10  数字建模与智能设计

10.1.3.1 材料力学作为最小基准

第2章的用平衡检查第一张计算图和从弯矩到挠度：保持同一个算例提供有限元最小基准。先复现同一跨度、刚度、均布荷载及简支条件下的跨中弯矩与位移，再增加本章所需的空间构件或局部细节。

悬臂端集中力、两端固结梁、简支集中力等也可形成小型验证例。模型中的 $E$ 加倍而荷载和几何不变，线弹性位移应约减半；$q$ 加倍，内力和位移应约加倍；截面高度变化对 $I$ 的影响应符合几何计算。这些趋势比对照一张他人云图更能定位错误。

材料力学公式有适用边界。短深梁的剪切变形、薄壁开口截面的翘曲、宽箱梁剪力滞、板的双向弯曲和局部应力不能由一根Euler–Bernoulli梁完整表示。使用简化公式验证有限元时，比较的是共同保留的物理量。

10.1.3.2 总体效应进入截面设计

有限元总体模型输出构件截面上的轴力、剪力、弯矩和扭矩，结构设计原理根据材料、截面和构造计算抗力、应力、裂缝与变形。数据接口写为

$$\{\text{模型、阶段、工况、组合、构件、截面}\} \longrightarrow \{N,V_y,V_z,T,M_y,M_z\} \longrightarrow \{\text{承载力与使用性能验算}\}.$$

同一组合下的成组内力必须保持关联，不能把不同工况的最大 $N$ 和最大 $M$ 拼成不存在的组合。截面局部轴方向、符号和单位在输出与验算程序间保持一致。截面设计改变刚度或自重后，必要时回写总体模型迭代。

10.1.3.3 从结构力学到有限元模型

从材料力学进入有限元，可依次完成三个判断：荷载怎样通过构件和支点达到平衡；材料与截面怎样决定刚度；变形假定是否足以表达所关心的响应。例如，梁单元可以表达截面整体弯曲，却不能给出箱梁腹板开孔边缘的局部应力；后者需要在整体内力基础上建立局部模型。

10.1.4.1 从工程问题到计算任务

前述“模型问题表”统一记录分析需求。概念模型中的构件需映射到计算对象：例如支座在总体模型中是分方向的约束或连接单元，在局部模型中则可能包含钢板、接触与锚固。输入按事实、规定、假定和校准四类注明来源；假定值及反演参数单列，避免以软件默认值代替依据。

10.1.4.2 模型卡、版本和运行标识

计算输入至少列明单位、坐标、材料、截面、连接、支承、荷载和阶段。以每一单项荷载先算反力与位移，检查方向和数量级，再形成组合。改变截面后，应同步更新面积、惯性矩、扭转常数及自重；改变边界后，应重新检查结构能否稳定传力。把输入表与对应结果一同保存，便于比较不同方案。

10.1.4.3 单位换算如何进入刚度

若采用 $\mathrm{kN}$ 和 $\mathrm m$，弹性模量 $E=30\ \mathrm{GPa}$ 应输入为 $30\times10^6\ \mathrm{kN/m^2}$。截面惯性矩 $8.0\times10^{12}\ \mathrm{mm^4}$ 应转换为 $8.0\ \mathrm{m^4}$，因为 $1\ \mathrm{mm^4}=10^{-12}\ \mathrm{m^4}$。换算后 $EI=240\times10^6\ \mathrm{kN\cdot m^2}$。长度单位的四次方容易造成数量级错误，因此应先验证 $A$、$I$ 与实际截面尺寸，再检查梁的 $EI/L^3$ 刚度尺度。

采用质量与动力分析时，还需区分重量和质量：自重均布荷载 $q_g$ 除以重力加速度后才得到单位长度质量。将重量直接填入质量栏，会同时改变频率、惯性力与动力响应。

10.1.5.1 自由度、局部坐标与单元关系

图示条件：平面梁离散示意，不含求解结果；支座与荷载位置由同一几何生成；θy仅作转动自由度图示，正负随坐标统一。图源：课程组绘制。

以平面梁单元为例，节点$i$和$j$各具有轴向位移$u_x$、竖向位移$u_z$和绕$y$轴转角$\theta_y$，局部自由度向量为

$$\boldsymbol d_e= \begin{bmatrix} u_{xi}&u_{zi}&\theta_{yi}&u_{xj}&u_{zj}&\theta_{yj} \end{bmatrix}^{\mathsf T}.$$

