6  斜拉桥设计

6.1.1 从桥面开始，一层层找到支承者

桥面、梁、锚固、索、塔与基础构成连续传力链，已有支座还提供梁直接通向墩台的支路。组成图按传力层次显示构件；该显示层次不表示施工安装顺序。

1. 桥面系统把局部荷载交给梁。桥面板承受车轮等局部作用，并通过自身、纵肋及横梁向主梁分配。横梁联系横桥向的不同受力位置；主梁沿桥长承担弯曲、剪力、轴力与扭转。箱梁顶板本身也可兼作桥面板，不能把所有桥都画成依次独立叠放的几根杆。
2. 主梁把一部分作用交给索，另一部分交给支座。主梁仍跨过多个索锚点连续工作，索点之间也有弯矩。梁端、塔位或辅助墩处是否设支座，决定哪些作用可直接经墩台进入基础；并非所有桥面荷载都必须经过斜索。
3. 梁侧锚固把主梁与索接起来。“梁侧”指斜拉索与主梁连接的一端，锚点可位于跨内；“主梁端部”另指梁的实体端部。梁锚由索端锚具、承压板及锚箱或横隔构件等组成。索力集中在很小的区域，再经板件、焊缝或混凝土配筋区扩散到梁截面；局部传力不能只用一个几何点代替。不同桥可锚在主梁、横梁或专门锚固构件上。锚固原文与构造边界
4. 拉索靠塔侧锚固获得支承。高强钢丝或钢绞线承担轴拉力，护套与密封主要负责防护。沿索到塔端，锚具把索力传入锚箱、横隔板或混凝土锚固区，再进入塔身；塔不是只承受一个塔顶竖向力。图示采用两端锚固，另有通过塔上索鞍的构造，需按实际连接辨认。
5. 桥塔、背索和基础使作用继续传下去。塔承受索传来的竖向压力与水平作用；背索可向塔提供反向水平分力，其另一端还要由边跨、端部锚固或地锚承接。桥塔和墩台最终经承台、桩基或扩大基础把作用交给地基。索有两端，支承路径也必须追到有效约束处。

本组成图的常规双塔、独塔有背索和部分地锚三种模式采用两侧纵向I形主梁加横梁；无背索模式改用中央箱形主梁脊与向两侧伸出的悬臂横梁。观察索锚在哪根梁上，再判断横桥向的荷载怎样汇入索点。实桥主梁材料可为混凝土、钢或钢—混凝土组合，截面与横向分工随布置改变。拉索常由平行钢丝或钢绞线组成，索体防腐、护套密封与锚区排水共同保护受拉钢材；梁锚和塔锚还要留出张拉、检查和换索空间。

选中梁锚或塔锚，点击“连接近看”，分别辨认“索—锚具”和“锚具—主体结构”两个连接层次，再回到全桥。将荷载位置设想为偏到桥面一侧：单索面不能单靠中央一排竖向托力平衡偏心扭矩，仍需主梁抗扭与横向构造；双索面可由两侧索力差分担扭转，但也离不开横梁与桥面协调。

6.1.2 独塔、有无背索与部分地锚

先转动三维模型，开关桥面、横梁、主梁、拉索、锚固、主塔、支座与基础等图层；用“透看梁架”观察桥面下面的构造。默认显示独塔有背索，可切换Alamillo参考构造的无背索模式与双塔三跨部分地锚模式。先数塔，再沿索找到两端连接；展开传力步骤，继续追到基础与地锚。

独塔说的是塔的数量，无背索说的是塔后方的连接，两者不是同一分类。

常规双塔桥由两塔的主跨索共同托住主跨，各塔还有边跨索参与平衡；独塔桥同样可以在塔的两侧布索。背索既可能锚入边跨主梁，也可能连接独立锚碇，因此“有背索”还不能确定其水平力最终进入主梁还是地基。

无背索模式参考阿拉米略桥（Alamillo，亦译阿拉米罗桥）：后倾单柱塔、连接中央主梁脊的成对斜索、中央钢箱脊及向两侧悬臂的桥面构件。先隐藏桥面，找到“桥面—悬臂横梁—中央主梁脊—斜索”的传力顺序，再观察塔顶后倾方向与前方索力方向。倾塔自重对基础产生的偏心力矩提供反向平衡作用；塔身、塔梁连接及基础仍共同受力，不能由后倾外形推出任意荷载下塔基弯矩均为零。设计者明确说明以倾塔重量替代一组背索；本图据其构造特征作教学重建，不作为实桥整体平衡或基础验算。设计方原始资料

本图的部分地锚模式采用双塔三跨：两塔之间为主跨，两外侧各有一边跨；左右边跨仍保留锚在梁上的普通斜索，两外侧另有长背索连接各自的独立地锚。部分地锚的分类依据是部分索力直接进入地锚，并不要求所有此类桥都必须双塔。改变的是索力进入梁还是进入地基的路径；主梁可减压，也可能出现受拉区，地锚则承接水平拉力与竖向上拔。其构造与公式在部分地锚中继续展开。

用Bago桥构造模型再作一次辨认

先认主梁、桥塔、主跨索与边跨索，再沿一根索找到两个锚点。这里的索集中在桥面中央；观察横梁及梁的截面，说明偏心桥面荷载还需经过哪些横向构件。

原有可旋转双塔三跨模型保留构件辨认功能，不能由它的外形直接读取全桥索力。

6.1.3 竖向托力与水平作用

拉索在两端都沿索轴拉住相连构件，方向指向索的另一端。在梁侧锚点取自由体，索拉力为 $T$，与水平线夹角为 $\theta$，有

$$V=T\sin\theta,\qquad H=T\cos\theta=V\cot\theta.$$

$V$ 向上支承主梁，$H$ 把梁拉向桥塔。沿半跨向塔逐根累加水平分力，可看出主梁轴压力的增长；梁还承受索点间局部弯曲、整体弯曲和偏载扭转。斜拉索减小了梁的主要受弯尺度，也给梁引入了轴压。

