悬臂阶段模型：来源与验证

该模块采用自编解析模型和原创 SVG 图形。它不读取已有 Godot 工法模型的几何或内力，也不是实桥施工验算。

[1] 悬臂束的位置

FHWA，Guidelines for Sampling, Assessing, and Restoring Defective Grout in Prestressed Concrete Bridge Post-Tensioning Ducts，FHWA-HRT-13-028，2013 年 10 月。第 3 章 “CIP Segmental Balanced Cantilever Bridge” 与 “Precast Segmental Balanced Cantilever Bridge” 说明悬臂束布置于顶板内、腹板上方，并区分悬臂束和连续束。

FHWA 官方全文（HTML） · 官方 PDF（含勘误）

模块仅依据上述构造关系绘制位置示意，没有复制报告照片或施工图。普通钢筋、预应力束的根数、间距、锚固和张拉均不属于本模型计算范围。

[2] 悬臂弹性挠度

MIT OpenCourseWare，1.050 Solid Mechanics, Fall 2004 — Chapter 10: Deflections due to Bending，印刷页 268（PDF 第 6 页）列出端集中力和均布荷载悬臂解；第 269 页说明线性解叠加。第 264 页采用小位移、小转角下的弯矩—曲率关系。

MIT 官方讲义 PDF，第 6 页

解析式与符号

每侧使用从固结点向外的局部坐标 s，范围 0 ≤ s ≤ L。荷载向下，弯矩以梁下缘受拉为正，挠度向下为正。

M(s) = −q(L − s)²/2 − P(L − s)
w(s) = qs²(6L² − 4Ls + s²)/(24EI) + Ps²(3L − s)/(6EI)

全局坐标 x 向右。左臂 s = −x，右臂 s = x。按 V = dM/dx，左臂剪力为 −[q(L − s) + P]，右臂为其正值形式。全局挠曲线满足 EI d²w/dx² = −M。

令各侧根部负弯矩绝对值为 B_L、B_R，墩顶对梁的合反力矩（逆时针为正）为 C = B_R − B_L。两者相等时 C = 0，不意味着两侧根部截面弯矩为零。

单位、图形比例与阶段边界

长度 m，荷载 kN、kN/m，弯矩 kN·m，EI 单位 kN·m²；计算挠度为 m，显示为 mm。
E = 35 × 10⁶ kN/m²，I = 10 m⁴，EI = 350 × 10⁶ kN·m²，均为教学给定值。
SVG 横向 12 图形单位/m；弯矩 0.0009 图形单位/(kN·m)，剪力 0.012 图形单位/kN，各阶段不变。挠度相对真实长度固定放大 60 倍。
主视图梁厚、墩高与配筋剖面仅作构造示意，不用于计算截面特性。左右长度按同一实际比例显示。
动画只连续插值当前悬臂长度，不表示真实分段浇筑过程。每阶段从假定直线基准计算弹性挠度，未作累积施工线形、收缩徐变、张拉、预拱度及墩身变形分析。
模型止于合龙前；未绘制成桥内力或覆盖已有施工历史。

核验范围

配套核验脚本检查各模式的力与力矩平衡、根部位移与转角、自由端边界、全局弯矩—剪力关系、曲率关系、数值积分对照、长度比例规律和正反阶段读取一致性。桌面浏览器另查加载、端点播放、反向、暂停、控件联动及页面错误。验证记录保存在本轮修订记录中。

核验日期：2026-10-19。