# 自激力交互课堂使用说明

可直接用这三段话串起课堂：

> **先用静态关系逐时对应。** 桥面虽然一直在运动，但我们可以把每个瞬间停下来：先取桥心姿态与相对风，找一个对应的静风工况并查力；扭转时再补看角速度导致的两侧局部来流差异。把逐时的静态结果按时间接起来，是准定常近似；单一桥心工况不包含全部旋转气动作用。

> **再让结构真正做一段规定的周期运动。** 这一次，不逐帧用静态曲线代替动态气动力，而是规定振幅和频率，让 CFD 计算运动中的风怎样回应。这里说“稳定的周期运动”，是说幅值和频率被规定住了；它不等于自由系统稳定，也不保证流场已完全收敛。随后用同频的位移项和速度项，解释力怎样跟着运动变化。

> **最后撤掉规定运动的约束。** 风顺着速度推，就向结构供能；逆着速度作用，就吸收能量。比较一周风输入和结构耗能，才能判断自由振动会衰减还是增长。强迫振动用来认识气动力，自由响应才用来观察振幅能否自己长大。

双击同目录 **自激力_课堂演示.html** 即可离线打开，单独复制这一个 HTML 文件到上课电脑也可以使用。本次 v5 重点把“看三维运动”接到“取二维截面、换观察坐标、桥面摆平、查静态工况”，再用四个具体时刻和四段路程解释力与做功。

页面默认播放，切换环节后也会播放；若系统启用了“减少动态效果”，初始显示为暂停。底部统一提供 **暂停观察／播放运动、从头演示、0.5×／1×／1.5×、全屏**。拖动相位或时间滑块会暂停，方便逐帧讲解；倍速只改变演示快慢。可用上一／下一环节或 PageUp／PageDown 切换，焦点不在控件上时空格切换播放。窄窗口可以上下滚动。

| 环节 | 推荐操作 | 要让学生看懂什么 |
|---|---|---|
| 01 扭转发散 | 依次选低于、等于、高于临界；给 ±2° 扰动后松手 | 正阻尼仍可能伴随负刚度失稳；超临界后角度确实继续增大，超过 20° 后接入不停转动的抽象展示 |
| 02 风攻角与三分力 | 先读三列静态图谱；运动模式默认二维，依次看“地面—随桥心平移—随桥面转轴”；点四个关键时刻，再切三维全桥 | 第一步看真实运动，第二步减去桥心速度，第三步把桥和相对风一起转正；桥面摆平后，用同一 V、α 查静态系数 |
| 03 瞬时静态对应 | 先看同一时刻的三步变换；默认四帧，上面看真实运动，下面看始终水平的桥面与斜向来流；切八帧、连续 | 每个运动瞬间对应一个 V、α 不变的静态工况，查力后按时间排列；桥摆平是坐标表达改变 |
| 04 规定周期运动 | 先看桥面与执行器示意，再切四个 CFD 工况，拖动进度 | 位移／转角由我们规定，气动力由 CFD 给出；即使风供能，规定振幅也不会自动增长 |
| 05 力随谁变化 | 点最高点、向下过零位、最低点、向上过零位；分看两项，再点“停在同频力正峰值”；最后叠加二倍频 | 位移端点的位移项最大，过零位的速度项最大；合力峰值可以偏移，重复的周期力也可以不是正弦波 |
| 06 一周能量 | 看当前桥位、下一小段位移、v 与 F；点击四段行程卡片，把各段做功相加，并对照同色滞回轨迹 | 端点瞬时功率为零，随后走一段仍可做功；位移项借还抵消，速度项决定本模型的一周净做功 |
| 07 何时失稳 | 同时比较临界前、临界、临界后的响应，再调当前风速比 | 在同一参考谐波下比较输入与耗能；撤掉强制运动后，负等效阻尼使自由振幅增长 |

统一风角约定：**h 向上为正，θ 逆时针为正，水平来流下 β = atan2(−ḣ, U−ẋ)，α = β − θ**。这些符号用于本网页的教学模型，不能直接套用到符号定义不同的资料。

第 02 页建议先停在“静态”模式讲清图谱。三列分别为升力系数 **CL**、阻力系数 **CD**、气动力矩系数 **CM**；每张曲线正下方都是同一高度的三个水平桥面，风分别从上面吹下、水平吹来、从下面吹上。升力垂直相对风，正向主要朝上，负值反向；阻力沿相对风吹去的方向；正力矩逆时针。零升力或零力矩用虚线表示正方向，不能把它当作仍存在的力。箭头用于辨认方向，实际大小看数值。

实际平均风速滑块范围为 **5–40 m/s**。本页教学曲线为 **CL = 2πα，CD = 0.4 + 2α²，CM = −0.12α**，α 用弧度；ρ = 1.225 kg/m³，三个系数都以 **B = 6 m** 归一。每延米 **L = qB CL，D = qB CD，M = qB² CM，q = ½ρV²**，其中 V 是当前相对风速。固定攻角把 20 改为 40 m/s，系数不变，非零实际荷载变为四倍。这些是用来讲清映射的教学曲线，不是某座桥的实测静态系数。