例6-1　同样托住1000 kN。

保持竖向托力相同，索越平，所需拉力和水平分力越大。若改为保持索拉力相同，竖向分力也随倾角变化，已经换了一组比较条件。分力与原索力是同一个作用的两种表达，不能在模型中重复施加。

6.1.4 竖琴形（harp）、辐射形（fan）与扇形（semi-fan）

单索分力与左右不平衡。默认每侧10根索，左侧总托力10000 kN、右侧11000 kN。每根索旁直接标出竖向托力 $V$；上下拖动梁上索锚的操作点即可单独调索，向上拖增大 $V$，向下拖减小 $V$，锚点几何位置不变。选中的索还可用滑块和数字框微调。固定每根索竖向分力切换索形，只改变索角及相应轴拉力、水平分力；提高右侧分力则另行改变荷载分配，主塔与主梁的响应按新的输入计算。

原位轮廓与放大后的变形叠加，弯矩带贴着各自构件显示；量值按读数、变形倍数与弯矩图尺判断。整侧倍率会重新均分该侧托力，逐索拖动则只改变一根索。改变索数时保留各侧当前总托力并重新均分，达到每索上限时按界面提示核对，避免把“索更密”与“荷载更多”混在一起。

英文文献的 fan 有时指集中式，有时指分散扇形，查阅时须看图确认。本章采用上表对应关系，术语来源与同条件算例另列。

6.1.5 从微段荷载积分到主梁轴力

主梁切口以外各微段的水平分力累积为该截面的轴力。固定跨度、荷载和最高锚高时，索形决定积分中的分力分布；改变跨中轴力则使整条轴力图平移。这个图采用密索连续化的平衡模型，并非前图离散给定索力梁的另一幅结果。

取主跨长度 $L$、半跨 $a=L/2$，$x$ 从塔向跨中量取，$0\le x\le a$。主梁等截面面积为 $A$、材料重度为 $\gamma$，附加线荷载为 $q_0$，则 $q=\gamma A+q_0$。其中 $\gamma$ 的单位为kN/m³，$q$ 为kN/m。暂令索承担全部微段荷载 $\mathrm dV=q\,\mathrm dx$，则水平分力密度为

$$g(x)=\frac{\mathrm dH}{\mathrm dx}=q\cot\theta(x),\qquad N(x)=N_c+\int_x^a g(s)\,\mathrm ds.$$

本节以轴压为正，$N_c=N(a)$ 为跨中轴力。对称不能推出 $N_c=0$。它还取决于梁侧锚固、塔梁纵向约束及合龙形成的状态；图中的索形积分模式采用明确的 $N_c=0$ 基准边界，其他边界应保留下式的积分常数。

fan的水平分力密度随距塔距离线性增大，积分得到抛物线；竖琴形索角相同，水平分力密度为常数，积分得到直线。在这些比较条件下，竖琴形塔旁轴压力是fan的2倍；该结论不能直接套给锚点分散的semi-fan，后者要按实际 $z(x)$ 积分。

默认 $L=400$ m、$h=80$ m、$\gamma=25$ kN/m³、$A=8$ m²、$q_0=0$，故 $q=200$ kN/m。取 $N_c=0$，fan与竖琴形的塔旁轴压力分别为50000、100000 kN。若只计等截面梁自重，除以 $A$ 后面积消去；这不等于加大截面没有作用，因为梁的抗弯、稳定、附加荷载与构造条件尚未包含在这个轴力比较中。独立推导与边界条件

6.1.6 两侧不对称时主塔怎样受弯

在塔端分别累加向右、向左的索水平分力。水平合力相抵还不够，各力的作用高度也决定弯矩。等大反向水平力若位于不同高度，合力为零仍可形成力偶；只有左右相应索的力与锚固高度同时匹配，才能逐对抵消其水平弯曲作用。

这一索形面板的主梁长144 m，塔在梁中点72 m处，最外梁锚距塔60 m，两端各再延长12 m。梁承受总量24000 kN的均布荷载，$q=24000/144\approx166.67$ kN/m，梁的 $EI=8\times10^8$ kN·m²。塔基固定在桥面以下15 m，塔的 $EI=2\times10^8$ kN·m²；塔高改变时，固定底以上总高为桥面以上塔高加15 m。

图中采用给定索力的力控教学模型：主梁在两端与塔位设竖向支座，塔位挠度为零，梁仍连续。塔位支座不限制梁截面转角；这里没有把梁断开为中铰，也没有将梁塔固结。先求梁的内力、位移和 $R_A,R_{\mathrm{塔}},R_B$，再把索端作用及梁传来的 $R_{\mathrm{塔}}$ 施加于固定底塔，塔梁变形不反馈更新索力。下文以桥面为 $z=0$，图中竖坐标则从塔基起算，二者关系为 $Z=z+15$。各索塔锚高为 $h_i$，向右的水平分力为正，有

$$M(z)=\sum_{h_i>z}H_i(h_i-z),\qquad M_{\mathrm{基}}=\sum_iH_i(h_i+15).$$

塔的剪力来自该截面以上的水平分力合计，轴压力来自索的竖向分力，并在桥面以下计入梁支座传来的 $R_{\mathrm{塔}}$。竖琴形的塔锚沿高度分布，内力图随锚点逐段变化；集中扇形的水平力作用于塔顶，塔顶以下的剪力为常值、弯矩为直线。图线是这组固定塔条件下的计算结果，未计塔自重、基础柔度和二阶效应。三个支座均按双向理想约束求解；出现负反力时，普通仅受压支座已不能维持该假定，需抗拔构造或改变方案后重算。