位移采用m或mm，转角采用rad。在线弹性、小变形并满足Euler–Bernoulli梁假定时，构件轴向刚度由$EA/L$控制，弯曲刚度由$EI/L^3$及其相关项控制。$E$为弹性模量，单位Pa或MPa；$A$为截面面积，单位m$^2$或mm$^2$；$I$为关于弯曲轴的截面惯性矩，单位m$^4$或mm$^4$；$L$为单元长度。局部端力向量满足

$$\boldsymbol q_e=\boldsymbol k_e\boldsymbol d_e-\boldsymbol f_e^{\,0},$$

式中，$\boldsymbol k_e$为局部单元刚度矩阵，$\boldsymbol f_e^{\,0}$为分布荷载、温度或初始应变对应的一致节点荷载向量；按本式端力约定，固定两端时的固端内力为$-\boldsymbol f_e^{\,0}$，$\boldsymbol q_e$含轴力、剪力和弯矩。该式的符号必须与单元方向和软件端力约定一并保存；仅截取结果表中的正负号而不保存局部轴，无法判断构件实际受拉、受压及弯曲方向。

空间桥梁中，构件局部$x_e$轴通常沿单元$i$端指向$j$端，局部$y_e$、$z_e$轴由截面方向确定。设局部与全局自由度之间的方向余弦变换矩阵为$\boldsymbol T_e$，则

$$\boldsymbol d_e=\boldsymbol T_e\boldsymbol u_e, \qquad \boldsymbol k_e^{g}=\boldsymbol T_e^{\mathsf T} \boldsymbol k_e\boldsymbol T_e, \qquad \boldsymbol f_e^{g}=\boldsymbol T_e^{\mathsf T}\boldsymbol f_e.$$

$\boldsymbol T_e$无量纲，$\boldsymbol k_e^{g}$为全局坐标下的单元刚度。曲线梁、拱肋和空间塔柱若相邻单元局部轴不连续，可能出现截面结果符号跳变或$I_y$、$I_z$方向交换。计算模型应显示局部轴箭头，并在若干控制构件上核对截面主轴与实际构造方向。

10.1.5.2 总体组装与直接刚度法

设单元自由度通过布尔定位矩阵$\boldsymbol A_e$与总体自由度相联系，即$\boldsymbol u_e=\boldsymbol A_e\boldsymbol u$，总体刚度和总体荷载可写为

$$\boldsymbol K= \sum_{e=1}^{n_e}\boldsymbol A_e^{\mathsf T} \boldsymbol k_e^{g}\boldsymbol A_e, \qquad \boldsymbol F= \sum_{e=1}^{n_e}\boldsymbol A_e^{\mathsf T} \boldsymbol f_e^{g}+\boldsymbol F_n,$$

式中，$n_e$为单元数，$\boldsymbol F_n$为直接施加于节点自由度的荷载。组装的物理含义是：连接于同一自由度的各构件在节点处位移相容，各单元端力与外力共同满足节点平衡。两个几何坐标完全相同但编号不同的节点不会自动组装；两个本应由支座或伸缩缝分开的节点若被误合并，则会形成不应存在的刚接。节点去重必须服从构造语义，不能只按坐标距离机械处理。

对已知位移自由度$c$和未知位移自由度$f$分块，总体方程为

$$\begin{bmatrix} \boldsymbol K_{ff}&\boldsymbol K_{fc}\\ \boldsymbol K_{cf}&\boldsymbol K_{cc} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol u_f\\ \boldsymbol u_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol F_f\\ \boldsymbol F_c+\boldsymbol R_c \end{bmatrix}.$$

这里 $\boldsymbol F_f$、$\boldsymbol F_c$ 仅表示已施加的节点荷载，$\boldsymbol R_c$ 为约束处的未知反力。若 $\boldsymbol u_c$ 为支座沉降或其他规定值，则自由自由度满足

$$\boldsymbol K_{ff}\boldsymbol u_f =\boldsymbol F_f-\boldsymbol K_{fc}\boldsymbol u_c.$$

