先看结构：这段桥面为什么会上下往复？
深色横条代表桥跨中间的一小段。把整座桥对它的竖向约束概括成弹簧，把运动惯性概括成质量，就得到下面的简化模型。
01 · 先看刚度怎样失去平衡
同样的小扰动，风速不同：回到原位、停在偏转处，或持续向同一方向转动。
临界状态的初角可以保持，是因为这里从零初速度释放且合刚度为零；它不会自行增长。
风使气动力矩随偏转增大。超过临界风速后，气动增量刚度超过结构恢复刚度，小扰动就不再被拉回去。
气动力矩 Ma = Q a θ；弹性力矩 Mk = −k θ；
Q = ½ρU²B²ℓ，Ucr = √[2k / (ρB²ℓa)]。
动画展示刚度失稳后的动态响应；这里始终有正阻尼，发散原因是有效刚度变负。θ = 0 仍是平衡点，但已不稳定。
取1 m长的桥面段：ρ = 1.225 kg/m³，B = 24 m，ℓ = 1 m；I = 28,800 kg·m²；k = 115,200 N·m/rad；c = 34,560 N·m·s/rad；a = dCM/dθ = 0.12 rad⁻¹，CM(0) = 0。初角 ±2°，初速度为0。小角度部分由线性方程计算；达到 |θ|=20°后，连续接入可观察的抽象转动，保持原转动方向，转速平滑调整，不自动停止。大转角的力矩箭头与运动仅表达“失去恢复后持续转开”，不是实际桥梁的大转动预测。累计角度继续增加，图表显示最近12 s并自动扩展角度范围。全局暂停和从头演示始终可用。
先选“桥面上下振动”：用弹簧说明结构的刚度，再看桥面运动怎样改变相对风，最后用升力、阻力系数算竖向荷载。扭转则对应气动力矩。
上面读曲线，下面看同一个水平桥面在三种来流下怎样受力。
箭头标方向，大小看数值。曲线为教学设定，非实测：CL = 2πα，CD = 0.4 + 2α²，CM = −0.12α（α 用弧度）。固定姿态和系数时，三分力随相对风速 V² 变化。
升力 L 垂直于相对来流，正向是风向逆时针转 90°；阻力 D 沿相对来流；力矩 M 逆时针为正。L 为负时，实际升力反向。图中的水平桥面 θ = 0，因此下方三种例图的 α = β。
当前结构状态采用 α = β − θ。全局水平、竖向分量为 Fx = D cosβ − L sinβ，Fh = D sinβ + L cosβ；体轴分量为 Fxb = D cosα − L sinα，Fhb = D sinα + L cosα。
本页三种系数统一用桥宽 B = 6 m：每延米 L = qB CL，D = qB CD，M = qB² CM；q = ½ρV²，ρ = 1.225 kg/m³。L、D 单位 N/m，M 单位 N·m/m。旧静风页以高度 H 归一的阻力系数，需先换成 CD,B = (H/B) CD,H。
这里的 CM 对 α 斜率为 −0.12/rad；由于 α = β − θ，水平风下它对 θ 的斜率为 +0.12/rad，与前页“越扭越推偏”的教学模型一致。
一周期取四个时刻：到一端 → 经过中间 → 到另一端 → 再经过中间。两次经过中间，运动方向相反。点击下面任一时刻，所有图一起停住。
深色横条代表桥跨中间的一小段。把整座桥对它的竖向约束概括成弹簧，把运动惯性概括成质量，就得到下面的简化模型。
橙色：空间中流动的空气；蓝框：下一步要取的跨中截面；灰虚线：静止零位。鼠标可转动视角。
升力系数 CL、阻力系数 CD描述两种方向的力；力矩系数 CM描述空气让截面转动的作用。
姿态对应：M = ½ρU²B² CM(−θ)
小转角增量：ΔM ≈ −½ρU²B² C′M(0) θ
以上为单位桥长、水平地面风、纯扭转的静态姿态近似。C′M 是力矩系数曲线的斜率；这一式只含转角作用。角速度 θ̇ 还会使两侧局部来流不同，力矩的角速度项需另用有依据的等效气动模型或强迫振动结果确定。第 05 页看 M₁ = aθ + bθ′ 的分解。
沿桥面标出左点 A、中心 O、右点 B。下面三排是同一座桥、同一个瞬间的三步解释。先看绿色的“点怎么动”，再看紫色的“相对分量反过来”，最后加上实际风。所有箭头都从标出的点出发。
