体系统特征值：扰动 e^{λt} 的 Re λ<0 衰减，Re λ>0 增长；颤振对应一对有非零振荡频率的特征值越过稳定边界。非定常系数依赖未知振动频率时，需要自洽求解。初始扰动影响时程和被激发的模式，但固定线性模型的稳定边界由系统参数决定；精确零扰动在理想齐次模型里仍可保持零。

## 4. 教师补充：Scanlan 模型与加速度问题

采用常见的 K=ωB/U 定义，单位桥轴长度的一组 Scanlan 写法是：

\[
L_{\rm se}=\tfrac12\rho U^2 B
\left[K H_1^*\frac{\dot h}{U}+K H_2^*\frac{B\dot\theta}{U}
+K^2H_3^*\theta+K^2H_4^*\frac hB\right],
\]

\[
M_{\rm se}=\tfrac12\rho U^2 B^2
\left[K A_1^*\frac{\dot h}{U}+K A_2^*\frac{B\dot\theta}{U}
+K^2A_3^*\theta+K^2A_4^*\frac hB\right].
\]

纯扭转、h=ḣ=0 时，力矩中的 **A₂\*** 乘角速度项 **Bθ̇/U**，**A₃\*** 乘转角项 **θ**：两者分别是旋转速度与姿态的反馈。第 05 页的 M₁=aθ+bθ′ 展示这种区分，但 a、b 已经归一化，不可直接当作 A₃*、A₂*。恢复物理扭转方程后，角速度项改变有效扭转阻尼，转角项改变有效扭转刚度。

H_i*、A_i* 是在给定断面、静攻角等条件下随 K 变化的颤振导数；采用前需确认原数据的坐标正向、参考宽度、动压前因子等约定。此处公式展示“两个输入运动 → 两个输出气动力”的结构，不用未验证的导数曲线计算实桥临界风速。经典来源是 [Scanlan 与 Tomko，1971，Airfoil and Bridge Deck Flutter Derivatives](https://ascelibrary.org/doi/10.1061/JMCEA3.0001526)；上述四项形式及 K 定义也可核对 [Šarkić 等，2012，强迫振动辨识与风洞/CFD 对比研究](https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167610512000578)。

**为什么没有单列加速度？** 对单一谐波运动，ẍ=−ω²x，因此与加速度同相的作用可合并入频率相关的位移系数。仅在一个频率上，仅凭同相力分量不能独立区分刚度贡献与附加质量贡献。一般时域模型仍可显式包含附加质量和记忆项，不能据此断言空气惯性永远可以忽略。

准定常与非定常判断涉及运动时间尺度和对流时间尺度的比值。本文 K=ωB/U，U_r=U/(fB)，K=2π/U_r；只说“风速越大就越非定常”并不准确。分离、涡脱落等现象也可能限制准定常近似。

作为机制边界的补充，FHWA 指出湍流抖振引起明显运动也不一定意味着气动失稳。这个区分适合用在课末，避免学生把“动得大”直接等同于“颤振”。[FHWA 报告附录 C：风致索振动](https://www.fhwa.dot.gov/publications/research/infrastructure/bridge/05083/appendc.cfm)。

## 5. 原材料需要修正的地方

| 原位置 | 问题 | 建议讲法 |
|---|---|---|
| PDF 20 页 | “荷载与速度完全相关”容易被推广到所有准定常问题 | “本例纯竖向运动使荷载增量与速度相关；一般准定常还取决于姿态及局部相对速度” |
| PDF 24 页 | 把流场非定常写成一直“不稳定” | “流场随时间变化，未必达到瞬时定常；非定常与动力不稳定不同” |
| PDF 25 页 | Scanlan 公式下写 K=U/fB | 本稿统一 K=ωB/U；U_r=U/(fB) |
| PDF 27、32 页 | “和初始值无关”缺限定 | 固定线性系统的稳定边界与初值无关；响应历程和模态参与与初值有关 |
| PDF 30、35 页 | 刚度、阻尼“≤0”被混作增长判据 | 等号是边界，负值对应相应标量失稳；耦合问题看整体特征值 |
| PDF 37 页 | 无加速度项的解释可能归结为“很小” | 先讲单频表达中的吸收，再讲一般时域可显式有附加质量 |
| `self_excited` 旧讲稿 | 将 ∂F/∂ḣ 说成对位移求导 | 应为对速度求导 |
| `self_excited.m` 驰振段 | 升力斜率重复 rad/° 换算；运动方程与写出的等效阻尼不一致；输出文字含 U² 而计算用 U | 不原样运行其驰振结论；采用本稿统一约定后的推导 |
| 旧讲稿的高阶项说明 | “非线性项无法移到左侧”过强 | 可以移项，但一般不能合并成常数线性的刚度、阻尼矩阵 |
| 四份 CFD 数据 | 起动与停振阶段混入，竖向幅值不同 | 取停振前完整周期；明确比较基准；原始数据环与同频拟合分开 |