求得$\boldsymbol u_f$后，约束反力为

$$\boldsymbol R_c= \boldsymbol K_{cf}\boldsymbol u_f+ \boldsymbol K_{cc}\boldsymbol u_c- \boldsymbol F_c.$$

位移采用m或mm，节点力采用N或kN，节点力矩采用N·m或kN·m；刚度矩阵的不同分块因自由度类型不同而含有N/m、N、N·m等量纲。用一个统一的“大数弹簧”替代理想约束虽便于输入，却可能造成矩阵病态并污染反力，应优先采用求解器明确支持的自由度消元、约束方程或拉格朗日乘子方法，并记录具体实现。

10.1.5.3 虚功、等效节点荷载与结果可解释性

单元刚度与荷载必须采用相同的位移近似。连续作用转换为节点力时，除了合力、合矩，还要保持对允许虚位移的作功；一致荷载公式和端矩对照集中见本章“分布作用的等效节点化”。结果则由节点位移恢复为单元内力或积分点应力，具体提取见“求解类型与结果恢复”。

10.1.5.4 矩阵法与桥梁问题的对应

三跨连续梁可直接展示总体组装：每个梁段贡献局部刚度，墩顶节点使相邻跨位移和转角相容，支座删除或规定相应自由度，车辆荷载随位置改变$\boldsymbol F$而不改变线性模型的$\boldsymbol K$。梁格是在纵、横两个方向布置梁单元并在交点共享空间自由度；板壳模型进一步以二维插值描述桥面和箱梁板件；实体模型以三维插值描述局部应力扩散。不同模型保留的运动方式不同，但均需满足“运动学近似—本构—平衡—边界”的统一结构。

从矩阵法过渡到有限元时，应特别辨认三类差异。第一，杆系构件已有明确截面，输出多为截面合力；连续体单元先得到应力或应力合量，截面结果需要积分。第二，杆系节点通常具有清楚的构造含义；壳、实体节点多为数值插值点，不应把每个节点峰值直接视为实体构造应力。第三，桥梁分析往往包含施工阶段、预应力、索初始状态、移动荷载和支座非线性，总体方程可能随阶段或迭代改变，不能把一次线性组装的经验无条件推广。

10.1.5.5 由位移恢复内力

有限元计算按“节点位移—单元变形—应变或截面变形—应力或内力”恢复结果。每一次转换均须保持坐标、单位和正负号一致。完成单项工况后，以总反力、控制截面内力和关键点位移检查模型，再进入作用组合。

10.1.5.6 有限元离散

基本方法参见Bathe有限元课程与讲义。

10.1.5.7 例10-1　两根轴向杆的组装与支反力

三节点位于同一直线上，两根杆依次连接节点1—2—3，均有 $EA=200\ \mathrm{MN}$、长度 $L_e=2\ \mathrm m$。节点1和3的轴向位移固定，在节点2施加向右的力 $P=100\ \mathrm{kN}$，求节点位移及杆件轴力。取向右为位移正向，拉力为轴力正向。

解。 每根杆的刚度系数为 $EA/L_e=100\ \mathrm{MN/m}$，总刚度关系为

$$100\times10^6 \begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}R_1\\100000\\R_3\end{bmatrix}.$$

代入 $u_1=u_3=0$，得到 $u_2=0.0005\ \mathrm m=0.50\ \mathrm{mm}$。两杆轴力分别为

$$N_1=\frac{EA}{L_e}(u_2-u_1)=50\ \mathrm{kN},\qquad N_2=\frac{EA}{L_e}(u_3-u_2)=-50\ \mathrm{kN}.$$

左杆受拉、右杆受压，两个支点反力均为向左的 $50\ \mathrm{kN}$，与外力平衡。节点2的一次位移同时决定相邻两单元的变形，这就是组装中的位移协调；节点2方程则保证该处各单元端力与外荷载平衡。计算约束反力时，须回代原总刚度方程，不能只读取删除约束行列后的矩阵。

