BUFFETING / 课后概念实验室
课上听过的抽象概念，在这里亲手验证。先预测，再拖动；同一输入、同一时刻，比较改动前后的响应。
课件第12–14页 · 把黑箱拆开
先猜：同为 1 N，1 Hz 和 5 Hz，谁造成的位移更大？再把固有频率拖过去试一试。
— mm—° 滞后
— mm—° 滞后
F(t) = F₁ cos(2πf₁t) + F₂ cos(2πf₂t)
H(f) = [k − m(2πf)² + i c(2πf)]⁻¹
x(t) = Re{Σ H(fⱼ)Fⱼ ei2πfⱼt}
拖 fₙ 会改变 k = m(2πfₙ)²；外力的两条幅值保持 1 N。每个分量保留 H 的相位，位移不会机械地跟着外力同相移动。
此处是两条谐波的幅值：x̂ = |H|F̂，单位从 N 变为 m。中图的 DAF = k|H| 是无量纲放大系数，不能直接拿它把 N 变成 mm。
宽带随机荷载的功率谱：Sₓ(f) = |H(f)|²Sꜰ(f)。两个环节使用相同的线性动力学原理，幅值与功率谱的传递规则不同。
模型只演示外力输入的稳态频响；参数切换后立即比较新的稳态，不模拟切换瞬态。重力等平均荷载已纳入静平衡位置。图示自动缩小过大的位移以保证可见，实际毫米值和固定谱图标尺始终有效。
先想一想：只改结构固有频率，风与荷载会跟着改变吗？然后拖橙色 fₙ 标线。
展开后，以当前方案为参照；操作后会显示真实计算结果。
抖振以大气湍流为外部随机输入；自激气动力与结构自身运动有关；涡振涉及尾流脱涡与结构运动的耦合。随机时程里出现较规则的振动，不能据此判定为涡振或颤振。本页的线性强迫响应模型用于理解抖振，不用于判定实际桥梁的颤振边界。对应课件第23、25、27、32–34页的概念辨析。
χ 是气动导纳，描述来流到截面荷载的频率响应。单个频率的幅值乘 |χ|，功率谱乘 |χ|²。屏幕给出的整体荷载 RMS 保留比例还取决于当前风谱的权重，不能当作所有频率共用的 χ。本页桥宽积分用于演示局部抵消，实际气动导纳还需气动试验或可信数值计算。对应课件第21–22页。
H 把力转换为位移，单位为 m/N；动力放大系数以同一载荷下的静位移为参照，是无量纲比值，二者不能直接混用。线性化省略 ½ρu² 是气动力近似，与结构共振放大是不同问题。有限的线性强迫共振也不等于系统发生颤振。可返回“动压怎样线性化”和“风→力→响应”分别验证。
中间虚线是平衡位置；曲线在两侧往复。此图比较同一来流相位下的各自稳态。
横坐标上的同一个频率，依次经过气动平均和结构频响。先选一小格，再看它对总振动贡献多少。
对数拖条便于选低频；实际计算取最近的离散频率，格宽 Δf = — Hz。
Sꜰ(f) = G²χ²(f)Su(f)Sᵩ(f) = |H(f)|²Sꜰ(f)
—
功率谱按平方增益传递；不同位置的谱具有不同单位，因此这里逐步代入，不把它们当作同一种量比较高低。导纳仍采用页面注明的均匀桥宽教学积分模型。
风谱图显示 fSᵤ，让每个对数频段的风能可见。青色峰点左右改变积分尺度，上下改变沿风风速标准差；橙线在质量不变时改变结构刚度与固有频率。谱图使用固定坐标，灰色保存改前方案。
S_q(f) = |H(f)|² |χ(f)|² (ρŪCᴅD)² Sᵤ(f)
位移 RMS = √∫S_q(f)df
0.00625–2.5 Hz 内400个谐波，共用固定随机相位；风、局部荷载、合力、位移逐级保留复相位。前后方案在同一物理时刻比较各自稳态，不把调参视为实际过渡过程。课件第9页的 von Kármán 形状在该离散频带重新归一化至给定风速方差，因此拖尺度时总输入方差保持不变。
首屏是每延米质量20,000 kg/m的横向单自由度，初始fₙ=0.22 Hz、σᵤ=1.5 m/s、Ū=25 m/s、Lᵤ=80 m，D=3.2 m、Cᴅ=1.1。导纳为均匀桥宽平均的教学模型；没有用现场气动试验校准。拉桥面释放时叠加同参数的自由衰减，位移连续、释放速度为零。
正、负箭头是平均荷载之外的扰动，不表示平均风反向。均匀桥宽积分说明局部相消；位移由 m q̈ + c q̇ + k q = F 求得，有幅值和相位差，不直接按力的大小搬动桥面。
χbox = e−iπfB/Ū · sin(πfB/Ū) / (πfB/Ū)
q̂ = F₀ χbox / [k − mω² + i cω]