还有一项可独立检查：$H_i h_i=V_i x_i$，其中 $x_i$ 为梁锚点相对塔的有符号距离。因此固定各点 $V_i$ 与 $x_i$ 时，桥面截面的塔弯矩 $M(0)=\sum V_i x_i$ 不随索形改变；塔基弯矩还含桥面以下塔段的 $15\sum H_i$，可能改变。比较“塔弯矩”应先指出比较哪个截面。塔图的计算条件

6.1.7 索的弹性支承与总体选择

两幅图采用同一根连续梁、相同六个支承位置及相同荷载和 $EI$，分别求刚性支点与斜索等效弹性支承的响应。弹簧刚度和荷载分布共同影响支点位移、梁弯矩与反力。两图的主梁都连续：支点不下沉不等于支点处梁弯矩为零，弹性下沉也不等于梁在此断开。

切换“等效竖向弹簧”与“固定塔端斜拉索”只改变画法，不改变计算状态。点击同一支点，记录其竖向刚度、位移增量与托力增量，再用下式核验；比较两幅变形与弯矩时沿用图中的共同图尺。

本图采用120 m梁、两端简支，在15、30、45、75、90、105 m处比较刚性约束与弹性支承，梁的 $EI=8\times10^8$ kN·m²。默认在选定参考平衡状态上新增均布荷载80 kN/m；沿桥长改为左右半跨不均匀加载时，新增荷载总量不变。图中位移、弯矩和反力均为相对参考态的响应增量。换算索刚度时假定塔端固定在 $x=60$ m、桥面以上40 m处，但中间60 m处没有另加竖向支座，不能与前面的144 m索形图或后面的120 m优化图混用。

直索、小位移、塔端固定且梁端水平位移受限时，只计材料轴向变形。梁端下移 $v$ 先在索轴方向投影为 $v\sin\theta$；增加的索力再向竖直方向投影。因此

$$\Delta V=k_vv,\qquad k_v=\frac{EA}{l}\sin^2\theta.$$

弹簧的托力增量与梁的位移同时求解；刚性支点则规定该点 $v=0$，由平衡和协调求反力。当各 $k_v$ 不断增大时，弹性解趋近相应刚性支点连续梁；不能由此推出每个截面的正负弯矩都单调减小。这里不计算初拉力、垂度与塔偏；若某索的托力增量为负，应先解释为减拉，再结合初始索力判断是否松弛。端支反力增量为负，也须叠加初态后再判断是否需要抗拔约束。模型、边界与刚性极限

例6-2。$E=195$ GPa、$A=6000$ mm²、$l=100$ m、$\theta=30^\circ$，则 $EA/l=11.7$ MN/m，$k_v=2.925$ MN/m。梁端下移20 mm使索力增加117 kN，竖向支承增加58.5 kN。实际塔端移动、长索垂度和初拉力几何刚度会改变这个结果。

6.2.1 目标不同，索力分配与响应也不同

各索竖向分力改变后，连续梁的线形、弯矩和三个支反力随之重分配。线形目标控制选定位置的位移，弯曲应变能目标控制全梁积分量；同一组荷载下，两种目标得到的索力与局部峰值未必相同。图中的操作点和数字框均用于改变 $V_i$，不会移动实际锚点。

本图默认采用12索密索模式：梁长120 m，在两端和中间塔位竖向支承，梁体连续，均布荷载80 kN/m，$EI=8\times10^8$ kN·m²。塔位挠度为零，梁截面转角连续且不被支座锁定，塔位梁弯矩一般不为零。每侧6个索竖向作用点；本交互以各索竖向分力 $V_i$ 为控制量，边界为 $0\le V_i\le2000$ kN，再由索角换算轴拉力 $T_i=V_i/\sin\theta_i$。固定塔后处理计入索端作用与塔位支反力传入的竖向作用，塔变形不回到梁索求解中。三个支座采用双向理想约束，负反力需另作抗拔判断。完整模型条件

切换到4索手算模式，索竖向作用点改为24、48、72、96 m，变量边界改为每点0—3200 kN；其余梁参数相同。以下仅列这组四索结果，便于手算复核：

表中 $V$ 是索竖向分力，不是张拉千斤顶读数；轴向拉力仍须按该索角度用 $T=V/\sin\theta$ 换算。结果均来自含塔位竖向支座的四索模式。弯曲能较小的方案并没有最小的挠度均方根；其121点采样最大弯矩绝对值也由初估的4949 kN·m增至约5112 kN·m，说明积分目标降低不保证局部峰值降低。很小的残余挠度是理想恒载调平模型的结果，不表示实桥施工能够达到这一精度。

6.2.2 从索力初估到有约束的求解

合理成桥状态包括目标线形、索力、梁塔内力、支反力和参考温度。它还应能通过实际安装顺序达到。实桥通常通过张拉量或无应力长度调整改变索力；某根索张拉以后，梁塔变形又会改变其他索力，不能把所有张力当成互不影响的外部设定。