10.2.1.1 几何、偏置与局部坐标

几何审计不只核对跨径和标高，还要核对分析轴线与实体构件之间的空间关系。梁单元通常位于截面形心、剪切中心或人为选定的参考轴，桥面铺装、横梁节点和支座中心未必与该轴重合。刚臂只表达运动关系，不应额外贡献不存在的材料质量或构件变形刚度。若力$\boldsymbol{F}$由实际作用点平移到分析轴线，应附加偏置力矩

$$\boldsymbol{M}_e=\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{F},$$

式中，$\boldsymbol{e}$为作用点相对分析轴的位置向量，单位m；$\boldsymbol{M}_e$单位为N·m或kN·m。刚性臂、多点约束或软件截面偏置均可实现该关系，但必须通过一个单位力工况检查传递的合力和力矩。对曲线桥和斜桥，局部轴方向随里程变化，截面内力必须结合局部坐标解释；局部轴翻转会使弯矩或扭矩图突变，却不一定表示结构响应突变。

几何数据宜分为线路层、结构控制线层、构件轴线层和有限元离散层。线路平曲线与竖曲线定义总体位置；墩台里程、支承线和横坡定义结构控制；主梁、腹板、横梁及索锚点生成构件轴线；网格尺寸和分段规则形成有限元节点。四层使用稳定标识相互关联，避免把可视化表面的顶点误作结构节点。

10.2.1.2 连接与约束的最小测试

相邻构件在画面上接触，不表示自由度已经连接。共享节点表示相同位置的相应自由度完全相容；刚性连接表示从属点随主点作刚体运动；弹簧连接允许相对位移或转角并按刚度传力；接触连接需要定义法向开闭、切向摩阻和可能的滑移。每类连接在进入全桥模型前均可采用两构件最小模型测试：在一端施加单位位移或单位力，观察另一端位移、内力和反力是否符合预期。

多点约束可写为

$$\mathbf{C}\mathbf{u}=\boldsymbol{d},$$

式中，$\mathbf{C}$为约束矩阵，$\mathbf{u}$为全局自由度向量，$\boldsymbol{d}$为规定相对位移。对刚性横隔，$\boldsymbol{d}=\boldsymbol{0}$时表示从属节点按刚体关系运动。约束范围过大可能抑制真实板变形；约束不足则可能出现机构或局部断链。教学检查中可分别施加纵向、横向、竖向单位力和三个方向单位力矩，形成六项连接传递表。

10.2.1.3 支座与基础边界

支座边界按自由度逐项定义。固定、纵向活动、横向活动和双向活动是对允许运动的描述，不是按名称直接选择软件图标。支承线方向与全局轴不重合时，支座约束宜在局部坐标中定义。支座刚度$k_i$的单位为N/m或N/mm，转动刚度$k_{\theta i}$的单位为N·m/rad；理想约束可视为相应刚度趋于很大，但数值模型中不应随意设置超大弹簧而导致病态矩阵。

边界检查包含三类工况：自重工况检查竖向反力及总平衡；温度升降工况检查预期自由方向是否能够伸缩；水平单位力工况检查固定墩、制动墩或基础弹簧的传力比例。若温度工况产生异常大的轴力，首先检查多余纵向约束、支座方向和施工闭合状态。基础柔度可用六自由度弹簧矩阵或桩土模型表示，其参数来源和适用频率范围必须记录；未完成地基—结构参数研究时，刚性基础与弹性基础应作为边界情景比较。

施工监控依据JTG/T 3650-01—2022，已成桥响应的试验核对参见荷载试验规程。

10.2.1.4 施工阶段状态

预应力混凝土连续梁、分段架设钢梁、悬臂施工桥和体系转换桥梁的成桥内力依赖施工路径。第$k$阶段可表示为

$$\mathcal{M}_k=\{\mathcal{E}_k,\mathcal{B}_k,\mathcal{L}_k,\mathcal{P}_k,t_k\},$$

式中，$\mathcal{E}_k$为本阶段激活或钝化的单元集合，$\mathcal{B}_k$为边界与连接集合，$\mathcal{L}_k$为新增作用集合，$\mathcal{P}_k$为预应力或初始状态，$t_k$为龄期或持续时间。每一阶段的位移、内力和材料时变状态传递至下一阶段。若仅在成桥几何上一次施加全部恒载，可能遗漏架设体系、临时支承、合龙、张拉顺序以及收缩徐变的路径影响。

施工阶段表至少列出阶段名称、起止时间、激活构件、钝化构件、边界变化、施加荷载、张拉束、龄期和检查量。阶段激活应保持初始几何和无应力状态的定义一致；“激活单元即自动承担此前荷载”并非普遍规律，需核对求解器的阶段继承方式。MIDAS官方功能资料以结构组、边界组和荷载组的激活或钝化组织施工阶段，本书只引用这一通用工作流，不复制软件界面。参见MIDAS Civil施工阶段分析和悬臂浇筑施工阶段示例。

