2  桥梁构件的数学与力学基础

2.1.1 研究对象先于计算公式

研究目标决定模型保留的内容。如果要算一片主梁的纵向弯矩，可以把它简化为具有截面刚度的轴线；如果要算车轮下桥面板的局部弯曲，就必须保留板的宽度、厚度和支承；如果要研究索锚处的应力，锚固范围和连接构造也不能省去。细节多少本身不能判断模型好坏，模型必须能表达所研究的机制。

下面从同一座三维教学桥中选取同一片主梁，依次观察“桥中的构件—取出的构件—作用替代连接”。三种状态沿用相同的几何位置和观察方向，因而可以直接追踪梁端支座、作用点和坐标。教学模型由既有T梁几何派生，选取一跨按独立简支跨处理；画面中的尺寸与计算跨径以支座中心位置为准，不由外观推定实桥参数。

单独打开：从整桥到一片主梁。三种显示状态分别呈现主梁在桥中的位置、取出的主梁，以及用外部作用替代连接后的自由体。梁端接触位置与反力位置对应，向下箭头表示荷载。状态切换与旋转保持同一根梁及其观察方向。

把构件从周围结构中分离，切断连接，并在切断处补上外部对它的作用，得到自由体图。对取出的主梁，支座反力是外力；若研究对象扩大为“梁、支座和桥墩”，梁与支座之间的接触力就成为对象内部的力，基础边界上的作用才需要补画。外力和内力的区别取决于所选对象。

主梁跨中被假想截开时，两部分通过截面传递轴力、剪力、弯矩和扭矩。保留左半梁，截面作用由右半梁施加；保留右半梁，作用方向相反。这里的“截开”是分析手段，真实构件仍保持连续。做图时既要看切断了哪一处，也要看留下哪一侧。

2.1.2 连接和支承怎样进入模型

桥梁构造通过允许或限制运动来传递作用。平面梁节点可用顺梁位移、竖向位移和转角三个自由度描述；空间梁节点还需横向位移及另外两个转角。约束一个自由度，便可能出现与它对应的反力或反力矩。

“活动”不是所有方向都自由，“铰接”也不是不传水平力。简支梁的一端仍需有沿梁方向的约束以防止整体平移；仅受竖向荷载时，这一约束的水平反力可以为零。支座摩阻、间隙和有限刚度，在温度、制动或地震问题中可能成为主要因素，此时需要修改最初的理想支承。

连接还决定水平力在哪里闭合。拱脚可能把推力交给桥台，也可能由系杆将其闭合在上部结构中；索的拉力通过锚固、桥塔、主梁或锚碇继续传递。辨认完桥型，应当沿每个力分量追到能承受它的构件和基础。梁、拱、索的差别由此转化为可以计算的连接与受力问题。

2.1.3 简化要围绕问题作出

梁理论并不把实体梁变成没有厚度的细线；它用轴线位移与截面量代表一类主要运动。数学上舍去的自由度，必须对应物理上可以暂时忽略的机制。

静定结构的反力和内力可由平衡求出；超静定结构还要满足变形协调和材料关系。两根平行受拉杆若共同连接于保持水平的刚性横梁，伸长相同，则有

$$N_1+N_2=P,\qquad \frac{N_1}{k_1}=\frac{N_2}{k_2},\qquad k_i=\frac{E_iA_i}{L_i}.$$

由此得 $N_i=P k_i/(k_1+k_2)$。刚度比为3∶1时，荷载分担也是3∶1；仅有总力平衡不能得出这一分配。主梁之间、墩梁之间以及多根索之间的共同工作，都需要相应的协调条件。

因此，建立计算关系要同时考虑平衡、几何协调、材料关系和边界条件。时间问题再补初始条件，施工问题再补已有状态。模型能够求解，只说明方程在当前设置下得到了解，并不说明这些设置已经对应实际对象。

2.1.4 用平衡检查第一张计算图

平面静力问题的整体平衡为

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_z=0,\qquad \sum M_y=0.$$

力的单位为N或kN，力矩的单位为N·m或kN·m。三维问题需分别检查三个方向的合力和合矩。两个向上的反力之和正确，而荷载位置填错，仍可能不满足力矩平衡。

例2-1　移动荷载，反力为何改变？ 另设一片计算跨径 $L=24\ \mathrm m$ 的简支梁，集中力 $P=180\ \mathrm{kN}$ 作用于距左支点 $a=6\ \mathrm m$ 处，忽略自重。对左支点取矩，并列竖向平衡：

$$R_BL=Pa,\qquad R_A+R_B=P.$$

所以 $R_B=45\ \mathrm{kN}$、$R_A=135\ \mathrm{kN}$。荷载移至跨中，两端才各承担90 kN。若原位置也平均分配，对左支点的合矩为 $90\times24-180\times6=1080\ \mathrm{kN\cdot m}$，并未平衡。

约束是否足以防止刚体运动要另行判断。未知反力数恰好等于平衡方程数，仍可能因约束方向平行或作用线布置不当形成可动体系。力能算出来、构件有材料强度、体系不发生刚体运动，是三个需要分别确认的问题。

2.1.5 荷载、内力、应力与位移

本章总体坐标取 $x$ 顺桥、$y$ 横桥、$z$ 向上。竖向梁挠度另用 $w$ 表示，取向下为正；正弯矩使梁下缘受拉。每个局部模型均应显示相应坐标，不能凭图的上下或软件颜色猜正负号。

图中外力作用于梁和边界，内力属于截面，应力属于截面内的材料点；原轴线与变形线之间的距离表示竖向位移。沿梁的静态挠曲线记为 $w(x)$，同一测点随时间变化的位移在下一节记为 $u(t)$。挠度是竖向位移的常用名称。

同一式中必须采用协调的单位。例如 $1\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{N/mm^2}$，而 $1\ \mathrm{m^4}=10^{12}\ \mathrm{mm^4}$；长度的换算因次会直接进入截面刚度。自重是力，质量通过重力加速度换成重量，不能把t直接当作kN。

2.2.1 位移、速度与加速度

图中青色测点沿梁的位置用 $x$ 表示；它相对原位置的竖向位置变化是竖向位移。把该测点固定下来，其竖向位移随时间的记录写成 $u(t)$，取向下为正。位移变化的快慢是速度，速度变化的快慢是加速度。下面在同一片梁上分别读取这三个量。

直接拖动梁上的青色测点，就能沿梁读取不同位置的位移；拖动时程图上的游标，便能回到某一时刻。上方的荷载 $q$ 滑块控制荷载大小，箭头与挠度一起变化；位置和时间也保留滑块，便于精确调整。静态竖向位移沿梁的分布称为挠曲线，本书构件计算记作 $w(x)$；在某个固定位置随时间变化时用 $u(t)$。挠度就是竖向位移，$x$ 则是位置坐标，二者不是同一个量。图中位移有显示放大，读数保持实际数值。