## 6. 演示安排与课末检查

配套《自激力_课堂演示.html》可直接双击、离线使用。课堂主线分三步：**用一串瞬时静态对应近似动态过程 → 规定幅值和频率，观察运动中的周期气动力 → 撤掉规定运动，判断自由响应能否增长**。“稳定的周期运动”在这里指幅频被规定，不等于自由系统稳定，也不直接证明 CFD 流场完全收敛。

网页默认播放，切换环节后继续播放；系统启用“减少动态效果”时初始暂停。底部提供暂停／播放、从头演示、倍速和全屏。拖动相位或时间会暂停；上一／下一环节或 PageUp／PageDown 可切换。可直接讲述的三段过渡词见《自激力_课堂使用说明.md》。

| 环节 | 推荐操作 | 讲解落点 |
|---|---|---|
| 01 扭转发散 | 依次选低于、等于、高于临界；给 ±2° 扰动后松手 | 用有正阻尼的自由响应展示刚度失稳；超临界后角度继续增大 |
| 02 风攻角与三分力 | 读三列静态曲线及下方来流图；默认二维，按地面、随桥心平移、随桥面转轴看同一时刻；可切三维全桥 | 系数与实际力不同；桥面摆平后 V、α 不变，风轴 +D 沿风、+L 垂直风 |
| 03 瞬时静态对应 | 默认四帧，每格上看真实运动、下看水平桥面的等效静态；可选四帧、八帧和连续，也可回到一帧 | 每个运动瞬间先确定 V、α，再查静态力；按时间连接，才得到准定常时程 |
| 04 规定周期运动 | 看桥面被带着振动，联动观察气动力和时程，再切四个工况 | 运动被规定，CFD 计算力；振幅固定不是系统稳定的证据 |
| 05 力随谁变化 | 点击四个极值／过零时刻，再定位同频合力正峰值；切“同频＋二倍频”观察残差 | 分量的最大值不必是合力最大值；同频分解只表达同频部分，周期波形可以不是正弦 |
| 06 一周能量 | 看当前桥位、下一桥位与 F、v；点击四段路程，逐项相加，再对应同色滞回轨迹与做功柱 | 端点瞬时功率为零不等于后续一段不做功；位移项一周净零，速度项决定本模型净供能 |
| 07 何时失稳 | 同时比较三条自由响应，再改变当前风速比 | 先用同一幅频的谐波比较能量收支，再观察撤去强制运动后的增长或衰减 |

本版网页统一取 **h 向上、θ 逆时针为正，水平来流下 β = atan2(−ḣ, U−ẋ)，α = β − θ**。这是一套明确的教学符号；若参考资料的角度或升力正向不同，应先转换再比较。准定常页用教学静力直线说明逐时映射，重点是“按当前状态查力”，不能替代完整的力投影与非定常分析。

第 02 页的实际平均风速可在 **5–40 m/s** 调节；三个系数采用 **CL=2πα、CD=0.4+2α²、CM=−0.12α**，α 用弧度，ρ=1.225 kg/m³、B=6 m，均为明示教学模型。第 03 页保持平均风速 20 m/s，用同一套 CL 曲线说明逐时映射。三维桥面来自 Blender 制作的梯形箱梁，跨径 24 m、桥宽 6 m、梁高 0.65 m；橙色风迹表示空间固定的平均来流，不是 CFD 绕流结果。

沿桥位置记为 s、跨长 Ls=24 m，运动相位 φ=2πt/5：竖弯与顺风侧弯按 **1.2 m·cosφ·sin(πs/Ls)** 给定，扭转按 **8°·cosφ·sin(πs/Ls)** 给定。网页通过三维形态插值显示这组规定形状，跨中二维窗与该处运动相联；这不是精确有限元模态或求解出的自由响应。静力发散页仍使用其原有 B=24 m、正阻尼的独立教学模型，不把新三维桥段尺寸混入其临界风速计算。