10.2.2.1 分布作用的等效节点化

荷载由工程对象映射到自由度时，应保持功等效。单元上的连续分布作用$\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})$转换为等效节点荷载

$$\boldsymbol{f}_e=\int_{\Omega_e}\mathbf{N}^{\mathsf T}\boldsymbol{p}\,\mathrm d\Omega,$$

式中，$\mathbf{N}$为位移形函数矩阵，$\Omega_e$为单元域，$\boldsymbol{p}$可为线荷载N/m、面荷载N/m$^2$或体力N/m$^3$。铺装、防撞护栏和附属设施可以按实际分布映射为面荷载或线荷载；简化为梁上线荷载时，应说明分配宽度和偏心。自重由密度、重力加速度和几何自动形成时，需要用材料体积与单位重独立计算总重，防止重复施加或遗漏非结构层。

均布梁荷载的最小检查。 取局部坐标 $x$ 从左端至右端，横向位移 $v$ 向下为正，转角 $\theta=\mathrm dv/\mathrm dx$ 顺时针为正，与下方交互一致。若采用右手全局坐标 $x$向右、$z$向上、$y$指向画面内，则 $v=-u_z$、$\theta=\theta_y$；其他轴向约定应据实际方向换算。长度 $L_e$ 的Euler—Bernoulli梁承受沿 $v$ 正向的均布荷载 $q$，一致节点荷载顺序为 $[F_i,M_i,F_j,M_j]$：

$$\boldsymbol f_e= \begin{bmatrix}qL_e/2&qL_e^2/12&qL_e/2&-qL_e^2/12\end{bmatrix}^{\mathsf T}.$$

合力为 $F_i+F_j=qL_e$，关于左端的合矩为 $M_i+L_eF_j+M_j=qL_e^2/2$。检查一般节点荷载的合矩时，必须加上节点力偶；只算 $\sum x_iF_i$ 会漏项。均布荷载中两个节点力偶恰好抵消，不能据此推广到任意分布荷载。等效节点荷载用于节点方程，梁段内部弯矩恢复仍需计入单元上的原分布荷载。

均布荷载不变时，单元长度由5 m增至10 m，一致节点力增为2倍，节点力矩增为4倍。图中的箭头与读数直接显示这两种尺度变化。正文与页面均以竖向向下、顺时针转角为正；$q>0$表示向下的均布荷载。

长度加倍时，节点力按 $L_e$ 增加为2倍，节点力矩按 $L_e^2$ 增加为4倍。两个端矩大小相等、方向相反，合矩虽相互抵消，仍分别作用于端部转动自由度。若只把均布荷载分成两个端力，就保留了总竖向力，却丢失了一致荷载中与转角作功对应的部分。

10.2.2.2 移动荷载与影响线

车辆位置以路径坐标$\xi$表示，则线性静力模型在每一位置满足

$$\mathbf{K}\boldsymbol{u}(\xi)=\boldsymbol{F}(\xi),$$

式中，$\mathbf{K}$为结构刚度矩阵，$\boldsymbol{u}(\xi)$为位移向量，$\boldsymbol{F}(\xi)$为该车位的等效节点荷载。目标响应$r(\xi)$可由位移、截面内力或支反力提取，其包络为$\max_{\xi}r(\xi)$和$\min_{\xi}r(\xi)$。位置步长决定能否捕捉窄峰；宜先粗扫识别控制区，再在峰值附近加密，并报告步长敏感性。

车轮作用从路面接触区映射到板壳节点时，应至少保持竖向合力和相对参考点的两个一阶矩：

$$\sum_i F_{zi}=P, \qquad \sum_i x_iF_{zi}=x_P P, \qquad \sum_i y_iF_{zi}=y_P P,$$

式中，$P$为单轮或轮组竖向力，单位N或kN；$(x_P,y_P)$为作用点坐标，单位m；$F_{zi}$为分配到节点$i$的竖向力。若仅按最近节点加载，车辆跨越网格线时可能出现非物理跳变。基于形函数、接触面积或守恒权重的分配应连续更新。比较分配方式时同时核对合力与合矩。

