此刻的圆柱表面压力系数
Cp = (p − 入口截面平均静压)/(½ρU(t)²)。0°迎风点、90°上方、180°背风点、270°下方。
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尾涡推结构，运动改尾流
把流体升力、质量、刚度与阻尼连起来，观察风速变化怎样让结构振起来，再怎样改变尾流。
连续改变风速，看尾涡怎样推动结构
同一个流场继续计算：外边界固定，圆柱附近网格随结构运动变形。
正在连接本机 CFD 求解服务…
画面将显示求解器刚完成的状态；不读取预计算工况，不补造中间流场。
实际入口风速—U / Uref
约化风速—U / (fₙD)
质量阻尼参数—Sc
当前结构位移—y / D
风速连续变化，流场保留历史
手动改变目标风速，入口会平滑过渡。
尾流频率怎样接近结构频率？
等待足够长的现场时程。虚线 StU/D 是参考估计，不是施加给流场的频率。
流体计算产生升力
升力来自当前流场；没有预设正弦荷载。
质量、刚度与阻尼共同决定响应
等待结构响应建立。改变参数会留下瞬态，不等于立即达到稳态。
查看这一次实验的参数修改
- 尚无参数修改。
参数、频率与实时计算的含义
这里的实时是“根据此刻输入继续数值求解”。运行速度取决于电脑，计算时间不一定与墙钟时间 1∶1；暂停会停止推进，继续沿用同一流场。重置才会清空状态。没有后端服务时不显示替代动画。
图像逐像素使用真实三角单元内的重心插值：压力为求解器 P1 场；速度和涡量采用求解器顶点值的 P1 显示投影，速度先插值分量再求大小。没有额外平滑滤波，也不跨越圆柱固体插值。网格默认隐藏，可单独打开。颜色范围固定，超出范围只使颜色饱和，曲线与导出保留原值。
表面 Cp 以同一时刻的入口截面平均静压为基准，分母使用实际入口风速 U(t)。变速阶段是瞬态压力系数，不能直接当作稳态风压分布。完整 JSON 包括本次时程、参数修改事件、求解网格和导出时刻全部场量；CSV 保留逐步时程。
约化风速 Uᵣ = U/(fₙD) 衡量来流与结构时间尺度。质量阻尼参数采用 Scruton 数 Sc = 4πmζ/(ρD²) = π²m*ζ，其中 m* = m/(ρπD²/4)。不同文献的定义可能相差常数，比较时要先统一。增大 m* 或 ζ 会增大 Sc；改变 fₙ 会改变 Uᵣ，而不会直接改变此定义下的 Sc。
尾流探针与升力的频率从最近一段现场计算结果估计；窗口太短时不报告数值。升速阶段是非稳态过程，窗估计存在延迟。StU/D（St≈0.16）只作参考，求解器不会把脱涡或结构振动强制设为该频率。固定结构下 fₙ 仅用于对照。
采用二维、低雷诺数、局部 ALE 网格的教学计算。有限网格和时间步会影响幅值、频率与数值阻尼。当前隐式 Euler 积分有额外数值阻尼：在 fₙ=0.16、输入 ζ=1%、步长 Δt*=0.05 时，无流体自由衰减的等效阻尼比约 3.5%。因此输入 Sc 不等于数值响应的全部阻尼效应。参数切换及约束切换也会产生瞬态，这些现场趋势不等同于经过收敛验证的工程响应曲线。
外边界不动，圆柱周围的网格随振动变形
跟随同一次流固耦合计算，查看圆柱、真实三角网格与流场的同步变化。
画面直接使用求解网格与保存的流场，不对结构位移进行夸大。
圆柱表面压强分布
圆柱当前位移—y / D
当前升力系数—CL
外边界最大位移—/ D
最小单元面积比—A / A₀
升力来自正在回放的流场