图后的关系写成

$$u(t)\quad\longrightarrow\quad \dot u(t)=\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}\quad\longrightarrow\quad \ddot u(t)=\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dt^2}.$$

三个量的单位依次为m、m/s、m/s²。字母上一个点、两个点分别表示对时间求一次、两次导数。加速度决定惯性项；它不是“位移比较大”的另一种说法。简谐运动中，位移到达端点时速度为零，加速度却指向平衡位置。

微积分同样描述荷载与内力。图中均布荷载每米为 $q$，长度 $x$ 上的累计荷载就是 $qx$，对应荷载图下的面积。一般分布荷载的合力为 $P=\int_0^Lq(x)\,\mathrm dx$；这就是积分在受力图中的直接含义。静力梁中 $\mathrm dM/\mathrm dx=V$，所以剪力为零的位置可以对应弯矩极值。梁板一节再把这些关系连成完整算例。

2.2.2 一个位移坐标的运动方程

一片桥面按某一种主要形态上下弯曲时，可以用一个测点的位移 $u(t)$ 表示这一形态的幅度。桥的质量、抗弯与支承刚度、振动耗能，分别进入等效质量 $m$、等效刚度 $k$ 和等效阻尼 $c$；它们都必须按同一个位移坐标、同一种形态换算。图中始终是桥梁本身。

这个模型的核心关系只有一行：

$$\underbrace{m\ddot u}_{\text{惯性项}}+\underbrace{c\dot u}_{\text{阻尼项}}+\underbrace{ku}_{\text{弹性恢复项}}=\underbrace{p(t)}_{\text{外荷载}}.$$

$m\ddot u$ 随加速度变化，$c\dot u$ 随速度变化，$ku$ 随位移变化。三项的单位均为力。桥梁的弹性恢复作用与该坐标的位移方向相反，黏性阻尼近似下的阻尼作用与速度方向相反；移至方程左边后写成正号。位移从自重作用后的静平衡位置量起，自重已经由该状态承担。

撤去附加外力后，结构仍可振动。无阻尼时，它自身的固有频率为

$$f_n=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

刚度增大，振动通常更快；质量增大，振动通常更慢。$f_n$ 的单位是Hz，即每秒振动次数；圆频率 $\omega_n=2\pi f_n$ 的单位是rad/s。阻尼比 $\zeta=c/(2\sqrt{km})$ 表示相对于临界阻尼的大小。频率和阻尼共同决定动力响应。13

2.2.3 频率与响应的联系

周期荷载的大小和重复快慢是两个独立条件。荷载幅值相同，接近某阶固有频率时，响应仍可能明显放大；能否激发这一阶，还与荷载位置和分布有关。这里先把“输入节奏”和“结构自身节奏”分开，完整的同幅荷载动画、幅频曲线、阻尼比较和算例集中在第9章共振实验。

本章用运动方程理解导数的物理含义；第9章再回答振幅有多大、怎样测量和怎样控制。频率比 $r=f/f_n$ 无量纲，不是时刻或风速。

2.2.4 支承约束与运动起点

梁端装什么支座，决定它能否移动、能否转动；这就是边界条件。振动从哪个位置、以多大速度开始，则是初始条件。两者在图上分别对应“构件的端部”和“运动的起点”。

对竖向弯曲问题，简支端限制竖向位移而允许转动，因而 $w=0$、$M=0$；固定端限制位移与转角，因而 $w=0$、$\theta=0$。没有端部外力与力偶的自由端满足 $V=0$、$M=0$，它的位移与转角并不必为零。端部施加力或力矩时，相应内力条件随之改变。

对同一座桥的同一振动形态，初始条件写作 $u(0)=u_0$、$\dot u(0)=v_0$。桥面具有初始挠曲形态后静止释放，是 $u_0\ne0,v_0=0$；在平衡位置给一个初速度，是 $u_0=0,v_0\ne0$。它们可以有相同的固有频率，却从不同状态开始运动。实际启动过程通常包含与初始条件有关的过渡响应；第9章共振图显示的是过渡衰减后的稳态部分。

支承、初始位移和初始速度确定以后，运动方程才对应一个具体过程。“从静止开始”只说明初速度为零，不能据此把已有变形也置零。预应力、合龙和拆架同样需要保留前一步已经形成的状态。

2.2.5 特征向量是形态，特征值决定频率

沿桥取三个点，如果它们始终按 $[0.707,1,0.707]^{\mathsf T}$ 的比例往复，这列数描述一种相对形态，即振型向量。中点当前下移10 mm时，两侧点各下移约7.07 mm；比例本身不带毫米。把比例整体乘2，同时把代表幅度除以2，实际运动不变。

有限元模型把节点位移与转角排成向量。忽略外力和阻尼，寻找能够保持比例自由运动的形态，得到

$$\boldsymbol K\boldsymbol\phi_j=\lambda_j\boldsymbol M\boldsymbol\phi_j,\qquad \lambda_j=\omega_j^2,\qquad f_j=\frac{\sqrt{\lambda_j}}{2\pi}.$$

这给线性代数中的特征问题一个具体用途：特征向量对应空间比例，特征值对应圆频率的平方。 刚度矩阵单独的特征值不能直接当作桥梁频率，还需质量、边界和单位一致。14

均匀简支Euler—Bernoulli梁有 $\phi_j(x)=\sin(j\pi x/L)$、$f_j=j^2f_1$；若 $f_1=1$ Hz，前四阶为1、4、9、16 Hz。这是特定模型的数学例子，不能通用于斜拉桥和悬索桥。第9章振型与测点直接展示这些形态、节点和时间变化，再解释多模态叠加与实测识别。

特征向量与特征值的几何解释可作数学补充。压力改变构件稳定性时也会出现特征问题，但求得的是临界荷载与屈曲形态；后面的压杆一节再作对照。

2.2.6 连续构件与有限个坐标的联系

一个坐标描述一个主要运动；多个坐标描述多个部位共同运动；整根梁连续的位移则写成 $w(x,t)$。当位置和时间都需要保留时，连续模型会用到偏微分方程。梁与索的连续模型分别由它们的平衡关系得到。将连续结构离散成节点，或用若干振型表示其运动，就能回到质量、阻尼、刚度与位移组成的矩阵方程。这是本节与第9章动力学、第10章数字建模的衔接。2

2.2.7 概率与随机过程：分布与时程的区别

桥侧风速仪即使一直放在同一位置，读数也会变化。先把这些读数按大小排开，就能看见哪些值常见、哪些值少见；再把它们按时间连起来，才看见风的变化节奏。分布描述取值的机会，过程还保留先后次序。

2.2.8 优化的变量、目标与约束

斜拉桥调索把每根索的张力作为变量，把主梁弯矩或挠度作为目标，并限制索力与支承反力。先在后面的索张力、分力与主梁平衡中看清作用关系，再比较两个优化目标。完整交互只在该处展开；数学上对应“变量—目标—约束”的二次优化。