这里只解释各点的相对运动。准定常也可以包含角速度：它假定力立即跟随当前的相对状态；如何由局部风得到整座桥面的力矩，还要有额外的气动模型。图谱中的单一桥心攻角只表示姿态对应，不能独自确定完整扭转力矩。第 05 页继续看转角项与角速度项。
D 顺着相对风吹去的方向，L 与相对风垂直。小图的 +D、+L 只说明正方向；实际力的大小、正负要看系数。扭转时说“把图转正”，就像把倾斜的照片整体转一下：桥和风一起转，它们之间的夹角不变。竖向振动时桥面一直水平，这一步无需转图。
Blender 教学梁桥跨径 24 m、宽 B = 6 m、箱梁深 0.65 m。竖弯、顺风侧弯和扭转沿跨采用正弦形态，两端位移为零、跨中最大。竖向及侧向幅值 1.2 m，扭转幅值 8°，周期 5 s。θ = 8° cosτ，θ̇ = −(8π/180)(2π/5) sinτ rad/s。二维图取跨中截面，显示放大后的运动。
地面截面坐标：x 顺风、h 向上，θ 逆时针为正。桥心 β = atan2(w−ḣ,Ux−ẋ)，α = β−θ。将相对速度乘以 R(−θ)，就是桥面坐标中的表达；速度大小与同一点的攻角不变。
距转轴有符号距离 r 的点，转动速度为 (−rθ̇sinθ,rθ̇cosθ)。桥面坐标中的局部相对风为 Vxb = (Ux−ẋ)cosθ+(w−ḣ)sinθ，Vhb = −(Ux−ẋ)sinθ+(w−ḣ)cosθ−rθ̇。局部 α(r)=atan2(Vhb,Vxb)。这幅图解释运动学，不能从三个点的速度直接确定全截面的气动力矩。静态系数是整截面在均匀静风下的教学关系，未计算非定常绕流或气动记忆。
先站在地面看桥怎么动，再设想自己随桥一起移动，看空气相对自己怎么走。需要比较静态系数时，把桥和风这整张图一起转正。竖向平动可以配一个均匀静风工况；扭转还要看角速度——两侧桥面的速度不同，局部来流也不同。
地面风保持水平；桥向下走，就会感到来自下方的相对风。
相对风 = 地面风 − 桥面速度。
β = atan2(−ḣ, U)，桥面仍倾斜 θ。
桥和风一起转过 −θ 后，风与桥面之间的夹角是 αc = β − θ；相对风速大小 Vc 不变。竖向振动时桥面本来就水平，无需转图。
下面三排是同一座桥、同一瞬间、同一组 A—O—B 点。绿色表示点自己的运动；紫色是换到这个点看时出现的相对分量；橙色再把实际风加回来。三个步骤不要同时混着读。
桥面坐标中：Vx(r) = U cosθ − ḣ sinθ；Vz(r) = −U sinθ − ḣ cosθ − rθ̇。其中 −rθ̇ 就是转动造成的反向相对分量；r 左侧为负、右侧为正，所以纯扭转时两侧方向相反。准定常可以含有这一项，但单靠这些速度还不能直接算出整个截面的气动力矩。
四格是四个时刻，不是桥上四个点。一周期经过两次端点，也经过两次中间位置；两次中间位置虽然相同，运动方向恰好相反。上图画当时的运动，下图画桥心对应的静态近似。
这里的 CL 只表示风轴升力系数。竖向总气动力还要加入阻力的竖向投影：Fy = L cos α + D sin α。第 02 页选择“桥面上下振动”，查看 C′L + CD 的完整推导。
h 向上为正，θ 逆时针为正；地面来流 U = 20 m/s。h = 1.2 cos τ m，扭转模式 θ = 8° cos τ，τ = 2πt / 5 s。桥心 Vc = √(U² + ḣ²)，β = atan2(−ḣ, U)，αc = β − θ。第②步是随截面平移而不转动的观察，第③步将向量旋转 −θ 到桥面坐标。静态模型的桥面统一水平。竖向与扭转模式分别将未启用运动的幅值设为零。
扭转角速度 θ̇ = −(8π/180)(2π/5) sin τ。截面位置 r = −3、0、+3 m 的地面速度为 (−rθ̇ sinθ，ḣ + rθ̇ cosθ)。从地面风减去该速度，再转到桥面坐标，得到 Vx(r) = U cosθ − ḣ sinθ，Vz(r) = −U sinθ − ḣ cosθ − rθ̇；每一点各自具有 Vr、αr。局部速度图是运动学关系，不能直接把一个静态全截面 CL 分配后积分，当成完整非定常扭转力。
