本课先用同一个已知光滑场，直观演示空间一阶/二阶导数和时间偏导数的差分来源；再展开后段的有限体积求解。使用本地 Three.js，离线可旋转、缩放、单步、播放和数值联动。
1. 固定时间，读取 W/P/E 三点；每点相距 Δx。
2. 算左段割线斜率 mw=(φP−φW)/Δx，它对应左半点 xP−Δx/2。
3. 算右段割线斜率 me=(φE−φP)/Δx，它对应右半点 xP+Δx/2。
4. 两个半点相距 Δx，故 φxx(P)≈(me−mw)/Δx=(φE−2φP+φW)/Δx²。程序显示两种等价的真实数字代入。
5. 点击“Δx减半”，观察相邻点靠近、割线变化、二阶导数误差约缩小至1/4。可去波峰/过零点观察一阶导数与二阶导数的区别。
6. 切换空间—时间曲面。固定x看φ(t)，比较前向/中心时间差分；固定t看φ(x)。时间偏导的采样始终保持同一个x。
7. 前向时间差分分母为Δt，中心为2Δt；点击“Δt减半”观察误差。四步可播放、暂停、上一步/下一步。
8. 最后展开FVM，把两段梯度与左右面通量差联系起来，再研究格式与网格。
φ(x,t)=exp(−αk²t) sin(kx−ωt)，α=0.08 m²/s、ω=1.2 rad/s，k可选1/2/3 rad/m。所有取值、空间/时间导数、割线、切片、误差都来自此同一函数；没有随机替代曲线。
φx=k exp(−αk²t)cos(kx−ωt)；φxx=−k²φ；φt=exp(−αk²t)[−αk²sin(kx−ωt)−ωcos(kx−ωt)]。
此函数满足φt+(ω/k)φx=αφxx。它是可核对的教学场，不是求解出来的桥梁NS流场。
真实瞬态场有x,y,z,t四个自变量。本页画的是一个空间方向和时间构成的切片，曲面竖向为标量φ，不把它当作第三个空间坐标或真实“四维画面”。
三维样点标签用投影定位并避让；二维剖面随采样区间自动放大，以便Δx很小时仍可辨认三点。高度与水平位置按显示尺度映射，数值代入使用物理坐标与步长。
- 阅读实验：解压整个课程包，使用当前版 Edge / Chrome 打开本课 index.html；无需 MATLAB、Python 或联网。三维视图需要浏览器图形加速。
- 查看或修改程序：用 VS Code 等文本编辑器打开文件夹。derivative-physics.js 与 derivative-app.js 负责首屏导数；derivative.css 负责首屏呈现。physics.js、app.js、style.css 负责后段FVM。index.html组织两段。
- 重做数值检查：安装 Node.js 后，在本目录分别运行 node derivative-check.cjs 和 node physics-check.cjs。
- 若需要本地 HTTP 预览，可在上级课程目录运行 python -m http.server 8000，然后打开 http://localhost:8000/cfd/。这不是离线阅读的必需步骤。
1. 控制体与面通量：旋转三维单元，选择内部/边界单元。辨别正 x 通量与控制面外法线符号；检查同一面在相邻单元内相消。比较中心距 Δx 与边界距 Δx/2。
2. 格式与网格实验：先保持原课 PeL = 11、N = 20；再点击“触发数值振荡”（PeL = 40、N = 5，PeΔ = 8），比较中心/迎风格式。保持同一物理问题逐次加密，而不是一边改风速一边声称网格收敛。
3. 源项符号：切换 Γφ″ = 10 sin(πx)、两端零值。解析解应为负，不是原稿网格对比中画出的零线。
4. 转入桥梁 CFD：操作域尺寸、近体网格分辨率、风速与时间步；检查 Re 和 Co 的尺度关系。依次讨论计算域、网格、物理与时间、验证与输出四步。桥梁几何仅帮助建立建模意识，不生成绕流结果。
对流扩散：J = Fφ − Γφ′，J′ = S，L = Γ = 1，F = PeL，S = 0；φ(0) = 1、φ(1) = 0。
源项案例保留原稿的正二阶导数约定 Γφ″ = 10 sin(πx)，在统一守恒形式中 S = −10 sin(πx)，源项用中点积分 S(xP)Δx。
内部面扩散导通量 D = Γ/Δx；物理边界采用半单元距离，Db = 2Γ/Δx。