$w(x)$ 描述空间分布，$u(t)$ 描述一点的运动，振型给出相对比例，随机过程描述随时间变化的不确定性，优化选择符合目标和约束的状态。后面的构件分析继续给这些数学对象以具体位置。

2.3.1 同一片梁中的四种量

梁受到向下荷载时，支座反力在边界托住它。截取其中一段，截面剪力平衡竖向力，弯矩平衡这些力的转动作用。截面上又通过分布应力实现这两个合量：上部纵向纤维受压、下部纤维受拉，形成内力偶；腹板和相邻材料通过剪应力传递剪力。

内力作用于整个截面，应力属于截面内的材料点。以轴力为例，$N=\int_A\sigma_x\,\mathrm dA$；弯矩是正应力对相应轴的力矩积分。相同弯矩下，加大截面高度可改变应力分布，不能把弯矩数值直接当作应力大小。位移又是沿构件变形累积的结果，截面弯矩较大不等于该处位移必然最大。

单独打开：梁中的物理量。剖切位置可沿梁移动，截面旁显示对应的剪力、弯矩和受拉受压区，变形线标示该点位移。跨中剪力为零而弯矩与挠度较大；靠近简支端，弯矩趋于零而剪力较大。截面合力、材料点应力和轴线位移分别对应三个观察尺度。

这里采用等截面、均质、未开裂、线弹性简支梁；两端支承中心距30 m，材料与截面参数在例2-3中给出。为了显示变形，图形可以放大，实际位移以读数为准。三维形体帮助定位构件和物理量，计算仍按已声明的一维梁理论进行。

2.3.2 有限元：把桥梁分成能共同工作的单元

当主梁连续多跨、桥面板有多种支承，或梁塔索连在一起时，难以用一条现成公式求出全部响应。有限单元法把对象分成有限个单元，用节点的位移和转角描述运动，再把各单元的平衡与连接协调组装起来。 网格中的线、面、体代表不同的力学近似。

单元内部用插值把有限个节点值连成近似位移场；材料关系给出应力或截面内力，平衡给出节点力。共用节点或明确的连接约束使相邻单元协调，在线性静力模型中，组装后得到

$$\boldsymbol K\boldsymbol d=\boldsymbol F.$$

这里 $\boldsymbol d$ 是待求节点位移及适用的转角，$\boldsymbol F$ 是与之配对的节点力和力矩。施加支承条件后求 $\boldsymbol d$，再回到各单元计算内力、应力和反力。加入质量与阻尼就得到动力方程；在无阻尼自由振动下寻找能保持比例的运动，就接回前面的振型特征问题。16

有限元可以回答复杂构件怎样分担荷载、哪里变形较大、哪些模态容易参与、调索怎样改变内力。它也保留建模者的假定：错连了支座、把铰变成刚接、遗漏索初拉力，网格再密仍在求错误的问题。实际计算先核对整体平衡和边界，再与简单梁等已知解对照，并逐步加密观察关心的结果是否稳定。局部应力峰还要区分物理应力集中与理想尖角造成的数值奇异。第10章再展开模型建立、求解与核验。

2.3.3 材料放在哪里：面积、惯性矩和截面模量

面积 $A$ 表示用了多少材料；截面二次矩 $I_y=\int_Az^2\,\mathrm dA$ 表示材料离所讨论弯曲轴多远。相同面积，把材料移离形心轴，通常可以提高该方向的抗弯刚度。但腹板还要传剪、连接上下翼缘并维持形状，不能因为它靠近中性轴就全部移走。

对同一种材料组成的分块截面，先由 $\bar z=\sum A_i z_i/\sum A_i$ 求形心，再用平行轴定理

$$I_y=\sum_i\left(I_{y,i}^{c}+A_i d_i^2\right)$$

累加各块对总形心轴的贡献。$d_i$ 是两条平行轴的距离。面积以m²计，惯性矩以m⁴计；形心位置、弯曲轴或长度单位错了，应力与挠度会一起出错。

以 $z$ 向上、受拉应力为正、正弯矩 $M$ 使下缘受拉，均质线弹性截面的单向弯曲应力为

$$\sigma_x(z)=-\frac{Mz}{I_y}.$$

设形心至上下缘的距离为 $c_t,c_b$，截面模量为 $W_t=I_y/c_t$、$W_b=I_y/c_b$，则上下缘应力分别为 $-M/W_t$、$M/W_b$。非对称T形截面的 $c_t,c_b$ 通常不同，不能只用同一个“半梁高”计算两缘应力。截面开裂、不同材料组合或局部扰动明显时，需要改变截面模型。

例2-2　同一根矩形梁换个方向。 截面为 $0.30\ \mathrm m\times0.60\ \mathrm m$。以0.60 m为竖向高度时，$I=0.00540\ \mathrm{m^4}$、$W=0.0180\ \mathrm{m^3}$；转90°后，$I=0.00135\ \mathrm{m^4}$、$W=0.0090\ \mathrm{m^3}$。两者面积都为0.18 m²，自重相同。

保持材料、跨度和竖向荷载相同，竖放梁的抗弯刚度是横放的4倍，弯曲挠度为横放的四分之一；但截面模量只增加2倍，边缘应力仅减为二分之一。惯性矩解释变形，截面模量解释给定弯矩下的边缘应力。 两者来自同一截面几何，却回答不同问题。

图中仅比较弹性弯曲。实际主梁还须具有相应的剪切、扭转和横向稳定能力，梁高也受建筑高度、运输和施工条件限制。T梁、工字梁与箱梁的材料分布应随这些任务选择。

2.3.4 从弯矩到挠度：保持同一个算例

弯矩 $M$ 经截面刚度 $EI$ 确定曲率；曲率沿梁累积，并满足支承条件，才确定挠曲线。对于相同材料和截面，跨度或支承改变，构件的力—位移关系也会改变。因此 $EI$ 是截面抗弯刚度，某一点的等效平动刚度 $k=F/\delta$ 则还取决于体系与加载位置。

例2-3　一片30 m简支梁的连续计算。 取 $A=4.00\ \mathrm{m^2}$、$I_y=3.20\ \mathrm{m^4}$、$c_t=c_b=1.10\ \mathrm m$、$E=34\ \mathrm{GPa}$。材料重度25 kN/m³，形成自重100 kN/m；另加均布荷载20 kN/m，总线荷载 $q=120\ \mathrm{kN/m}$。采用本节三维梁的同一组参数与假定。

由整体平衡及截面平衡，

$$R_A=R_B=1800\ \mathrm{kN},\quad V(x)=1800-120x,\quad M(x)=1800x-60x^2.$$

$x$ 以m计，$V$ 为kN，$M$ 为kN·m。三处读数如下。

跨中 $W=I_y/c=2.9091\ \mathrm{m^3}$，上下缘应力分别为 $-4.6406$ MPa和 $+4.6406$ MPa。将弯矩关系代入 $M=-EIw''$，两次积分，并用 $w(0)=w(L)=0$ 确定常数，可得

$$w(x)=\frac{q x(L^3-2Lx^2+x^3)}{24EI},\qquad w_{\max}=w(L/2)=\frac{5qL^4}{384EI}=11.633\ \mathrm{mm}.$$