图中 D⁺ 沿相对来流，L⁺ 垂直相对来流并指向上侧；它们是风轴的正方向，实际力的正负由系数决定。教学静力模型 CL = 2πα（α 用弧度），L′ = ½ρVc²BCL；ρ = 1.225 kg/m³，B = 6 m。这里画的是桥心静态对应的风轴升力；扭转时只作姿态近似，未求完整角速度相关气动力。换算地面竖向力还需投影升、阻力。
三维桥梁长 24 m、宽 6 m，弯曲采用两端固定位置的正弦形态；二维图的竖向位移为显示而放大。风迹表示给定来流，不表示绕桥 CFD 流场。静态系数用于讲解，不代表具体桥型。
04 · 规定运动，再看风怎样响应
这里的振幅与频率由我们规定。示意图用执行器带着桥面动；CFD 中实际施加相应的运动边界条件，记录气动力。
数据来自原课程四组 CFD 强迫振动记录，选取停振前最后两个完整周期。周期截取不等于证明整个流场已充分收敛。每次播放将这两个周期映射为 8 秒（1×播放速度），并非原始时钟。原始时间、竖向位移与来流速度的表头未标单位；扭转角依据原讲义换算为度。Ur = 1 与 16 的记录来流值都为 20，主要改变的是激励频率；竖向两工况的位移幅值也相差 16 倍。
动画把正竖向量画向上、正角度画逆时针；这只是记录符号的视觉映射，原 TXT 没有交代物理坐标正向。力箭头长度、力矩箭头粗细分别按各工况系数幅值归一化，不能跨工况直接比较。竖向运动归一化、扭转角放大 6 倍；数值读数保持原数据。气动力系数不是有量纲的力，本页不能直接计算做功或颤振阈值。
05 · 先停在四个关键时刻
让桥面保持同一振幅、同一频率上下运动。先把气动力中与运动同频的部分拆开：一项跟位移走，一项跟速度走。点击下面任一时刻，停下来对照。
先看 A、B 怎么走，再站到各点看空气。绿色表示点的运动，紫色表示换观察位置后的相对分量，橙色是合成后的相对风。
地面上的真实风仍然水平。这里解释局部运动学，还没有计算完整气动力；准定常也可以包含角速度，但要另选有依据的等效关系。
给同频力再叠加一个二倍频分量：桥仍然走同样的轨迹，力的波形和峰值位置却可以改变。
以竖向振动为例，恢复有量纲变量后，若同频气动力写成 Fse = apx + bpẋ，移到方程左边就是 m ẍ + (cs − bp) ẋ + (ks − ap) x = 0。ap 的单位是 N/m，bp 是 N·s/m；它们与演示的 a、b 不是同一个数值。位移项改变有效刚度，速度项改变有效阻尼。速度同向的气动力供能，只有超过结构耗能才可能使自由振幅增长。
在完整周期上用 cos τ、−sin τ 提取同频分量，能得到 a、b。平均值、高次谐波及其他频率不包含在这两个系数中。此处增加的纯二倍频与两种同频基函数正交，所以不会改变原来的 a、b。给定频率下的同频表示，也不等于任意非定常力只由此刻的位移、速度决定。
下一页把力与运动方向对应起来：竖向运动的做功是 ∮ F dx。
纯扭转时，转角最大并不表示转得最快；经过水平位置时，转角为零，角速度反而达到极值。截面上距转轴为 s 的点，还具有与 sθ̇ 成正比的局部运动速度。故扭转产生的非定常气动力矩必须区分转角项与角速度项。
对课件第 25 页的全宽 B 记号，令物理转角为 θp，取纯扭转、h = ḣ = 0，可保留 Mse = qB² [K A₂*(K) Bθ̇p/U + K² A₃*(K) θp]，其中 q = ρU²/2，K = ωB/U = 2πfB/U；原课件第 25 页将 K 写成 U/(fB)，该值实际是折减风速，应在此勘误。A₂* 对应角速度，A₃* 对应转角。课件中的“α”在该式表示扭转运动变量；这里改记 θp，与相对来流攻角分开。力矩和转角方向、全宽/半宽及系数归一化必须成套使用，不能跨来源直接拼符号。