竖线对应当前保存帧，气动力由流体计算得到。
结构响应与网格同步变化
位移与升力来自同一工况、同一时间轴。
改变风速后，两种实测频率怎样变化？
等待各工况的实算频谱摘要。
各工况的末段振幅有多大？
只绘制已完成工况的结果，连线帮助对照离散点。
尾涡产生升力，圆柱真的振起来
选择已计算的风速工况，对照其尾流、升力和位移记录。本页不实时求解 CFD。
流场→升力→结构运动↺运动反馈
同一时刻
涡量颜色、圆柱位置和气动力取自同一算例。整体网格随圆柱平移；位移按实际 y/D 比例显示。
升力主频 / 结构频率—fL / fₙ
响应 / 结构频率—fy / fₙ
末段振幅—A / D
当前位移—y / D
流体给结构的升力
CL 来自壁面动量交换，未指定简谐外力。
质量、弹簧、阻尼共同决定的运动
竖线对应上方流场帧；曲线包括振幅建立过程。
风速改变，流体与结构的频率怎样相遇？
离散点来自各工况末段频谱。虚线 f/fₙ=1 为结构固有频率；连线只帮助读图。
频率接近以后，振动有多大？
末段去均值的半峰峰值 A/D。加密工况后才能进一步界定锁定范围。
先预测，再用这组计算检查
固定结构参数，先选低风速，再逐档提高：哪些工况的 fL/fₙ 接近 1？振幅是否也随之增大？切换固定圆柱后，频率为什么可能改变？
观察提示
固定圆柱的脱涡频率是一个参照。圆柱开始运动后，运动会改变尾流，不能再把固定圆柱的 St·U/D 当作耦合系统必须遵守的频率。两个实测频率接近、振幅增加是需要结合起来看的证据。
CFD 和下面的连续扫风速模型有什么区别？
本环节的力由流体方程求得，并由结构运动反过来改变流体。网页回放预先算好的工况，拖动滑块不调用后台求解器。下一环节用于单独理解 m、k、ζ 和振幅建立时间，采用明确给定的简谐力及连续相位，不能代替双向 CFD。
频率相遇时，振动怎样逐渐建立？
从静止出发积分运动方程。先连续扫风速，再改变刚度或阻尼，比较位移时程。
U(t)→F(t)→m、c、k→y(t)
积分记录
位移按实际 y/D 比例绘制，箭头仅示受力方向。时间步固定，画面刷新率不改变计算。
结构固有频率—Hz
当前激励频率—Hz
当前频率比—fs / fₙ
当前位移—m
激励频率穿过结构固有频率
相位连续累计：θ̇=2πSt·U(t)/D。
响应需要积累，也需要时间衰减
曲线为时域积分结果；竖线与上方运动同步。
力怎样通过结构形成加速度？
F、−ky、−cẏ 相加就是 mÿ；图显示回放时刻附近 8 秒。
相同参数的稳态幅频曲线
稳态曲线是假定每档风速保持足够久的结果。连续扫频可能出现峰值滞后。
m ÿ + c ẏ + k y = ½ρU(t)²D CL sin θ(t)
fₙ = √(k/m)/(2π) c = 2ζ√(km) θ̇ = 2πSt U(t)/D
fₙ = √(k/m)/(2π) c = 2ζ√(km) θ̇ = 2πSt U(t)/D
弹簧力总与位移相反，阻尼力总与速度相反。力与位移未必同相：只有持续向系统输入净功，振动能量才会积累。升速越快，响应越可能来不及达到稳态。
将刚度增大到原来的 4 倍，保持质量不变：固有频率和交会风速各变为多少？再增大阻尼，比较峰值与撤力后的衰减速度。
核对关系
fₙ∝√k，因此两者均变为原来的 2 倍。对这个线性模型，阻尼增大会降低共振附近的稳态峰值，并加快自由振动包络衰减。双向 CFD 的实际频率和响应还受尾流反馈影响。
单位、积分和能量核验