这个结果可以直接核对三维图：两端位移为零；中点坡度为零；两端反力之和为3600 kN；跨中上下缘应力绝对值相等。对于本例的静定梁，若只把 $E$ 加倍，反力、剪力和弯矩不变，挠度减半。荷载加倍则使反力、内力、应力和挠度同时加倍。

只把计算跨径从30 m增到36 m，保持 $q,E,I$ 不变，最大弯矩变为1.44倍，挠度变为2.0736倍，约24.121 mm。这不是“跨径增加20%，所有响应增加20%”。如果同时加高梁截面，就要重算惯性矩与自重，不能继续沿用这一倍率。

2.3.5 用能量理解整根梁怎样共同贡献位移

一小段梁弯曲时储存应变能，全梁的弯曲应变能为

$$U_b=\int_0^L\frac{M(x)^2}{2EI(x)}\,\mathrm dx.$$

它说明高弯矩区、低刚度区会产生较大变形贡献。要找某一点的位移，可以在该处沿目标方向虚设单位力，得到单位力弯矩图 $m(x)$，再用单位荷载法

$$\delta=\int_0^L\frac{M(x)m(x)}{EI(x)}\,\mathrm dx.$$

其中 $m$ 表示单位力引起的弯矩系数，不能与动力学质量混淆。真实荷载没有因此改变；虚设的单位力只用来选择想要读取的位移。变截面梁按各段 $EI(x)$ 累积，就能看到不同部位刚度对同一位移的贡献。

对例2-3，在跨中设向下单位力，左半跨 $m(x)=x/2$。利用对称性，

$$\delta=2\int_0^{L/2}\frac{[qx(L-x)/2](x/2)}{EI}\,\mathrm dx =\frac{5qL^4}{384EI}.$$

这个积分与微分方程解一致，说明11.633 mm由整根梁的曲率分布共同形成。若构件很短或很深，剪切变形不能忽略，总位移还需计入剪切项；杆系中的轴向、弯曲、剪切和扭转贡献可概括为

$$\delta=\int\left(\frac{Nn}{EA}+\frac{Mm}{EI}+\frac{Vv}{GA_s}+\frac{M_t m_t}{GJ}\right)\mathrm dx.$$

小写量均来自相应的单位荷载状态；$A_s$ 为已包含截面分布修正的有效剪切面积，$J$ 为自由扭转常数。选择保留哪些项，应由构件的主要变形和所需精度决定。

2.3.6 剪切、扭转与板的共同工作

弯矩和剪力由相同荷载产生，但在截面上通过不同应力传递。均质线弹性梁中，常用

$$\tau=\frac{VQ}{I b}$$

表示弯曲剪应力。$Q$ 为计算位置一侧面积对中性轴的静矩，$b$ 为该处有效宽度。薄壁构件常写成剪流 $q_s=\tau t$，单位为N/m，它表示沿薄壁单位长度传递的剪切合力。翼缘与腹板之间的连接因此不能只按外形连接，还必须传递相应的剪流。

荷载偏离剪心时，会产生附加扭矩。以大小为 $F$ 的竖向力、横向偏心 $e$ 为例，外加扭矩为 $M_t^{\mathrm{ext}}=Fe$。梁内各段扭矩还由支承抗扭条件决定，不能把外加集中扭矩当成全梁每个截面的内扭矩。

对于单室闭口薄壁截面，按Saint-Venant自由扭转近似，

$$q_T=\frac{M_t}{2A_m},\qquad \tau_T=\frac{q_T}{t},\qquad J=\frac{4A_m^2}{\displaystyle\oint\frac{\mathrm ds}{t(s)}},\qquad \frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dx}=\frac{M_t}{GJ}.$$

$A_m$ 为壁厚中线围成的面积。环向剪流依赖闭合路径；将箱梁顶板沿纵向切开，原有闭合条件便消失，不能保留原来的 $J$。扭转常数也不能随意用极惯性矩代替。开口截面的翘曲、箱形截面的畸变，是需要分别辨认的变形。

桥面板受轮载时，沿纵横两个方向同时弯曲，板的扭曲也参与平衡。把板画成许多条带有助于辨认方向，但相邻条带仍相互连接，其变形需要协调。板模型适合描述轮载扩散、横向弯曲与板边约束；梁轴线模型只能回答它保留的整体截面问题。支座、锚固、横隔板和开孔附近，还需按局部构造处理作用扩散。

钢正交异性桥面板的纵肋和横梁使两个方向的结构刚度不同，这一特征来自构造布置；不能据此把钢材本身直接看成正交异性材料。箱梁的整体扭转是截面整体转动，畸变是截面形状发生变化，横向板弯曲又是局部板的运动。看三维图时先辨认哪一部分在怎样变形，再决定需要梁、板还是壳的表示。

2.3.7 预应力：在车辆到来以前建立状态

普通钢筋与混凝土在共同变形中承担内力；预应力则通过张拉和锚固，先在梁中引入受控的压力与弯曲。张拉后梁可能上拱，截面已有应力，后续自重、铺装和车辆作用都从这个状态继续增加。预应力没有改变平衡原则，而是改变了结构的起始状态。

仍取 $z$ 向上、受拉应力为正。有效预压力 $P_p>0$ 作用在形心下方，偏心距 $e_p>0$；正弯矩 $M$ 使下缘受拉。对均质线弹性完整截面，

$$\sigma_x(z)=-\frac{P_p}{A}+\frac{P_pe_p}{I_y}z-\frac{M}{I_y}z.$$

第一项是均匀压应力，第二项使下缘预压增大、上缘预压减小，第三项为外荷载弯曲应力。在例2-3跨中，若取 $P_p=12000$ kN、$e_p=0.40$ m，则均匀压应力为3.0 MPa，偏心项的边缘幅值为1.65 MPa。预应力单独作用时，上下缘分别为 $-1.35$ MPa、$-4.65$ MPa；叠加本例荷载后，上缘约 $-5.991$ MPa，下缘约 $-0.009$ MPa。

下缘几乎不再受拉，只是这一截面、这一有效预压力和这一荷载状态的结果。传力时混凝土龄期不同，使用时预应力会损失，连续体系还会出现约束引起的次内力，均需按相应阶段分析。配筋与承载力计算在后续梁桥章节展开。

曲线束的张力方向沿梁改变，因此对梁产生横向作用。以钢束向下偏心 $e(x)$ 和等效荷载向下为正，在小斜率且张力近似恒定时，

$$q_p(x)\approx P_p e''(x).$$

束形二阶导数在这里重新出现：钢束改变方向越快，转向处需要传递的横向作用越大。锚端或折点同时存在集中作用，必须与分布作用一起保留。

例2-4　抛物线束的上托作用。 取 $L=20$ m、跨中向下偏心 $e_m=0.50$ m、两端位于形心、有效预压力 $P_p=8000$ kN。束形为

$$e(x)=\frac{4e_mx(L-x)}{L^2},\qquad q_p=P_pe''=-\frac{8P_pe_m}{L^2}=-80\ \mathrm{kN/m}.$$