第 02 页先以二维跨中截面讲清三个观察步骤，可用 **看三维全桥／取跨中截面，转成二维** 随时往返，运动相位保持不变：

1. **固定在地面上看。** 桥面在给定风中运动，地面坐标与风迹不跟着桥走。
2. **跟着桥心平移，坐标方向仍和地面相同。** 空气速度减去桥心速度，得到相对风；此时保留桥面倾角 θ，相对风方向为 β。
3. **把整幅相对图转过 −θ。** 桥面始终水平，相对风以 α = β − θ 吹来；风速大小 V 和风与桥之间的夹角不变。每个这样的图，就能对应静态力系数上的一个工况。

图中 **+D 沿相对风，+L 与相对风垂直**，两者组成风轴。它们表示正方向，实际力是否反向由系数正负决定。桥面摆平时，风轴和风矢量一起转到桥面坐标；这不是把物理运动突然停掉。四个可点击时刻把最高点、过零位、最低点和回程对应起来。纯竖向振动在最高、最低点速度为零，因而相对来流水平；向下过零位时相对风向上，向上过零位时相对风向下。

扭转要把 **θ 和 θ̇ 分开看**：θ 改变桥面姿态，θ̇ 使截面两侧出现方向相反的局部运动速度，因此两侧感受到的相对风也不同。最大正／负转角时 θ̇=0；水平经过时 θ=0，却有最大的 |θ̇|。扭转模式的局部来流图用于看清这个区别；桥心静态图仍只代表中心的姿态与平动近似，不能用“桥已水平、中心 α=0”推断旋转气动效应为零。

第 03 页用同样的三步图，把每个瞬间明确配对；扭转与组合运动时，另显示左侧、桥心、右侧的局部来流。默认显示四帧，每格**上图为地面参考下的真实运动，下图为桥面摆平的等效静态工况**；先逐格说出 V、β、θ、α，再把静态曲线上的点按时间接起来。可选 1 帧、4 帧、8 帧与连续；增加帧数只是帮助理解逐时对应，不表示实际流场一定能立即跟上。该页平均风速为 20 m/s，可把第一格切为 Blender 三维全桥。

三维画面仍可选择立体、跨中截面，第二页还可选俯视，并可拖动转镜头。**地面参考下的风场空间固定**：运动工况中的风保持水平，桥面穿过这个风场。橙色风迹是给定平均来流的运动示意，不是 CFD 计算的绕流、分离或压力分布。

Blender 教学桥段跨径 **24 m**、桥宽 **6 m**、梁高 **0.65 m**。沿桥位置记为 s，跨长记为 Ls，周期 T = 5 s、φ = 2πt/T：竖弯与顺风侧弯取 **1.2 m · cosφ · sin(πs/Ls)**，扭转取 **8° · cosφ · sin(πs/Ls)**。三维模型通过形态插值显示规定形状，不是有限元计算结果；二维取跨中状态，并为观察放大位移。静态查表仍用桥心平动速度与截面姿态建立对应；扭转时还要看截面两侧的局部来流，不能把桥心的单一 α 当作完整旋转气动模型。

可编辑三维源文件在 [self_excited_bridge.blend](三维桥面_Blender源文件/self_excited_bridge.blend)，网页模型为 self_excited_bridge.glb（原课程归档：`三维桥面_Blender源文件/self_excited_bridge.glb`）。上课只需 HTML；要继续在 Blender 中改桥面几何或材质，可使用这两个配套文件。它们与第 01 页的 B = 24 m 静力发散模型是不同的教学示例，不应把参数交叉代入。

第 04 页使用原课程四组 **CFD** 强迫运动记录；执行器只是规定运动的示意，计算实际施加运动边界条件。两周期统一映射为 8 秒播放，原时间与竖向位移单位未确认；扭转角依据原讲义换算为度。Ur = 1 与 16 的记录来流值均为 20，竖向幅值也不同，不能把对比解释成只提高实际风速。

第 05 页采用归一化同频模型 **F₁ = aξ + bξ′**，ξ = cosτ、ξ′ = −sinτ。先用四个时刻看清：位移端点速度为零，速度项也为零；过平衡位置时位移项为零、速度项达到极值。两个分量叠加后，正峰值为 √(a²+b²)，其相位不必等于任何一个分量的峰值相位。默认 a = 0.4、b = 0.8，也可调节或使用预设。

第 05 页可切换 **竖向振动：位移与速度／扭转振动：转角与角速度**。扭转中，转角项和角速度项对应的是气动力矩 **M₁ = aθ + bθ′**（归一化记号）。先看最大转角处角速度项为零，再看水平经过时转角项为零、角速度项达到极值。图上应读旋转方向和力矩方向；与竖向运动的 F、ξ 是两组不同的共轭变量。扭转的瞬时功率是 Mθ̇，一周做功是 ∮M dθ。按课件全宽 B 的 Scanlan 记号，A₂* 对应角速度项、A₃* 对应转角项；本页 a、b 只是归一化示意，不能直接当作这两个颤振导数。