单位长度质量 m 用 kg/m；刚度 k 用 N/m²；阻尼系数 c 用 N·s/m²；F 用 N/m；y 用 m。采用固定步长 RK4 积分，累计输入功减去阻尼耗能应等于机械能变化。
负涡量正涡量颜色：ωD/U 粒子：数值速度积分
来流 U → 横向 y ↑ 拖动旋转 · 滚轮缩放
新增二维低 Re=100 固定圆柱算例。色彩图与粒子均由实际求解的涡量 / 速度驱动。
局部放大仅改变本模型显示，原记录、频谱和峰值不变
脱涡频率 fₛ Hz
频率比 fₛ/fₙ
相对振幅 A/D
交会风速 fₙD/St m/s
真实升力变化 · 与上方绕流同一算例、同一时刻
被动共振 · 阻尼决定峰的尖锐程度
稳态 A/D。m*=10、Cₗ=0.15、ρ=1.225 kg/m³ 为教学假设。
横向位移 UY · 保留原记录数值
位移单边幅值谱 · 与升力谱对照
SIX ORIGINAL CFD RECORDS
后 70% 时间窗同一组风速，两种边界条件
| 工况 | 记录长度 / s | 升力系数峰频 / Hz | 位移峰频 / Hz | max |UY| | UY 去均值 RMS |
|---|
固定 4 m/s 的升力峰频约 0.797 Hz，自由 4 m/s 的升力与位移峰频约 0.759 Hz，且位移明显增大。文件名含
freq1，并未附质量、刚度、阻尼或模态验证表；不能据此把 1 Hz 当作已核实 fₙ，或由三个离散风速确定锁定区间。从频率相遇到流固耦合，还隔着一步
固定圆柱的尾涡频率通常可用 fₛ=St·U/D 作起点。当周期升力接近结构频率，被动共振模型已会产生响应峰；此时激励频率仍随风速变化。
真正的锁定涉及结构运动反过来改变尾流，使脱涡与振动发生同步。要证实它，需要多个风速下的频谱、幅值、相位及相关参数；仅在图上把频率线改成水平段，不能构成耦合计算。
推导、量纲与 Scruton 数约定
单位长度结构满足 m(ÿ+2ζωₙẏ+ωₙ²y)=½ρU²D Cₗ sin(2πfₛt)。令 r=fₛ/fₙ，则稳态振幅 A=½ρU²D Cₗ/[mωₙ²√((1−r²)²+(2ζr)²)]。这里只含外部周期升力，没有流固反馈。
本线性对照环节约定 Sc=4πmζ/(ρD²)=4πm*ζ；原 MATLAB 讲义采用 Sc₀=mζ/(ρD²)，二者相差 4π。一些文献也用 2mδ/(ρD²)，在轻阻尼时 δ≈2πζ。比较数值前必须先核对定义。本线性对照环节采用 m*=m/(ρD²)；实时 CFD 环节采用 m*=m/(ρπD²/4)，故同一个 Sc 写为 π²m*ζ。比较时请注意质量比的分母。
FHWA 原始研究报告（第 3 章）讨论 Strouhal 关系与斜拉索涡激响应，采用质量阻尼参数的另一约定；其对象和限值不可直接移用于桥面断面。本页演示对象为圆柱。
原代码迁移时修正了什么
保留六组数据和时域 / 频域对照的教学脉络；删除人为指定风速带并把 fₛ 强制赋值为 fₙ 的“锁定”代码。源数据先按时间重采样，再去均值、加 Hann 窗和作单边幅值校正；仅偶数样本存在 Nyquist 端点，该端点不翻倍，奇数样本的末个正频率要翻倍。
峰值采用频谱非零频率最大幅值对应的实际频率坐标，未把“排除直流后的局部索引”误用为原频率索引。谱峰为有限时间窗的频率栅格估计，不报告超出分辨率的精度。时程为显示而插值到至多 2400 点；频谱与统计由完整记录计算。UY 数值与原列保持一致，导出未附单位参数表，本页标为原记录单位；D=1 m 仅用于教学模型，不据此改写数据。