负号表示向上的均布作用。每端切线斜率大小约0.10，端部对梁的向下分力约800 kN；全跨上托力 $80\times20=1600$ kN，恰与两端向下力平衡。只画上托力而删去端部作用，会把结构内部预应力误算成额外向上的外力。

2.3.8 施工顺序怎样留在内力中

例2-5　同一成桥外形，两种加载历史。 两跨等跨等刚度梁，每跨20 m。每跨先以简支状态承受自重 $q_1=50$ kN/m，随后在已有变形状态无强迫地连接成两跨连续梁，再施加两跨均布荷载 $q_2=20$ kN/m。支座无沉降，忽略接头强迫变形和长期时变效应。

简支阶段的跨中弯矩为2500 kN·m，中支点弯矩为零；后加荷载在连续体系中产生跨中弯矩500 kN·m、中支点弯矩 $-1000$ kN·m。最终跨中为3000 kN·m，中支点为 $-1000$ kN·m。

若把全部70 kN/m一次加到最终连续体系，得到的跨中弯矩为1750 kN·m、中支点为 $-3500$ kN·m。这是另一个加载过程，不能代替先简支后连续。合龙顶升、强迫转角、收缩徐变与预应力还会继续改变状态，具体过程见第4章的阶段施工。

回到梁的观测，计算挠度偏小可能来自刚度偏大，也可能来自支座约束、加载位置或测点不同。应先对应同一构件、同一状态、同一位置与方向，再比较反力、应变和挠度；若再测频率，还需对应质量与振型。网格加密可以减小离散误差，却不能改正单位、支座或阶段设置错误。核对贯穿每个算例，不需要另找一套脱离构件的判断规则。

2.4.1 偏心压力怎样成为轴力与弯矩

压力作用线偏离截面形心时，可以等效为形心处的轴压力 $N_c$ 与弯矩 $M=N_ce$。本小节以压力和压应力为正，$e$ 沿所讨论方向的偏心距。对关于所讨论弯曲轴对称的均质、完整、线弹性截面，两侧边缘的截面模量相同，边缘应力为

$$\sigma_{c,\max/\min}=\frac{N_c}{A}\pm\frac{M}{W} =\frac{N_c}{A}\pm\frac{N_ce}{W}.$$

应力图由“均匀压应力”与“弯曲应力”叠加而成。增加偏心，一边压应力增加，另一边减小，合压力仍保持 $N_c$。轴力受压不等于每一个材料点都受压；弯矩足够大时，某一侧可以出现拉应力。

例2-6　偏心增大，哪一侧先受拉？ 矩形截面宽1.0 m、高1.2 m，压力2400 kN沿高度偏心0.15 m。$A=1.2\ \mathrm{m^2}$、$W=0.24\ \mathrm{m^3}$，两缘压应力为

$$2.0\pm1.5\ \mathrm{MPa},$$

即3.5 MPa和0.5 MPa，全截面受压。偏心增为0.25 m时，两缘为4.5 MPa和 $-0.5$ MPa，负值表示线弹性模型出现拉应力。

要求全截面不出现拉应力，有 $|e|\le W/A$。对本例矩形截面，核心距 $W/A=h/6=0.20$ m。双向偏心时，矩形核心为菱形，满足

$$\frac{|e_y|}{b/6}+\frac{|e_z|}{h/6}\le1.$$

截面核心回答的是完整线弹性截面的无拉应力条件，不能直接用来区分钢筋混凝土构件的大、小偏心受压破坏，也不能代替开裂后截面抗力计算。圬工若不能承受计算拉应力，需要重建受压区和接触状态；钢筋混凝土则要考虑钢筋及混凝土的应变协调。

2.4.2 变形以后，压力的力臂也变了

一阶分析在变形前几何上列平衡，偏心压力产生弯矩 $N_ce$。构件向远离荷载作用线一侧弯曲后，压力对中间截面的力臂变成 $e+v(x)$，弯矩随之增为

$$M(x)=N_c[e+v(x)].$$

新增的 $N_cv$ 是二阶效应。它来自“已有压力乘以横向位移”，不是把荷载再加一遍。高墩、索塔、受压主梁、拱肋和施工中尚未形成完整横向联系的构件，都可能需要考虑这一机制。工程中常用 $P$–$\Delta$ 指体系侧移效应，用 $P$–$\delta$ 指构件自身弯曲效应；两者都应由所取对象与实际变形解释。

采用等截面、线弹性、无初弯曲的偏心受压直杆模型，设两端压力在同一侧保持偏心 $e$，杆轴端点横向位移为零，端部允许转动。压力通过偏心连接传入轴线，所以杆端截面可有 $N_ce$ 弯矩。以增大压力力臂方向的横向位移 $v$ 为正，曲率关系与变形后平衡连成

$$EI v''+N_c v=-N_ce,\qquad v(0)=v(L)=0.$$

这是关于杆轴坐标的常微分方程。令 $\beta=\sqrt{N_c/EI}$，解得

$$v(x)=e\left[\frac{\cos\{\beta(x-L/2)\}}{\cos(\beta L/2)}-1\right],$$

$$v_{\max}=e[\sec(\beta L/2)-1],\qquad M_{\max}=N_ce\sec(\beta L/2).$$

这就是经典割线关系的位移和弯矩形式，可在马里兰大学力学教材的偏心压杆部分查阅其推导。7 它保留压力对横向变形的放大，同时仍采用线弹性、小曲率及指定端部条件；不能无限外推到大变形、屈服或接触改变后的状态。

单独打开：压力怎样放大弯曲。图中同时标出力的作用线与变形后的杆轴线。压力增大时，横向位移增加力臂，二阶弯矩比一阶弯矩 $N_ce$ 增长更快。页面可调整压力和偏心距，并显示对应位移与弯矩；端部偏心连接属于这一计算模型的边界。

例2-7　压力尚未达到欧拉值，弯矩已明显放大。 取 $E=200$ GPa、$I=8.0\times10^{-5}\ \mathrm{m^4}$、$L=8$ m、$e=20$ mm。对应理想两端铰支直杆的欧拉力为2467.4 kN。压力取其0.45倍，即1110.3 kN；有 $\beta L/2=(\pi/2)\sqrt{0.45}$。

一阶弯矩为22.207 kN·m；割线放大系数约2.023，二阶最大弯矩约44.922 kN·m，跨中附加横向位移约20.458 mm。此处仅展示弹性放大机制。已知 $I$ 而未给截面面积、边缘距离及材料强度，尚不能完成截面应力与承载力判断。