中心格式内部面 φf = (φW + φE)/2；两端面使用给定边界值。
迎风格式内部面按 F 方向取上游值；入流对流项使用给定边界值，出流对流项使用边界相邻单元值；边界扩散项始终使用给定边界值与半单元距离。这个一阶一致的对流边界闭合是迎风方案的一部分，不能与中心边界面值完全混为一谈。
每个面仅定义一个正 x 总通量，按 Je − Jw = SΔx 组装三对角线性方程，并独立重算局部/全局守恒残差。
- 三个实验环节切换；三维/正视/俯视；拖动旋转、滚轮缩放、键盘 R 重置。
- 对流扩散/含源扩散切换；中心/迎风切换；PeL（含反向对流）、网格数、选中单元控制。
- 点击三维单元或拖动选中单元滑杆，同步读取两侧对流/扩散/总通量、方程系数、数值解与解析解。
- 真实计算数值解、中心点 RMS 误差、最大误差、守恒残差、有界性及 N=10→160 的误差阶次。
- 一键恢复原课参数、触发高网格 Pe 振荡、换迎风、核对源项；CSV 导出当前单元解与通量。
- 工程环节改变入口/出口距离、近体网格示意密度、U、Δt；联动三维域、Re/Co、域长与尺度曲线；四步建模提示。
一维挤出盒子是控制体和标量分布的三维表达，不是三维 CFD。数值柱高仅映射 φ，不表示桥梁变形或流体压力。工程三维域为了看清桥梁压缩了远场展示比例；网格线说明加密策略，不是可直接求解的有效网格。本课没有求解不可压缩速度—压力耦合、湍流、分离、涡脱落、气弹耦合；没有把装饰流线当作真实 NS 解。
工程尺度例 B=30 m、ρ=1.225 kg/m³、μ=1.81×10⁻⁵ Pa·s。Co 由输入来流与示意最小网格估算；实际应使用局部计算速度，不能给出普适“Co必须小于1”的判断。
physics-check.cjs 的 8 项检查均通过：
- 零对流线性解、半单元 Dirichlet 边界；
- 原源项负解与全局守恒；
- 中心对流扩散与含源扩散均二阶；
- 迎风趋近一阶；
- 高 PeΔ 中心格式越界、迎风有界；
- 正/反对流逐面通量分解及局部/全局残差；
- 反向对流镜像、解析端值；
- 工程 Re / Co 尺度计算。
PeL=11 时，N=80→160 的中心误差阶次约 2.00045，迎风约 0.94958；N=20 中心 RMS 误差约 0.0111522。中心 PeL=40、N=5 的数值范围约 [−0.74228,3.71140]，用于暴露离散振荡。
原始课堂附件与迁移纠错详见 source-review.md。核查依据：
- NIST FiPy，Finite Volume Method：https://pages.nist.gov/fipy/en/3.4.5/numerical/discret.html
- NIST FiPy，Numerical Schemes：https://www.ctcms.nist.gov/~wd15/fipy/documentation/numerical/scheme.html
- CFD Direct，Fixed value and fixed gradient：https://doc.cfd.direct/notes/cfd-general-principles/fixed-value-and-fixed-gradient
CourseLab.getState().activeSection 区分 derivatives 与 finite-volume；derivatives 返回首屏参数、步数、采样、解析/差分导数、误差和首屏WebGL状态；finiteVolume 返回原FVM的完整可观测状态。顶层保留原接口，顶层webgl随当前操作段切换。
首屏数值核验：node derivative-check.cjs。8项检查通过，空间二阶导误差的最终阶约1.99991；前向时间差分约0.99539，中心约1.99996。原FVM另8项检查仍通过。
浏览器脚本为qa/derivative-browser-check.js，小型核验数据为qa/derivative-results.json。390px空间与时间模式均无横向溢出；三维标签避让、轨道旋转、四步播放、步长减半、两种时间公式、两种曲面切片与旧FVM三环节均经过检查。