从混凝土试块和车流量开始：两个都会散开
青色是抗力，红色是荷载。抗力向左偏、荷载向右偏，才是最需要警惕的方向。C50 的 95% 保证率描述材料强度标准值；它不等于整座桥的可靠度。
抗力 R荷载 S
一维曲线的面积为 1；特征值右侧的青色面积为 95%
荷载与可靠度 · 小实验
平均抗力明明更大，为什么还会被荷载越过去？
这里不急着算某一座桥。先看一件更朴素的事：抗力和荷载都在波动时，真正要紧的不是两座“山峰”谁高，而是哪一部分落到了错误的一边。
完全离线 · 固定随机种子
先留一个判断
平均值都不变，只把波动放大一倍，哪一座更容易出问题？
两座桥的平均抗力都是 10，平均荷载都是 6。甲的波动较小（0.75、0.60），乙的波动是甲的两倍（1.50、1.20）。这里的“出问题”只指某一次出现荷载大于抗力。
先写也行，直接看图和调参数也行；不要让记录动作挡住理解。
让证据出现
先看一维，再把两个变量放到同一次事件里
看懂一维以后，再把同一次事件展开打开二维点云、可旋转联合密度曲面和 R−S 差值图
联合概率密度的地形
峰顶说明最常见的组合；红色一侧不是“另一座山”，而是同一座概率山越过 R = S 边界的薄尾部。
拖动旋转 · 滚轮缩放 · 双击复位
R ≥ S：安全侧R < S：失效侧
同一分布，从立体地形、平面等高线和差值三个方向看
俯视等高线与这一批随机点
横轴是荷载，纵轴是抗力；椭圆是同一座概率山的等高线，斜线下方表示荷载已经越过抗力。
抗力没有被越过荷载越过抗力
—
把两者相减以后
横轴是“抗力 − 荷载”。零的左边就是刚才斜线下方的那些情形。
斜线下方的点，与零左边的面积，是同一件事的两种画法。
只改一个条件，再比较
先别追着红点数，试着改写它们出现的条件
建议先点“波动减半”，再点“回到初始”。两个平均值没有动，留意零左边的面积怎样变。固定种子让两次比较尽量使用同一批随机底数。
把图里的变化收回来
先说不变的关系，再给它一个名字
平均值之间留出的距离，要和波动的宽度一起看。
“平均抗力大于平均荷载”只说了两个中心的位置；它没有消掉尾部。波动越宽，越多情形可能越过边界。真正需要数的是边界错误一侧的概率质量，而不是只盯着两个峰顶。
把抗力—荷载换成库存—需求、算力—流量或排水能力—暴雨，这个问法仍然成立；只是分布、相关性和越界后果必须重新取证，不能把这张图原样搬过去。
先看三幅图怎样说同一件事；如果愿意，再回到上面留一句自己的判断。
分布给出的理论 β—
分布给出的理论失效概率—
这一批样本中的失效次数—
样本比例的 Wilson 95% 区间—
理论值描述给定分布；样本值只描述这一批有限抽样。样本数很少时，即使理论概率不为零，也可能一次都没有抽到。
把刚才看到的写成公式
Z = R − SσZ = √(σR² + σS² − 2ρσRσS)β = (μR − μS) / σZPf = Φ(−β)
初始情形取 ρ = 0，R 与 S 相互独立，所以 σZ = √(σR² + σS²)。“可靠指标 β”就是均值差里能放下多少个“差值的标准差”；Pf 是 Z < 0 的理论概率。