2.4.3 欧拉屈曲为什么也是特征问题

若直杆完全无初始弯曲、轴压力严格通过形心，直线状态在任意荷载下形式上都满足横向平衡。问题在于：这个平衡状态能否抵抗微小侧向扰动。对理想两端铰支细长弹性杆，非零侧向形态满足

$$EI v''+N_c v=0,\qquad v(0)=v(L)=0.$$

边界条件只允许特定荷载值出现非零解：

$$N_{\mathrm{cr},n}=\frac{n^2\pi^2EI}{L^2},\qquad v_n(x)=a_n\sin\frac{n\pi x}{L}.$$

最小正特征值给出基阶欧拉临界力 $N_{\mathrm{cr}}=\pi^2EI/L^2$。形态中的幅值 $a_n$ 不能由线性特征问题确定，与振型一样只表示相对形状；实际缺陷、材料非线性和加载过程决定实际位移与承载过程。

对于可用有效长度表述的理想杆，写成 $N_{\mathrm{cr}}=\pi^2EI/L_e^2$。例2-7中只把有效长度从8 m降为4 m，理论临界力提高为4倍，即9869.6 kN；前提是新增支撑确实限制所考察方向侧移，并有足够的刚度、强度与可靠连接。另一个弯曲方向、受压板件局部屈曲和侧扭失稳仍需分别检查。

将整体杆系离散，常见的屈曲形式为

$$(\boldsymbol K-\lambda\boldsymbol K_G)\boldsymbol\phi=\boldsymbol0.$$

这里把 $\boldsymbol K_G$ 定义为参考压荷载对应的几何软化矩阵，$\lambda$ 为参考荷载的临界倍数。采用其他符号定义时式中的正负号会改变。它与自由振动的

$$(\boldsymbol K-\omega^2\boldsymbol M)\boldsymbol\phi=\boldsymbol0$$

形式相似，但右侧对应的物理量不同：前者由压力改变平衡稳定性，后者由质量与恢复力决定运动频率。屈曲模态不是振型，荷载倍数不是频率。 两者都需要先声明基态、边界和所采用的线性化。

实际压杆有初弯曲、残余应力和荷载偏心，往往在理论分岔前已有侧移；材料也可能先屈服。因此欧拉值和线性特征屈曲值用于理解与估计理想稳定性，不能直接当作真实构件的设计承载力。施工时尚未安装的横撑，不能提前计入构件约束。

用于压弯判断的 $N_c$ 与 $M$ 应来自同一截面、同一荷载状态。分别取不同状态的最大轴力与最大弯矩，不能自动组成一个真实受力状态。得到弹性应力后，再按材料与构件特点检查强度、开裂、稳定和变形；这些判断始终附着在具体构件上。

2.5.1 拱的曲线怎样改变弯矩

把一根水平梁改为向上拱起，并使两端能够形成水平推力，竖向荷载引起的一部分弯矩便可由推力的力矩抵消。取同跨径、同竖向荷载的简支梁弯矩为 $M_0(x)$，拱轴相对拱脚连线的竖向坐标为 $y_a(x)$，水平推力为 $H$，有

$$M_a(x)=M_0(x)-H y_a(x).$$

它并未保证拱处处纯压。只有相应荷载下的压力线与拱轴相合，并满足所取模型的条件时，弯矩才可能消失；荷载分布、拱轴、支承和温度改变，都可能重新产生压弯。

例2-8　抛物线三铰拱的推力。 两拱脚等高，跨径 $L=40$ m，拱顶矢高 $f_a=8$ m，承受沿水平投影均布的竖向荷载 $q=20$ kN/m。由对称与整体平衡，每端竖向反力400 kN；拱顶铰的弯矩为零，因此

$$Hf_a=\frac{qL^2}{8},\qquad H=500\ \mathrm{kN}.$$

抛物线拱轴 $y_a=4f_a x(L-x)/L^2$ 恰与该荷载压力线一致，理想模型中 $M_a=0$。拱脚轴向压力大小为 $\sqrt{500^2+400^2}=640.3$ kN。若矢高减半、其他条件不变，水平推力加倍；基础或系杆必须能闭合它。

本节三维对照使用同一跨径、同一均布荷载与同一矢高绝对值，将向上的拱与向下的柔索并列观察。两者水平力公式相同，轴向力的性质相反；拱要特别关心受压稳定，索要保持受拉状态。

拱轴偏离压力线时，以相应截面压轴力 $N_c$ 和弯矩 $M_a$ 表示法向偏心，$e=M_a/N_c$，便回到上一节偏心受压的截面应力分析。图上压力线与拱轴的竖向距离为 $M_a/H$，它一般不等于法向偏心。对倾斜截面，$H$ 与 $N_c$ 也一般不同，不能拿竖向量图值直接代入核心条件。

2.5.2 拱轴怎样找到：把受拉索形倒置

给定支点和竖向荷载，柔索自然沿能够传递拉力的方向形成平衡线；把这条形状倒置，可以得到相应的理想受压线。对桥梁，先看桥面荷载怎样传到拱，再确定压力线，最后判断拟采用的拱轴是否接近它。18

单独打开：拱轴找形。全跨均布荷载下，抛物线与压力线相合；只加载半跨或改为集中力，适合的形状随之变化。保持原抛物线时，图中的两条线分开，拱便同时承担弯矩。把中铰高度调低，水平推力增大，基础需要承担的水平作用也随之改变。

这涉及三类设计思路。拓扑先回答哪些节点通过哪些构件连接，例如有无系杆、推力是否交给桥台；找形在给定连接、荷载和边界下确定合适曲线；拓扑优化则允许进一步改变材料分布或传力路径。当前图保持三铰拱连接，只改变荷载和轴线几何。三者相互关联，但不是同一个计算步骤。

2.5.3 柔索的受力特点

理想柔索主要承受拉力，不能像梁那样用弯矩维持任意形状。索的方向随位置改变，张力的竖向分量因此能够托住荷载；要改变垂度，所需水平分力也会改变。索的线形与索力共同满足平衡，给定其中一个，另一个通常就受到约束。

2.5.4 水平分力与竖向分力从哪里来

取两支点等高的柔索，以左支点为 $x=0$，$d(x)$ 表示相对支点连线向下的垂距。忽略索的抗弯刚度，所有分布荷载竖向作用，没有沿索分布的水平外力，因此张力水平分力 $H$ 沿索保持不变。索斜率决定竖向分力，局部平衡给出

$$H d''(x)=-q(x),\qquad T(x)=H\sqrt{1+[d'(x)]^2}.$$

此处 $q(x)$ 按单位水平投影长度计。索力方向沿切线，张力 $T$ 的大小通常沿索变化；只有水平分力 $H$ 为常量。把整根索的张力都等同于跨中水平分力，会低估较陡位置的索力。

与梁的 $EIw''''=q$ 对照，柔索依靠已有张力与曲率平衡横向荷载，梁依靠抗弯刚度与曲率的空间变化传力。二者都从微段平衡出发，控制关系却由构件的主要机制决定。