弯曲应变能目标可写为 $U_b=\int M^2/(2EI)\,\mathrm dx$，它倾向于减小全梁弯曲程度；线形目标则使选定位置接近目标标高。两者控制的量不同，线形接近零也可能出现局部正负弯矩或过大的张力。图中的求解仅考虑所声明的变量边界，完整工程优化还需加入表中的其他约束。

6.2.3 影响矩阵把一次调整画成一列

在给定初始状态附近，对第 $j$ 根索作小调整，记录第 $i$ 个响应的变化：

$$A_{ij}=\frac{\Delta r_i}{\Delta T_j},\qquad \Delta\mathbf r=\mathbf A\Delta\mathbf T.$$

一列表示一根索影响了哪些位置，一行表示某一位置受各索调整影响的程度。位移、弯矩、塔位和支反力需要各自的影响系数。本图滑块采用 $V_i$，相应矩阵列是单位托力的影响；如果换成轴向张力 $T_i$，必须包含 $\sin\theta_i$ 的换算。

常用的局部多目标形式为

$$\min_{\Delta\mathbf T}\left\|\mathbf W(\mathbf r_0+\mathbf A\Delta\mathbf T-\mathbf r^*)\right\|^2.$$

$\mathbf r_0$ 是当前响应，$\mathbf r^*$ 是目标，$\mathbf W$ 按控制尺度把位移、弯矩等量无量纲化。求得调整量后，应在完整模型重新求平衡；调整幅度较大、施工状态改变或索松弛时，要更新影响矩阵。两索手算、误差定位和监控识别放在独立算例。

核验从简单条件开始：总重与反力平衡、对称输入与对称响应、理想铰支端弯矩为零，再检查网格或采样加密的影响。索长、索角、索面积和单位应同步更新；三维图上只把塔拉高，并不能完成结构模型更新。

6.3.1 双塔三跨先看四组索

先沿桥从左到右辨认左边跨索、左塔主跨索、右塔主跨索、右边跨索。默认基本跨径为80+160+80 m，两塔位于80、240 m处，四组各8根索；主跨由两塔向跨中伸出的索系共同托住。每根边跨索托力600 kN、每根主跨索750 kN，梁承受80 kN/m均布荷载。每个塔的两侧水平索力需要分别累计，不能把全桥左右对称直接理解成每座塔在任何工况下都不受弯。

边跨40、280 m处的辅助墩在相同荷载与索竖向分力下提供额外竖向约束。启用后，梁的变形、弯矩和全部支反力共同改变；改变一根主跨索的竖向分力，也会通过连续梁影响邻跨。这个面板求解整根连续梁，并分别计算两塔响应；它与前面的单塔144 m索形图、120 m优化图采用不同的跨径和支点。

辅助墩改变了哪条传力路径。

辅助墩把边跨梁在该位置的竖向位移约束为零，部分作用可由梁经墩直接传向基础。支承增加，连续梁的正负弯矩与支反力会重新分配，应逐项比较各跨与各支点，不能预设所有响应都会减小。辅助墩处主梁仍连续，支座允许截面转角，既不是梁内铰，也不是新增一座斜拉塔。

默认索力下，从无辅助墩改为两侧辅助墩全开，每座辅助墩承担592 kN，每座塔的梁支座反力由1323.75降至1000 kN。边跨的最大采样挠度绝对值由6.845降至0.654 mm，主跨却由5.733增至14.613 mm。辅助墩改变整根连续梁的变形协调，因此边跨的局部改善并不保证主跨响应也改善。

“双塔三跨”描述端部—左塔—右塔—端部的基本布置；两边跨各加一座辅助墩后，竖向支承分跨成为40+40+160+40+40 m，两座主塔不变。图中的辅助墩反力进入各自基础，塔位支反力才计入相应主塔的轴力。全部支座按双向理想约束求解；任一反力为负，都表示该处需要抗拔约束或改变受力状态后重算，不能把负值删去仍沿用原结果。模型与支承条件

本图仍以每根 $V_i$ 为直接给定量。仅开关辅助墩、保持全部索力不变时，梁响应与塔轴力可以改变；塔的水平弯矩和侧移仍由原索水平分力决定。实桥的支承变化还会通过塔—梁—索的变形协调改变索力，判断辅助墩对整桥刚度的效果需要进一步耦合分析。

6.3.2 部分地锚：把哪一部分水平力交给地基

先辨认这座双塔三跨部分地锚教学桥的主跨与左右边跨。两座塔都以普通斜索连接主跨和边跨主梁，另向各自外侧伸出长背索，连接梁外的独立地锚。左右边跨并未撤去梁锚索，地锚也未成为主梁的竖向支点。

分别从左、右主塔沿长背索追到地锚，画出主梁—普通斜索—主塔—长背索—地锚与地基这条支路；它不是一根索直接把梁连到地锚，主塔同时还有通向自身基础的路径。自锚对照把端锚索的作用传入边跨梁端，部分地锚则把这部分索力交给独立锚碇。减压的原因是传力边界改变，水平力并未消失。地锚承受相应水平作用，也须把索带来的竖向上拔作用交给地基，因而需要可承接这些作用的锚碇、地基条件和空间；辅助墩则主要增加梁的竖向支点，两者不能互相替代。原论文的双塔三跨图式与传力边界

构造图的索数、锚碇和尺度为教学简化，不是原论文算例的几何复刻；需要读轴力数值时，再进入轴力图的“部分地锚”模式。把索转锚到地基可以降低一部分主梁压力，但也可能使主跨受拉，并改变锚碇上拔、纵向变形和施工合龙条件，不能只凭主梁减压就判定整体方案更优。