本页转动演示将转角归一化为 θ = θp/θ₀ = cos τ，θ′ = θ̇p/(ωθ₀) = −sin τ，因此同频矩可写为 M₁ = aθ + bθ′。a、b 仍是示意系数，不能直接当作 A₃*、A₂*。在有量纲方程中，Iθ̈p + (cθ − bp)θ̇p + (kθ − ap)θp = 0，故角速度项改变有效扭转阻尼，转角项改变有效扭转刚度。
频域含义可参见 Náprstek 与 Pospíšil（2012），第 917 页式（4）—（5）：谐振时，转角和角速度对应 Φ 与 iωΦ，A₂ 与 A₃ 分别关联转动速度和转角。该原始研究同时讨论频率域与时间域的区别，本页并未把固定频率的 a、b 当作适用于任意运动历程的常数。
对稳定的线性时不变系统，正弦输入的瞬态消失后，输出仍为同频正弦，只改变幅值与相位。这是本页同频模型的依据。参见 MIT：连续系统的正弦响应，讲义页码 2–5 至 2–6。
稳定周期波形可以不是正弦波。桥面非线性气动力中可能出现高次谐波；可参见 Tesfaye 等：桥面运动与阵风气动力的非线性相互作用。本页“同频＋二倍频”只是这个现象的简单示意。
而“结构按周期运动”本身，也不能保证真实气动力始终以同一周期重复。起始瞬态、尾流自身的涡脱频率及锁频条件都会影响结果；受迫尾流还可能出现次谐波响应。参见 Herrmann 等：周期受迫湍流尾流的同步实验。因此应先检查稳态段和频谱，再决定同频近似是否够用。
先看桥走过的一小段路，再把四段做功相加。这里的运动由装置保持不变；风即使供能，振幅也不会在本页自行变大。
实心桥是此刻，虚线桥是相位再前进 30° 的位置。箭头 F 表示此刻的力；小段做功按这段路上的变化力积分。
横轴是桥的位置，纵轴是风的力。同色的轨迹与下面同色的行程对应；细线是整周路径，粗线是已经走过的部分。
上方为风供能，下方为风耗能；条高表示本段精确积分。
本页力、位移、时间和做功均为无量纲教学量。正号表示风向结构传入能量，负号表示风从结构吸收能量。
规定 ξ = cosτ，v = dξ/dτ = −sinτ，气动力 F = aξ + bv。位移项做功为 ∫aξ dξ = a(ξ₂²−ξ₁²)/2：前后走回同一个位置，借还抵消。速度项做功为 ∫bv² dτ：b 为正就供能，为负就耗能。在四个四分之一周期中，位移项依次做功 −a/2、+a/2、−a/2、+a/2；速度项各做功 πb/4。一周合计 W = πb。
桥在最高点和最低点的速度瞬时为零，所以功率为零；随后经过一段位移，仍然会有做功。纯速度项的力和功率在通过平衡位置时最大；纯位移项的力在位移端点最大，但那一刻功率仍为零。
这里只统计风做的功，下一页还要扣除结构阻尼耗能，才能判断自由振动是否增长。准定常速度型力也能形成滞回环，有环本身不能证明流体记忆。前页 CFD 系数的符号和参考尺度未恢复，不能直接把其环面积读成真实能量。
三个结构都从同样的小位移静止释放。结构阻尼不变，只改变风的速度型反馈；没有执行器维持振幅。
能量条取 A = 1、ω = 1 的规定谐波运动作比较；不是上方自由响应的实际逐周能量。力箭头采用相同缩放比例。
绿色：U/Uc = 0.5 蓝色：1.0 橙色：1.5 粗深线：当前风速比
本页为无量纲、单自由度、固定正刚度教学模型：m = k = 1、cₛ = 0.16，b = cₛ(U/Uc)，x(0) = 0.25、ẋ(0) = 0。Uc 只用于定义本模型的风速比，没有据此预测任何实桥临界风速。自由响应按上述常系数方程精确计算，当前风速滑块改变后重新从相同初始条件释放。
对单位振幅、单位圆频率的谐波运动，风输入 W风 = πb，结构耗能 W耗 = πcₛ，所以正负由 b − cₛ 决定；能量条是同一谐波试运动下的比较，并非增长响应每周期能量的精确积分。在实际自由响应中，Ė = (b − cₛ)ẋ²。
cₑff = 0 是本模型的线性中性边界；cₑff < 0 且刚度为正时出现增长的振荡。实际竖弯—扭转耦合颤振需要整体系统稳定性分析，不能只看一个阻尼系数。线性模型描述起振附近，不能预测大振幅饱和或破坏。