移动荷载静力动画是空间位置扫描，不等同于车辆动力时程。播放速度只是界面速度，不能解释为实际车速。只有模型包含质量、阻尼、路面不平顺和时间积分时，车速才进入动力问题。静力影响线适合教学车辆位置与响应极值的对应关系；规范车辆、车道折减和冲击效应应按项目采用标准建立，不由动画默认值代替。MIDAS移动荷载分析介绍了用影响线或影响面搜索不利位置的方法。阅读时把“响应最大值”与使它出现的“车辆位置”成对记录，再回到模型复算这个位置。

10.2.2.3 温度、预应力与初始状态

温度自由应变及约束效应见第3章“温度变化与约束”。在有限元中，应把参考温度、均匀温变或截面温度场映射到实际材料与截面；用完全自由伸缩的小模型检查约束力为零，再加入真实支承。均匀温变与梯度温度须分别输入。

预应力可通过等效荷载、初始应变、实体锚固作用或索单元初拉力进入模型。以初始应变法为例，单元等效节点荷载可写为

$$\boldsymbol{f}_{p,e}=\int_{\Omega_e}\mathbf{B}^{\mathsf T}\mathbf{D}\boldsymbol{\varepsilon}_p^0\,\mathrm d\Omega,$$

式中，$\mathbf{B}$为应变—位移矩阵，$\mathbf{D}$为材料本构矩阵，$\boldsymbol{\varepsilon}_p^0$为预应力引起的初始应变。预应力筋有效力单位为N或kN，偏心距单位为m或mm。需要区分张拉控制力、各阶段损失后的有效预应力和二次效应；连续结构中的预应力反力及次内力应与施工阶段相一致。

10.2.2.4 组合映射与可追溯数据

组合规则与线性叠加条件见第3章“作用代表值、组合与正负包络”。本节把这些规则落实到模型数据：基本工况独立保存，接触、索松弛或路径相关状态按适用方法重新求解，避免把非线性结果直接相加。

组合数据表应设置combination_id、极限状态、设计情景、基本工况标识、系数、同现组、互斥组、方向规则、来源条款、版本和审核状态。系数必须来自项目明确采用的现行标准或设计文件；教材交互可采用标注为“教学参数”的值展示变化规律，但不得将其冒充规范取值。自动组合程序至少通过三个测试：单一工况系数测试、互斥工况测试和正负方向包络测试。

10.2.2.5 影响线与直接荷载项（选读）

在线性、边界不变的模型中，自由自由度满足 $\boldsymbol K\boldsymbol u=\boldsymbol F(\xi)$。位移分量可由 $r=\boldsymbol c^{\mathsf T}\boldsymbol u$ 提取；反力和单元端力还可能含荷载直接项。因此一般写成

$$r(\xi)=\boldsymbol c^{\mathsf T}\boldsymbol u(\xi)+d(\xi) =\boldsymbol c^{\mathsf T}\boldsymbol K^{-1}\boldsymbol F(\xi)+d(\xi).$$

例如约束反力含 $-\boldsymbol F_c(\xi)$，单元端力含一致节点荷载的负项。若规定支座位移不为零，其贡献也需并入右端或 $d$。省略这些项，会使位移正确而内力或反力恢复错误。

求解伴随方程 $\boldsymbol K^{\mathsf T}\boldsymbol z=\boldsymbol c$ 后，$r=\boldsymbol z^{\mathsf T}\boldsymbol F+d$。荷载沿桥面二维位置变化得到影响面；多轮响应可按线性叠加，但接触开闭、索松弛或刚度改变时应直接分析相应状态。

车位 $\xi$ 与结构上的响应位置 $s$ 是两个不同坐标。固定响应位置 $s_0$，在同一恒载基准、模型和边界下扫描车位时，

$$\Delta r(s_0,\xi)=r_{G+P}(s_0,\xi)-r_G(s_0),\qquad \max_\xi\Delta r=\max_\xi r_{G+P}(s_0,\xi)-r_G(s_0).$$