以下公式对应轴力积分面板的集中fan模型，不从上方三维构造图取数。主跨半长为 $a$、边跨长为 $b\le a$。梁在塔位及端部的支座不传纵向力，塔梁之间也没有额外集中水平力；部分地锚状态的边跨梁端轴力为零。由该边界积分，主跨有

$$N_{\mathrm{地锚}}(x)=\frac{q(b^2-x^2)}{2h} =N_{\mathrm{自锚}}(x)-H_A,\qquad H_A=\frac{q(a^2-b^2)}{2h}.$$

这里的自锚对照在梁端承受端锚索水平分量 $H_A$；改接地锚后，这一部分不再进入主梁，轴力图整体向拉力方向平移。零轴力位置为 $x=b$，靠塔一段受压，$b<x\le a$ 一段受拉。沿用400 m主跨、80 m塔高及200 kN/m荷载，取 $b=100$ m，塔旁压力降为12500 kN，跨中轴力为−37500 kN，即37500 kN拉力；每侧地锚承接的水平分量为37500 kN。轴力面板的等效地锚与梁面同高、距塔100 m，对应上拔分量 $V_A=H_Ah/b=30000$ kN。上方组成图把地锚画在较低的地基处，若据其真实坐标求上拔，须按实际索角重算，不能直接套用这一数值。

在自锚对照中，这个端锚索的竖向分量作用于梁端；由于连续索已承担全部均布荷载，额外上拔还需由向下约束或其他构件平衡，不能默认普通承压支座足够。减小塔旁压力的同时，需要检查跨中受拉、锚碇和地基、纵向变形及施工合龙。不能从一个轴力峰值降低就判断整桥方案更优；成桥的纵向释放条件也不能直接照搬到悬臂施工阶段。模型推导及适用条件

6.3.3 从边跨约束走向中塔问题

汀九桥中央塔顶的长索延伸至邻塔附近的梁塔交接区；跨中交叉索则由相邻塔分别连向主梁，在主跨内形成投影交叠。正立面便于比较跨度，斜视便于辨认分幅桥面、索面及投影交点。着色开关只用于突出特殊索，不表示拆索或失效。

第三种图式比较塔与梁的刚度路径。三幅图用于辨认连接，未计算实桥位移；汀九采用有来源的基本布置，另外两幅采用同尺度教学几何。图内“进一步计算”另列两座内塔的简化模型，用数值说明作用怎样传到邻塔。

双塔桥的主跨加载时，边跨索、边跨主梁与支点可提供后方约束。连续多塔桥的内塔两侧都是主跨，较难像端塔那样直接借助邻近端部体系抵抗不平衡水平作用。塔移动使索端一起移动，改变索的有效支承，进一步影响主梁挠度与其他塔的受力。

多跨与多塔不是同一个计数。苏通大桥主桥有七跨、两座主塔；米约高架桥有七座塔、八跨。讨论中塔问题时，应画出塔与两侧索的连接，而不是只数桥墩。苏通布置米约布置

6.3.4 两个自由度看清跨间传力

图内“进一步计算”给出两个水平自由度的弹簧模型。单塔不平衡作用会经跨间联系使另一塔移动，塔身、外侧约束与联系刚度共同决定分担。这里截取连续多塔桥中的两座内塔，不是把上面的三塔图或双塔三跨桥直接缩成两个节点。把水平位移记为 $u_1,u_2$，塔身刚度为 $k_t$，各自外侧的索梁及端部约束为 $k_e$，内塔之间的耦合刚度为 $k_c$。第一塔平衡为

$$(k_t+k_e)u_1+k_c(u_1-u_2)=p_1.$$

第一项是塔身和外侧约束的抵抗，第二项由两塔相对位移产生。另一塔有相应平衡式，联立即可求两塔位移。$p_i$ 是等效塔顶不平衡水平力，不是直接把车重横着施加；本图是线性弹簧模型，不给出真实桥梁索力和梁挠度。矩阵与手算列在补充资料。

默认 $k_t=k_e=4000$ kN/m、$k_c=12000$ kN/m，仅第一塔受1000 kN时，两塔向右位移分别为78.125、46.875 mm。若去掉跨间联系，第一塔移动125 mm，第二塔不动。将两塔改为同向等量受力，跨间弹簧不伸缩；这说明增强联系对共同移动与相对移动的作用不同。

6.3.5 约束措施与实际连接

Queensferry Crossing采用跨中交叉索为中塔提供约束，这是其官方方案明确提出的设计问题。图上索线交叉并不代表交点有连接。约束来自索的真实端部锚固及梁塔共同变形；不能在计算简图里擅自把投影交点变成节点。项目原文

香港汀九桥采用另一种布置：纵向稳定索从中央塔顶伸向两侧邻塔附近的梁塔交接区，使中塔获得通向相邻塔位的约束。这里的端点位于桥面附近，不应画成直接锚到邻塔的水下基础。汀九的纵向稳定索与Queensferry的跨中交叉索分别改变不同的连接关系；辨认时先追踪索的两个真实端点，再看投影是否交叉。香港路政署与设计单位

稳定索也参与塔、梁、索的动力耦合。对汀九桥的研究表明，其作用应按中塔、边塔及主梁分别考察，不能把一种加载下中塔响应降低概括为全部构件、全部工况都更小。这里的弹簧读数是教学参数计算，不是汀九桥或Queensferry的实桥结果。原研究

塔梁连接还决定基本边界：漂浮体系塔处通常不设梁的竖向支承；半漂浮体系设置竖向支承；塔梁固结传递弯矩；塔梁墩固结进一步形成刚构共同工作。名称应与纵横向限位、支座和阻尼装置的实际布置一起使用。