“同频＋二倍频”选项加入 **r = 0.35 cos(2τ + 45°)**，紫色总力与橙色同频力的差就是二倍频残差。它每圈仍重复，却不是单一正弦；这个示意由公式合成，**不是原 CFD 数据或识别结果**。两个 a、b 只表达同频部分。结构按周期运动，也不保证真实气动力始终按同一周期重复；需检查瞬态、涡脱、锁频及频谱，再判断同频近似是否够用。

第 06 页默认风随速度供能。先分清实心的当前桥位和相位再前进 30° 后的虚线桥位；在位移端点，瞬时速度与功率为零，随后经过一段位移仍会有做功。点击四段行程卡片，可以分别看到位移项、速度项和该段精确做功；四根正负柱与同色滞回轨迹对应。对于 **F = aξ + bv**，四段位移项做功依次为 **−a/2、+a/2、−a/2、+a/2**，速度项每段均为 **πb/4**，一周合计 **πb**。这里力、位移与做功均为无量纲教学量。

第 07 页的能量条对应 **同一 A = 1、ω = 1 谐波运动**，不是上方增长或衰减响应的实际逐周能量。第 06 页看到风供能，还要在下一页扣除结构阻尼耗能，才能判断自由振动是否增长。第 01 页仍保留超过 20° 后持续转动的抽象演示，大角度运动不是实际结构预测。

本次补充“箭头、四个时刻、局部风”的读图顺序：

1. **四个时刻不是四个测点。**竖向运动为最高处→向下经过中间→最低处→向上经过中间。扭转固定跟踪右侧 B，则是右侧最高→顺时针经过水平→右侧最低→逆时针经过水平。两次中间姿态相同，运动方向相反。四卡改用 0、T/4、T/2、3T/4 标时间；周期相位不能当作桥面实际转角。
2. **同一组 A—O—B 点，从上往下看三步。**第一排绿色箭头从该点出发，表示点自己的运动；第二排在桥面坐标中把运动造成的相对分量反过来，用紫色单独画清；第三排加上实际风，橙色显示真实比例的合成相对风方向。地面真实风仍水平，紫色不是新出现的实际竖风。纯扭转顺时针经过水平时，A 上行、B 下行，因此 A 的空气相对分量向下、B 的向上；逆时针时反过来。中心 O 没有转动附加速度。第 02、03、05 页共用此图，切到纯扭转时先暂停在 T/4，方便观察。
3. **分量与合量用同一截面的副本分别画。**第 05 页上排只看运动；下排各副本只显示一个力或力矩，力箭头从 O 出发，力矩弧箭头绕 O。O 是广义坐标的示意参考点，不是在确定真实压力中心。F₁ 已包含 Fₐ、Fᵦ（M₁ 同理），不可把合量再与分量相加。零力矩圆点也留在 O。
4. **局部风图还没有求气动力。**准定常可以包含角速度；将不同位置的来流等效为整截面荷载，还需要有依据的等效位置或气动关系。单凭静态 C_M 曲线，不能唯一确定扭转阻尼。第 05 页示意运动周期与局部速度统一为 T=5 s；播放速度只是教学播放倍率。

第 02 页现在可选“桥面上下振动”，按以下顺序讲解：

1. **结构为什么动。**跨中一小段等效为质量 m 与竖向弹簧 k；h 从静平衡位置量起，恢复力 F_s = −kh。最高处速度为零但拉回作用最大；经过中间时恢复力增量为零，已有速度使它靠惯性继续走。蓝色是结构恢复力，绿色是运动速度。这里仍为规定等幅运动，未把风力反馈进响应。
2. **水平风为何变成相对斜风。**站在地面看，风保持水平、桥面上下动；设想随桥一起上下移动，空气相对桥面的竖速就是 −ḣ。速度拼图把 U 与 −ḣ 合成：α = atan(−ḣ/U)，V = √(U²+ḣ²)。纯竖向运动时桥面一直水平，不需要把图旋转。
3. **对应什么荷载。**L 垂直相对风，D 顺着相对风；地面竖向力为 F_y = L cosα + D sinα。按同一 B 归一化：L = ½ρV²B C_L(α)，D = ½ρV²B C_D(α)。因此阻力也有竖向贡献。
4. **最后的线性公式。**水平风、零攻角附近、小速度比，扣除静态荷载后：δF_y = −½ρUB[C′_L(0)+C_D(0)]ḣ = −c_aḣ。C′_L 是每弧度斜率，C_D(0) 是阻力系数值；教材若以梁高归一化阻力系数，需要先换算。每延米结构方程为 m ḧ + (c_s+c_a)ḣ + kh = 0。扭转姿态对应 M = ½ρU²B²C_M(−θ)，只给转角项；角速度项需补充气动模型或试验识别。

完整资料依据见同目录 **自激力_教学讲解方案.md**；网页各页底部还可展开模型说明。