2.5.5 抛物线与悬链线取决于荷载怎样分布

若 $q$ 沿水平投影均布，且 $d(0)=d(L)=0$，积分得

$$d(x)=\frac{q}{2H}x(L-x).$$

令跨中垂度为 $f_c$，便有

$$H=\frac{qL^2}{8f_c},\qquad T_{\max}=\sqrt{H^2+(qL/2)^2}.$$

这是抛物线柔索。用许多竖向吊索承托近似均匀桥面荷载时，可以由它建立最初的力学认识；实际离散吊点、索自重、弹性伸长与不均匀荷载还会使索形改变。

若荷载来自索自身重量，并且每米实际索长的重量为常量 $w_s$，一段水平投影 $\mathrm dx$ 上的重量为 $w_s\sqrt{1+d'^2}\,\mathrm dx$，因此

$$H d''=-w_s\sqrt{1+d'^2}.$$

这不再是前一个常量右端的方程。令 $a=H/w_s$，两等高支点间的解可写为

$$d(x)=a\left[\cosh\left(\frac{L}{2a}\right)-\cosh\left(\frac{x-L/2}{a}\right)\right].$$

它是悬链线，跨中垂度满足 $f_c=a[\cosh(L/2a)-1]$。已知跨径、自重和垂度时，通常先求参数 $a$，再由 $H=aw_s$ 得水平力。MIT的悬链线静力讲义展示了这类由张力与自重确定线形的关系。8

小垂度条件下，悬链线可近似为抛物线，但二者的荷载定义不能交换。前者按实际索长均布，后者按水平投影均布；同时存在桥面作用与索自重时，应把各项按同一坐标正确组合。给定无应力索长、支点位置与材料刚度时，还需把索的弹性伸长纳入协调，不能同时任意指定索长、垂度和索力。

2.5.6 从索形和振动反推索力

索力不只可以由设计给定，也可以从测量反推。激光扫描先得到索的空间点云，提取中心线、锚点和垂度，再用索的平衡关系拟合；振动测量先得到索的运动记录，识别频率，再用索力与频率的关系估计张力。两条路线测到的都是响应或几何，需要力学模型才能变成索力。

激光扫描的原始点云并非一条干净曲线：遮挡、点密度不均、表面反射以及扫描期间风和车辆引起的运动，都会影响拟合。需先识别同一根索、统一坐标、确认锚点，再结合线重和适用的悬链线或索单元模型估计张力。已有桥梁研究将点云提取、力学模型拟合和频率法对照组成完整路线。17

对两等高支点、按水平投影均布荷载的理想索，测得垂度 $f_c$ 后可以直接看到

$$H=\frac{qL^2}{8f_c}.$$

相同跨度与荷载下，垂度小，水平分力大。这个式子中的 $H$ 是水平分力；较陡位置的总张力仍要由索的斜率计算。斜拉索的两锚点不等高，其垂度通常相对锚点连线测量，不能直接把这个等高索公式中的垂度换成斜索图上的任意距离。

振动法先用长度 $L_c$、恒定张力 $T$、线质量 $\mu$ 的理想直弦说明。两端横向位移为零，忽略垂度、抗弯刚度和阻尼，有

$$f_n=\frac{n}{2L_c}\sqrt{\frac T\mu},\qquad T\approx4\mu L_c^2\left(\frac{f_n}{n}\right)^2.$$

频率越高并不自动意味着索力越大，比较时还要保持索长、线质量、阶次及边界一致。$L_c$ 用m、$\mu$ 用kg/m、$f_n$ 用Hz，所得 $T$ 为N。例如 $L_c=100$ m、$\mu=50$ kg/m，测得基频1.0 Hz时，估计张力2000 kN；同条件基频提高到1.1 Hz，估计张力变为2420 kN，增加21%。

这一关系来自索微段的横向平衡：张力方向随索的弯曲而变，产生恢复作用，平衡微段惯性。将空间形态与时间运动分开，其表达为

$$\mu\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2\eta}{\partial s^2},\qquad \eta(s,t)=\phi_n(s)q_n(t),\qquad \phi_n(s)=\sin\frac{n\pi s}{L_c}.$$

这里 $s$ 是沿索位置，$\eta$ 是横向位移；偏导只是分别考察“位置变化”和“时间变化”。前面的桥梁主要由抗弯刚度恢复，理想弦主要由已有张力恢复，所以本例 $f_n\propto n$，而均匀简支梁竖弯的 $f_n\propto n^2$，两种频率比不能混用。

实际短索的弯曲刚度、长索的垂度与伸长、锚端柔度、有效振动长度和减振器均会影响结果。3 应比较多个阶次的 $f_n/n$，并与线形、张拉记录或其他测量相互核对。某根索的局部频率也不能直接充当全桥竖弯频率。实际测量的关键链条是：测到什么—采用什么模型—估计哪个力—用什么独立证据核对。

2.5.7 调斜拉索，让主梁的弯曲和线形改变

在索上调张力，在主梁上看效果。 图中的青色内索与棕色外索分别标出每根张力 $T$。拖动索上的圆点，同组左右两根索同步增减张力；选择一根索，锚点旁的箭头显示它怎样拉住主梁。向上的分力 $V$ 托梁，指向塔的分力 $H$ 压梁，主梁的线形与弯矩随之改变。

这座教学桥为60 m＋60 m，跨中设塔，两端及塔位设竖向支承；两对对称拉索分别由内、外索力控制，默认每根1800 kN，允许范围0～4000 kN。手动增力时若出现承压支承负反力，应重新检查支承状态。

图中的量各有位置：输入是斜拉索张力 $T$，传给主梁的是锚点分力 $V$、$H$，输出是主梁位移 $w$、弯矩 $M$ 和轴力 $N$。 灰色参考线保留未变形位置，线形显示放大300倍，实际位移以毫米读数为准；力的倾角仍按未变形的索计算。切换到弯矩时，弯矩图的零线贴着主梁轴线。

点击“相同竖向托力”，每根索都向上托住1500 kN。外索与水平线夹角45°，张力需要2121 kN；内索较陡，夹角约63.4°，张力只需1677 kN。同样向上托住主梁，越平的索需要越大的张力。 两索的竖向箭头等长，沿索箭头却不同；水平分力也分别为1500 kN和750 kN。再切到“相同张力”，各索张力都是1800 kN，竖向托力却不再相同。

“相同竖向托力”用于看清倾角的作用，并不就是最优索力。选择“减小全梁弯矩”或“减小全梁挠度”，计算还要考虑各个锚点对全梁的影响，所得内、外索力以及各索竖向分力都不必相同。实际调索通过张拉或索长调整实现，本图用张力作为直接输入，先呈现从索到梁的作用关系。

这些箭头对应的方程很短。设索与水平线的夹角为 $\theta_j$，则

$$V_j=T_j\sin\theta_j,\qquad H_j=T_j\cos\theta_j.$$

$V_j$ 向上托梁，直接调整竖向弯矩和挠度；$H_j$ 沿梁指向塔，使相应区段承受轴向压力。塔端同时受到方向相反的索力。仅画向上力会漏掉主梁受压与桥塔受力，这也是图中需要保持真实斜索方向的原因。