6.4.1 永久索、临时索与同索两用

阶段图保留永久斜拉、拱桥临时扣挂及预应力梁悬臂三个入口。本章主要比较拉力构件在成桥后是否保留、作用从何处进入主体；完整梁桥与拱桥工序分别见第4章和第5章。显示中的连接、锚固和临时约束须与所选阶段对应；阶段图不提供张拉或卸索的计算值。

在永久斜拉体系中，成桥后拉索仍保留；拱桥则在合龙并满足转换条件后分级卸扣、拆除临时索塔。对预应力梁开启“剖开箱梁看体内束”，辨认顶板附近的悬臂束和合龙后跨越中跨的底板连续束，观察挂篮与临时固结何时退出。安装位置、接头形成、张拉完成是三个不同事件；一幅完成安装的阶段图并未省去这些工序的区别。

“斜拉桥”是成桥体系的名称，“斜拉施工”则是一种阶段支承方法。采用斜拉扣挂架设的拱桥，成桥仍可由拱承担主要作用；临时塔与索虽不保留，施工时仍须承担真实作用。AISC/NSBA手册给出临时塔和前后斜索架拱的图式。施工依据

米约高架桥还说明“永久”与“施工用途”可以兼有：顶推阶段在梁体前部配置部分挂索的塔，其永久索也参加顶推支承；后续再形成完整七塔成桥体系。使用同一根索不等于采用同一目标索力，每个阶段的几何、荷载和边界都要重新确定。运营方与参建方资料

6.4.2 体内预应力与外部斜拉怎样类比

第4章的预应力混凝土梁也可从桥墩向两侧对称悬臂施工。体内预应力筋与外部斜索都受拉，都通过张拉和锚固改变构件的作用与变形；关键区别在于拉力从哪里传入、是否形成梁外的竖向支承。

所以，体内预应力不能直接画成把梁段吊起来的外部斜索。若用等效荷载解释曲线预应力筋，须同时保留端部力、偏心作用和转向作用；不能只画一个向上箭头就替代完整作用。比较三种施工方法时，都要标出当前接头、有效锚固和临时约束，但不把它们视为同一计算模型。预应力与悬臂施工依据

6.4.3 悬臂循环与合龙

钢梁常按吊装、连接、安装并张拉拉索、卸除吊机作用逐段前进；混凝土梁增加挂篮、钢筋与预应力、浇筑养护及挂篮前移。对称施工可减小不平衡作用，但还要计入吊机位置、堆载和施工时点。

合龙前，两侧悬臂分别受力；合龙接头生效后，后续荷载由新的连续体系承担。应记录梁端高差、纵向间隙、转角、温度与索力；强制闭合会锁入内力，不能把成桥模型一次加载当作施工过程。

6.4.4 无应力长度、正装与倒拆

直索线弹性近似下，无应力长度为 $l_0$、拉力为 $T$，温度相对制造参考温度变化 $\Delta\tau$，有

$$l\approx l_0\left(1+\frac{T}{EA}+\alpha\Delta\tau\right).$$

因此，制造长度、安装时两锚点弦长、弹性伸长和温度伸长应分列。塔梁也在变形，实桥需要共同满足长度相容；垂度与相容补充进一步说明直索近似的边界。

正装分析按真实顺序激活构件、连接与荷载，继承已有内力及混凝土时变效应；倒拆分析从目标成桥状态逐步移除荷载和构件，推求候选安装量。倒拆结果必须经正装复核，检查能否回到目标线形与索力。成桥总索力不能直接用作每次安装的张拉值。

6.5.1 历史看传力路径怎样改变

从布鲁克林桥开始，旋转到斜视，分别显示主缆、吊索与斜索，沿每类索追踪端部连接。再看Strömsund的稀索布置、同条件的harp/fan/semi-fan和米约的七塔连续体系；用正立面比较沿桥布置，用俯视和构件点选辨认索面、梁与塔。标签可关闭以观察完整外形，再打开核对构件。三维模型按来源记录重构基本布置，细部为教学近似。

斜向拉杆或拉索支承桥面的构想早于现代斜拉桥。现代体系的发展需要把高强索材、可靠锚固、索的变形分析和可控张拉结合起来，不能用“有没有斜线”判断一座桥在结构史中的位置。历史资料

Strömsund的1955指钢结构施工年代，当地政府记录的启用日为1956年9月27日；这里保留事件区别。表中尺寸及日期是工程记录，受力解释为本章据其构造作的教学分析。Strömsund · 汀九 · 米约 · 苏通 · Queensferry

6.5.2 布鲁克林桥为何既有吊索又有斜索

从梁上同一范围出发，可以辨认两条传力路径：一条经过竖直吊索进入弯曲的主缆，再传向塔与锚碇；另一条由斜索直接通向塔。主缆、吊索、斜索与加劲桁架共同工作，具体分担取决于刚度、初始张力和变形协调。

纽约市交通局把布鲁克林桥称为 suspension/stay 混合体系，国会图书馆的工程档案也分别列出竖直吊索与斜索。因此，不能把桥上所有斜索解释成施工后未拆的辅助绳，也不能因有斜索就把它等同于本章的现代纯斜拉体系。纽约市交通局工程档案

图中的可见性开关只帮助辨认构件，并未模拟拆索重分配。若实际移除其中一种索系，必须重新求解完整结构；不能认为另一条路径会自动承担全部荷载，也不能从照片统计的索数量推算分担比例。悬索桥主缆、吊索与锚碇的专门分析见下一章。