灰色是调参前，彩色是当前；按同一来流相位比较各自稳态，不模拟调参瞬态。改尺度也会改变频率，因此位移还受机械共振影响。拉桥面松手时叠加真实齐次响应，释放位移连续、初始速度为零；关闭持续阵风后可单独观察自由衰减。
B = 24 m、Ū = 25 m/s、竖向阵风幅值 0.25 m/s、每延米质量 20,000 kg/m、fₙ = 0.22 Hz；阻尼可选 2% / 6%。本页均匀升力模型用于教学，导纳需实际气动试验或可信 CFD 确定。后两环节另用沿桥跨离散的阻力随机模型。
先看一瞬间，再看整条记录
把当前阵风写成 r = u / Ū。三个面积分别是平均项 1、一阶项 2r、平方项 r²；全部除以同一个基准动压 p₀。
p / p₀ = (1 + r)² = 1 + 2r + r²
省略项 / 基准 p₀：—
省略项 / 当前精确动压：—
两个百分数分母不同。当 r 接近 −1 时，精确动压接近零，后一相对值会很大；此时不能用它概括全部线性化误差。每个点都来自同一个瞬时风速：横向取线性结果，纵向取精确结果。在线上的点表示两者相同；点在线上方，表示省略了正的平方项。
平均值的遗漏
2.25%相对于基准动压 p₀ = ½ρŪ²，遗漏的平均值为 Iᵤ²。平均动压偏低，与瞬时动压误差是不同的比较。
正在计算波动大小…
RMS 这里指去均值后的标准差。其差异还与风速记录的高阶统计量有关，不能用 Iᵤ² 直接替代。独立演示：固定相位的32个谐波、1024点对称样本，先去均值，再将样本标准差归一为所选 IᵤŪ；各档只缩放同一条 u(t)。不拟合实际风谱，也不与其他环节共用风场。所有动压均除以同一个 p₀。
p(t) = ½ρ(Ū + u)² = ½ρŪ² + ρŪu + ½ρu²
线性化保留前两项。省略项的均值是 ½ρσᵤ²；相对于 ½ρŪ²，均值偏差等于实际样本湍流度的平方。提高湍流度，观察均值与波动 RMS 如何分别变化。
在第四环节把 Iᵤ 调到 5%，返回这里观察；再改为 30% 比较。均值与波动 RMS 是整条记录的统计量，和上方某一瞬间的 r 不同。
宽频来流 / 同一风场，逐级传递
先只左右拖风谱，再只拖橙色 fₙ。彩色是现在，灰色保留改动前；三维与时程比较同一物理时刻。
四图频率轴与前后标尺固定。风、荷载、位移画的是 fS，按 d ln f 的面积积分得到方差；中间的 DAF = k|H| 为无量纲频响，位移功率谱实际乘 |H|²。
本环节独立采用400 m全桥横向模态、Davenport形状谱、41截面和384个频率。默认总风方差保持 (IᵤŪ)²；拖风谱左右改变形状，上下改变Iᵤ。拖fₙ时固定质量、改变刚度，输入风场与荷载完全保留。前后均为各自稳态，不模拟参数切换瞬态。
H(f) = [K − M(2πf)² + i·2ζMωₙ(2πf)]⁻¹
Sq(f) = |H(f)|² SQ(f)
风速、荷载、位移使用同一组 Fourier 系数。每个频率上的位移保留 H 的幅值与相位；三维箭头、梁位移和时程游标对应同一个物理时刻。关闭 χ，观察高频荷载与位移谱的变化。
χ 是无量纲的局部气动导纳；H 是 m/N 的绝对机械导纳。这里采用 χ = [1 + (2πfB/Ū)²]−½ 的零相位教学滤波器。功率谱乘 χ²，幅值才乘 χ。
Q(t) = ∫ φ(x) fᵦ(x,t) dx φ(x) = sin(πx/L)
SQ = (ρŪCᴅD)²χ²Sᵤ ∫∫φ(x)φ(x′)γ(f,|x−x′|) dx dx′
局部气动导纳描述桥宽方向截面载荷的滤波；沿桥跨相干 γ 描述不同截面风速的相关性。它们分别进入计算。把 C 调为 0，观察各处箭头同步；增加 C 后，随机风场在沿桥跨方向分散，广义荷载的谱预测通常减小。
固定风速、湍流度与频率，先比较 C = 0 与 C = 12；再固定 C，比较 ζ = 0.5% 与 3%。前者改变空间积分的输入能量，后者改变结构传递函数。
Davenport 形状的单边合成谱，在 0.00625–2.4 Hz 内重新归一化至目标方差；频率步长 0.00625 Hz，41 个截面离散积分，固定随机种子，160 s 周期记录。“谱预测”是该离散教学谱的统计预测，极低阻尼的连续谱尖峰需另做频率收敛检验。桥梁采用单个横向线性模态，ρ = 1.225 kg/m³、D = 3.2 m、Cᴅ = 1.1、单位长度质量 = 20,000 kg/m；桥塔与主缆固定，主梁和吊索下锚点随模态运动。未计竖向风、扭转耦合、自激力与气动阻尼。画面不是实测风场或全桥气弹分析结果。