例2-9　同一座斜拉桥，两种调索目标。 取全长 $L=120$ m，塔位在60 m，塔顶比索锚基准高40 m；外索锚点在20、100 m，内索锚点在40、80 m。外索倾角45°，内索倾角约63.435°。主梁承受80 kN/m均布荷载，$EI=272\times10^6$ kN·m²，在0、60、120 m竖向支承，塔位主梁保持弯曲连续。

用两端简支梁作为计算基准，再以向上的塔位反力 $R_C$ 保证跨中位移为零。$G(x,a)$ 表示该基准梁在 $a$ 处施加单位向下力时，$x$ 处的向下位移柔度。于是

$$R_C=\frac{w^{(q)}(L/2)-\sum_jG(L/2,a_j)V_j}{G(L/2,L/2)},$$

$$w(x)=w^{(q)}(x)-\sum_jG(x,a_j)V_j-G(x,L/2)R_C.$$

这一步让“多一个支承”体现为明确的变形协调条件，而不是任意分配反力。对同一基准梁，$g_M(x,a)$ 表示单位向下力的弯矩影响，故

$$M(x)=\frac{q x(L-x)}2-\sum_jg_M(x,a_j)V_j-g_M(x,L/2)R_C.$$

两端反力仍由整体平衡求得：

$$R_A+R_C+R_B+\sum_jV_j=qL,\qquad R_B L+R_C\frac L2+\sum_jV_j a_j=\frac{qL^2}{2}.$$

左半桥任一截面的轴向压力，来自该截面外侧各拉索水平分力的累加；右半桥对称。若轴力以受拉为正，则该压力记为负值。在邻近塔的区段，两种索都参与压梁；最外索以外的区段则没有这部分索水平力。图中阶梯状轴力分布由此产生。

图后的数学表达只需分清三项：

以减小弯矩为目标，可写为

$$\min_{\boldsymbol T} J_M=\int_0^L M(x;\boldsymbol T)^2\,\mathrm dx, \qquad 0\le T_{\mathrm{内}},T_{\mathrm{外}}\le4000\ \mathrm{kN},\quad R_A,R_C,R_B\ge0.$$

固定几何、线弹性和相同支承条件下，$M(x;\boldsymbol T)$ 与 $w(x;\boldsymbol T)$ 都随两组索力线性变化，平方积分便形成带约束的二次优化问题。4 本页目标是平方积分，不是直接最小化绝对最大弯矩；两种提法应当区分。

改为挠度平方积分最小，内索约1679.832 kN、外索约2623.748 kN，目标改变，解也改变。索力调节幅度不是全部同增同减，必须通过结构影响关系判断。表中的塔位反力是主梁支承处的反力；塔基础还要承担塔端拉索向下分力及实际塔自重等，不能把这两个反力混为一谈。

这个教学模型固定塔顶位置和索方向，把索力作为可调作用，暂不计塔柔度、索伸长协调与主梁二阶压弯。真实斜拉桥需在全桥平衡状态附近建立影响关系，通过索长或张拉控制量实施调整，重算梁塔索共同平衡，再检查各施工阶段。成桥控制在斜拉桥与悬索桥中继续展开。

从梁到压杆、拱和索，构件的物理机制逐步改变：梁以弯曲刚度抵抗横向作用，压杆的轴力又会放大弯曲，拱用曲线与水平推力调整内力，柔索靠拉力维持线形。数学工具反复出现，但每次都需要由对象、荷载与连接重新确定具体方程。

2.6.1 本章练习

1. 从主梁到自由体（对应目标：1）。 另设24 m简支梁，180 kN集中力距左支点18 m，忽略自重。画出自由体，说明两端分别限制哪些自由度，求左右竖向反力，并用合力与合矩检查。若研究对象扩大到梁、支座和桥墩，原来的支座接触力应怎样处理？

2. 从受力到运动（对应目标：1、2）。 对 $m\ddot u+c\dot u+ku=p(t)$，在桥梁振动图上指出位移、惯性、恢复与耗能所对应的对象。荷载幅值不变，频率从0.5 Hz移至接近1 Hz时，第9章共振算例的响应怎样变化？保持1 Hz并增大阻尼比时又怎样变化？再用简支端与固定端的图示，说明边界条件和 $u(0),\dot u(0)$ 所表示的初始条件有何不同。

3. 振型不是振幅（对应目标：2）。 均匀简支桥的一阶振型在四分点、跨中、四分之三点的比例为 $[0.707,1,0.707]^{\mathsf T}$，某时刻跨中下移10 mm，求三个点的位移。若振型整体乘2，模态坐标怎样改变才能保持实际运动？已知本例一阶频率1 Hz，列出前四阶竖弯频率，并说明此比例为何不能通用于所有桥型。

4. 概率、次数与时间相关（对应目标：2）。 某阈值的年超越概率为1%，各年独立且概率不变。求50年内至少超越一次的概率与超越年份数的期望，解释二者的区别及其为何不等于结构失效概率。两条风速过程有相同均值和方差，能否据此认定它们引起相同的振动？

5. 梁的截面与已有状态（对应目标：3）。 0.30 m×0.60 m矩形简支梁由竖放改为横放，保持材料、跨度和竖向外荷载相同，求横放与竖放的弯曲挠度比和边缘应力比。再对例2-4的20 m抛物线预应力束，仅把有效预压力减小15%，求均布上托力和每端竖向分力，检查合力是否平衡。说明这两组计算分别改变了什么。若分别计算全梁整体弯矩、桥面板局部弯曲、锚固区三维应力，应优先考虑哪类有限元单元？

6. 截面受拉与构件失稳（对应目标：4）。 矩形截面宽0.8 m、高1.5 m，压力1800 kN沿高度偏心0.30 m。按完整均质线弹性截面、压应力为正，求减压侧边缘应力。另有一根理想轴压杆，保持 $E,I$ 不变，有效长度降为原来的0.8倍，求欧拉临界力倍率。解释为何前一问与后一问不能互相代替。

7. 索形、索力与频率（对应目标：5）。 两等高支点间的柔索跨度40 m，承受沿水平投影均布的20 kN/m竖向荷载，跨中垂度由8 m改为4 m。求改变前后的水平分力和最大张力。另设有效长度100 m、线质量50 kg/m的理想直弦，测得基频1.0 Hz，估算张力；指出实际拉索至少两项可能使该估算偏离的因素。

8. 写清楚“最优索力”（对应目标：1、5）。 使用本章60 m＋60 m斜拉桥算例，说明两组变量指的是实际索张力还是竖向分力，写出减小弯矩的目标及页面约束。对比弯矩与挠度两个目标下的索力，说明为何会不同。选一个可行状态，用竖向合力与合矩核对反力，再指出主梁轴向压力来自哪里。