6.6.1 集中索力进入梁与塔

组装视图显示实际接触与传力，分解视图分别显示钢绞线、夹片、锚体、螺母、承压板与局部构造。分解图的空隙只是展示方式；工作状态下，索力须经实际接触、连接与锚固传递。

索—塔—梁整体模型先给出锚点作用，再由横梁、腹板和隔板分配，最后落实到焊缝、螺栓或混凝土局部承压。锚点偏离主梁参考轴时，还产生 $\mathbf M=\mathbf e\times\mathbf T$。整体与局部模型的边界合力、合矩应一致；混凝土承压区的横向拉力和钢锚箱的疲劳细节需要各自检查。

6.6.2 活载、索振与整体稳定

主梁弯矩、塔底弯矩、塔顶位移、索力与端支座反力的最不利加载位置不同，应分别求包络；偏心交通还会使双索面的索力不等。车辆增量应由同一几何、温度和边界下的总状态相减：$\Delta T_P=T(G+P)-T(G)$。预张拉参考力不一定等于恒载平衡力。

例6-3。预张拉参考力1900 kN、恒载平衡力2100 kN、有车总力2220 kN，车辆索力增量为120 kN。2220−1900=320 kN还含恒载重新分配，不是纯车辆增量。

局部索振与全桥竖弯、侧弯、扭转模态需要区分。第2章索力识别已给出理想弦测频估索力的方法；本章把它放回具体拉索与锚端。实索的垂度、弯曲刚度、端部约束和阻尼装置会改变频率，不能把频谱任意峰值直接代入。

阻尼器通过耗能减小振幅，表面构造改变气流或雨水流动，索间连接改变模态。主梁与桥塔的轴压还会产生二阶效应；风、地震及施工悬臂状态需在对应初始平衡状态上分析。FHWA索振资料。风雨振辨识及被动、半主动、主动减振的比较集中在第9章。

6.6.3 换索与监测资料

护套、密封、排水与锚具防腐共同保护索体，构造还需预留检查及更换空间。旧索卸载会把作用转到邻索、主梁和桥塔；临时索建立、旧索退出、新索张拉和临时设施拆除各阶段都要计算与复测。只恢复新索的读数，不能证明梁塔与邻索已经恢复目标状态。

监测记录应把索力、标高、塔位、应变与温度对应到同一时刻和施工阶段。初始张拉、调整增量与成桥总索力分列，无应力长度与安装弦长分列。AI可辅助整理数据和矩阵，结构连接、单位、荷载状态及来源仍需人工核验；故障定位算例提供独立检查。

6.7.1 本章练习

基础计算为第1a、2a、3a、5题；模型比较为第1b—1c、2b—2c、3b、7—9题；综合表达为第4、6、10题。各项分别提交图、式、同条件读数或解释，避免把一次界面操作等同于完成全部分析。

1. 双塔三跨的支承关系（对应目标：1）。

1a　基本体系。下图为左右对称的双塔三跨斜拉桥。关于主跨索、边跨索和桥塔的关系，选择正确的一项，并解释其余两项的问题。

A. 两塔都只向主跨伸出斜拉索，边跨由塔悬臂承担。

B. 塔两侧均有索连接主梁；对称恒载下可部分平衡水平作用，但活载仍可能使塔受弯。

C. 只要左右对称，桥塔在任何荷载下都不会受弯。

1b　锚固传力。提交从桥面板经横梁、主梁、梁锚、拉索、塔锚与基础的传力图，并标出主梁经支座直接传向基础的支路。分别在梁锚和塔锚近看图中标出索端锚具、承压构件及主体结构；说明梁侧锚固为何可以位于跨内。

1c　体系对照。对独塔有背索、独塔无背索和部分地锚，画出水平作用最终由谁承接，解释独塔为何不等于无背索。在Alamillo参考模型中辨认中央主梁脊及后倾塔；在部分地锚模型中圈出两塔三跨、左右边跨梁锚索与两外侧长地锚索。

2. 从单索分力到主梁轴力（对应目标：1）。

2a　单索计算。一根直斜拉索与水平线夹角为 30°，需向主梁提供 900 kN 的竖向支承力。忽略垂度，求索拉力 T（kN）及水平分力 H；保持竖向支承力不变，比较索角改为 45° 后的结果。

2b　连续积分。取轴力积分模型 $L=400$ m、$h=80$ m、$\gamma=25$ kN/m³、$A=8$ m²、$q_0=0$。从 $\mathrm dH=q\cot\theta\,\mathrm dx$ 分别积分求fan与竖琴形的轴力，先保留 $N_c$，再取 $N_c=0$ 算塔旁压力。说明为何“左右对称”不能代替跨中轴力边界。

2c　边界迁移。取部分地锚fan模式，边跨 $b=100$ m，计算地锚承接的 $H_A,V_A$、塔旁轴力、零轴力位置和跨中拉力；画出地锚与辅助墩不同的传力方向。

3. 斜拉索的弹性支承（对应目标：1）。

3a　刚度计算。塔端固定，梁端只作竖向小位移。直索 E=200 GPa、A=5000 mm²、长度 l=80 m，与水平线夹角为 45°。仅计索的线弹性轴向变形，忽略垂度及初拉力的几何刚度，求竖向刚度 kᵥ（MN/m）；再求梁端向下移动 10 mm 时的索力增量与竖向支承力增量。