三维可编辑源文件：[self_excited_bridge.blend](三维桥面_Blender源文件/self_excited_bridge.blend)；网页资产：self_excited_bridge.glb（原课程归档：`三维桥面_Blender源文件/self_excited_bridge.glb`）。课堂可在立体、跨中截面、俯视间切换，也可手动转动镜头；改镜头只改变观看角度。文件支持后续在 Blender 中修改几何和材质，但其形状与运动参数仅服务教学展示。

第 04 页保留原课程四组 **CFD 强迫运动记录**，每组取停振前两完整周期、401 个预览点。执行器只是示意，CFD 实际施加运动边界条件。扭转角显示为度，时间和竖向位移保留未确认的原始单位。两周期统一映射为 8 秒，不能从播放快慢比较真实频率。Ur = 1／16 的记录来流值均为 20，竖向幅值还相差 16 倍，不能将差异全部归于风速或频率。

第 05 页采用归一化同频模型 **F₁ = aξ + bξ′**，默认 a=0.4、b=0.8，并用四个关键时刻、同频力正峰值按钮和二倍频残差帮助理解。二倍频示意 **r=0.35cos(2τ+45°)** 由公式合成，非实测或 CFD 识别；a、b 不包含这部分。恢复有量纲后才有 **Fse = aₚx + bₚẋ** 及相应刚度、阻尼单位。

第 06 页计算共轭力—位移做功。四段的位移项做功为 **−a/2、+a/2、−a/2、+a/2**，速度项每段 **πb/4**，合计 **πb**；卡片和能量柱显示完整四分之一周期的精确积分，当前瞬时功率另列。力—位移图与账本用相同的四段颜色，粗线表示已走过的路径。这里均为无量纲教学量，系数环未经尺度和符号恢复不能当作实际能量。

第 07 页的能量条比较同一 **A = 1、ω = 1** 谐波，另用自由响应展示增长或衰减，不能将能量条当作自由响应的实际逐周能量。

其余参数均为教学模型。静力页保持正阻尼，以负有效刚度造成发散；超过 |θ| = 20° 后接入连续转动的抽象展示，不再自动停止，大转角运动不作为实际结构预测。动力页保持正刚度，以负有效阻尼造成增长振荡；临界等号是中性边界，实际耦合颤振仍需整体稳定性分析。完整资料核对记录在 research/self-excited-force/ 中。

课末可以让学生口头回答：

- 固定攻角把风速加倍，系数和实际力各怎样变？——本教学模型中系数不变，非零实际荷载增为四倍；负升力也只增大绝对值，不因此改向。
- 桥面往下走，是自然风也跟着下去吗？——不是；地面参考系中的平均风保持水平，减去桥面速度后才得到向上的相对竖向风。
- 桥面倾斜时，为什么静态图仍能画成水平桥？——随桥心平移后，把坐标转过 −θ，桥面摆平，相对风角变成 α=β−θ；V 和相对夹角保持不变。
- 准定常怎样用静态关系近似动态？——每个瞬间先确定相对风速与攻角，配一个静态工况，查力后按时间连接。
- 强迫振动的幅值不变，能证明不会颤振吗？——不能，幅值是规定的，还没让系统自由决定。
- 有环、或风向结构供能，就一定增长吗？——不一定；要先确认共轭做功，再与结构耗能比较。
- 最高点哪个力最大？——位移项达到极值，速度项为零；合力还取决于二者叠加及是否存在其他频率成分。
- 扭转经过水平时，动态气动作用为零吗？——不一定；转角为零，但角速度可能最大，两侧局部相对风不同，角速度型气动力矩也可能最大。
- 每圈重复的力一定是正弦吗？——不是，高次谐波也可构成重复的周期波形；真实气动力是否同周期还要检查流场响应。
- 端点瞬时功率为零，能说下一段不做功吗？——不能，下一段有位移，做功要沿那段路径积分。
- 位移项和速度项移到左边分别改变什么？——有效刚度和有效阻尼。
- 这里两种失稳有何不同？——静力页因负有效刚度而偏转发散；动力页在正刚度下因负有效阻尼而振荡增长。

**建议最后一句：先弄清给定运动时风怎样反馈，再撤掉规定运动，看这种反馈能否战胜结构的恢复和耗能。**