3b　同条件比较。在刚性／弹性支承面板中，保持梁、荷载和六个支点位置不变，记录默认弹性解与刚性解；逐步提高索刚度后，再改为沿桥长左重右轻。比较支点位移、弯矩和反力增量，核对增量平衡。解释刚性支点处为何挠度为零而梁弯矩不必为零、增大刚度为何不等于每处弯矩都下降，以及负托力增量为何不能直接证明索已经松弛。

4. 梁段架设与永久支承（对应目标：3）。

根据施工阶段图，把一对对称悬臂梁段的安装细分为四幅自由体图：吊机承重、梁段连接、对应拉索张拉、卸钩。逐幅标出有效连接和重量去向，解释“挂上索”与“完成张拉”的差别，并写出卸钩前需要确认的条件。

再与体内预应力混凝土梁的对称悬臂施工比较：分别标出体内筋的 $P$、$Pe$ 与外部斜索的竖向分力，说明重量怎样到达桥墩或临时塔；指出两种图不能直接互换的原因。

5. 调索结果的判断（对应目标：2）。

两个梁面控制点向上为正，索增拉为正。影响矩阵 $\mathbf A=\begin{bmatrix}0.020&0.005\\0.004&0.016\end{bmatrix}\ \mathrm{mm/kN}$，两根索各增拉 200 kN。先计算两个控制点的位移增量，再选择对调索结果的合理判断，并说明还需检查哪些响应。

A. 两个点达到目标，全桥设计就已通过。

B. 还须核对塔位、梁内力、支座反力、索力范围，并在完整模型中复算。

C. 影响矩阵可不经更新用于所有施工阶段。

6. AI 辅助的对称斜拉桥模型（对应目标：1）。

用 AI 辅助制作可旋转的双塔三跨斜拉桥网页或一组连贯图。只提供“塔高”一个结构滑块，支持三维与正立面切换。提交成果、使用的提示词及人工核验记录。至少独立核验两类内容：构件连接与对称关系；单索竖向、水平分力。若展示全桥变形，需给出求解依据、适用条件和放大倍数。

初始提示词：

请用 Three.js 制作双塔三跨斜拉桥教学网页：跨度为 60+120+60 m，桥面宽 12 m，两塔等高，主跨索与边跨索分别锚入塔两侧的主梁。标出主梁、桥塔、主跨索和边跨索，提供塔高滑块及三维/正立面切换。点选一根索，给定它承担的竖向力 V=900 kN，根据实际索角 θ 显示 T=V/sinθ 与 H=V/tanθ；注明这是单索分力，不是全桥求解。保留坐标、尺寸与计算过程供人工检查，不生成没有依据的应力云图。

7. 同条件比较harp与fan（对应目标：1）。

在索形交互中选每侧10索，左右均设100%，选择距塔30 m的第五根索，保持最高锚点40 m、该索竖向托力1000 kN不变。提交两种索形的同条件记录，分别计算 $T$、$H$，并解释差异。

随后只把右侧整侧均分预设增至120%。分别读取harp与fan的塔水平合力、桥面截面弯矩和塔基弯矩；用 $M(0)=\sum V_i x_i$、$M_{\mathrm{基}}=M(0)+15\sum H_i$ 核验。解释为何两个弯矩读数不能混称为“塔弯矩”。与两侧100%的记录相比，在冻结图中指出主梁位移和弯矩的变化位置，注明变形倍数及弯矩图尺；检查 $R_{\mathrm{塔}}$ 的正负，并说明其对塔轴力及支座要求的影响。再判断只换索形而保持各点 $V_i$ 时梁响应是否改变。本题使用144 m索形模型，不能代入下一题120 m优化梁的数据。

8. 两个优化目标（对应目标：2）。

切到4索手算模式，分别保存初估、线形目标和弯曲应变能目标三条记录。用同条记录中的四个 $V_i$ 和塔位零位移条件求三个支反力，核对 $R_A+R_{\mathrm{塔}}+R_B+\sum V_i=qL$。检查塔位梁挠度是否为零、弯矩是否也必为零。比较两种目标的挠度均方根与弯曲能，解释“最优”为什么需要注明目标与约束。然后回到12索密索模式，单独改变左侧一根索，观察主塔弯矩并重新记录，不能沿用四索答案。

9. 辅助墩与跨间联系怎样改变响应（对应目标：3）。

（1）在双塔三跨面板固定荷载及全部32根索的 $V_i$，分别保存无辅助墩、只开左辅助墩、两侧辅助墩全开三条记录。对照全部支反力、主梁位移和正负弯矩，核对 $\sum R+\sum V_i=qL$；指出哪些反力计入两座主塔的轴力，哪些经辅助墩直接进入基础。若出现负反力，说明原理想约束需要什么条件才能维持。解释为何梁响应改变时，固定索力模型的塔水平弯矩仍可不变。

（2）先旋转多塔三维图，分别画出汀九纵向稳定索与跨中交叉索的真实端点。再展开“进一步计算”的两内塔弹簧图，取 $k_t=k_e=4000$ kN/m、$k_c=12000$ kN/m。分别计算两塔同向各受1000 kN与反向各受1000 kN时的位移及中间联系力，并与同条件记录核对。只增加 $k_c$，哪一种加载的位移会改变？说明这个等效塔顶力与前一图桥面竖向荷载的区别。

10. 索在何时承担什么（对应目标：3、4）。

分别为布鲁克林桥、斜拉扣挂架拱、米约桥顶推阶段画传力图。先判断斜索是永久、临时还是同索两用，再沿构件画出荷载去向。为每个判断列出一条本章原始来源；说明为何不能凭索线交叉、施工照片或索的数量确定荷载分担。