这里恒载响应 $r_G(s_0)$ 不随车位变化，可以从车位包络中直接扣除。若还要沿桥搜索响应位置，则应在同一位置先作差，再取极值：

$$\max_{s,\xi}\Delta r(s,\xi)=\max_{s,\xi}\{r_{G+P}(s,\xi)-r_G(s)\}.$$

这一结果一般不等于 $\max_{s,\xi}r_{G+P}(s,\xi)-\max_s r_G(s)$，因为两个全桥极值可能出现在不同截面。输出须同时保留车位、响应位置、基准状态和内力恢复方式。

10.2.2.6 施工阶段与参考状态

阶段数据与继承规则见前述施工阶段状态。这里补充激活参考：新增构件可按原设计坐标、当前变形构形或附初应变的当前构形激活，产生不同的初始力；带力构件拆除须计入卸载和力的转移。例10-2将用同一梁明确展示这一差别。

预应力可用等效荷载、初应变或显式钢束表达，同一物理作用不能重复计入。曲线钢束需同时保留锚固端作用和沿线转向作用；超静定结构的次反力、次内力还取决于边界与张拉阶段。

线性组合在共同刚度和边界下成立。支座开闭、摩擦滑移、索松弛或材料路径相关时，按实际初始状态与加载顺序求解，不能把独立非线性结果直接相加。

10.3.7.1 空间截面与横向分配

同样的外轮廓，材料放在中心还是上下缘，对弯曲刚度的贡献不同。先在下面选择单箱单室截面，旋转到端面，看清顶板、底板、腹板与空腔，再沿桥向移动剖切面。保持外轮廓、跨度与附加荷载一致，改变板厚，记录面积 $A$、惯性矩 $I$ 和自重怎样一起变化。

页面提供实心矩形、单箱单室、T梁和空心板的构形、投影与复形操作，并按同一组几何参数计算面积、形心、惯性矩及简化梁的挠度和弹性应力。比较掏空前后结果时，同时读取“材料保留”和“惯性矩保留”，再解释它们为什么不必按同一比例下降。这里的三维画面用来认识截面，梁的计算仍采用页面给定的简化条件；偏载扭转、各片主梁反力与横向分配需要另建梁格或空间壳模型。

截面性质为后续空间分析提供输入。掏空截面可减少面积和自重，同时只要材料仍远离中性轴，惯性矩下降可能较小；但板件局部稳定、剪力传递、扭转和施工复杂度也会变化。离开本实验进入方案比较时，还需补充截面模量、局部板跨度和扭转指标。把观察结论写成“在本次外轮廓与板厚变化范围内，哪一项收益伴随哪一项代价”，比只选取最大的 $I/A$ 更能说明方案。

10.3.7.2 非线性分析

几何非线性包括大位移、P—Δ效应和索的初应力刚度；材料非线性包括混凝土开裂压碎和钢材屈服；边界非线性包括接触滑移、支座摩阻、间隙和脱空；只受拉索单元在松弛时也会改变工作状态。选择非线性模型前明确哪种机制可能改变目标结论。

增量迭代求解需报告荷载步、收敛准则、残差、最大迭代数和未收敛状态。程序收敛失败可能来自物理失稳、步长过大、接触切换或数值设置，不能简单通过放宽容差掩盖。非线性路径相关，作用施加顺序与施工状态需要一致。

特征值屈曲用于识别理想模态，几何和材料非线性分析用于研究缺陷下实际承载。动力时程需要质量、阻尼、时间步和输入记录。每种分析都应先有最小验证例。

10.3.7.3 从壳内力到截面应力

壳单元将厚度方向积分后的膜内力和弯矩作为基本结果。取单位宽度板带，厚度为 $t$，膜内力 $n_x$ 的单位为 $\mathrm{N/m}$，弯矩 $m_x$ 的单位为 $\mathrm{N\cdot m/m}$。在均质线弹性、厚度方向应力呈线性分布的假定下，板带上下表面的正应力为

$$\sigma_{x,\pm}=\frac{n_x}{t}\pm\frac{6m_x}{t^2}.$$

其中正负号对应所取壳法线两侧，须与局部坐标一致。若要得到一条截面的总轴力，应沿截线积分相应膜内力；总弯矩还包括膜内力相对参考轴的力矩，不能简单把各处 $m_x$ 相加。

例10-2　板带表面应力。 取 $t=0.20\ \mathrm m$、$n_x=200\ \mathrm{kN/m}$、$m_x=20\ \mathrm{kN\cdot m/m}$。膜应力为 $1.0\ \mathrm{MPa}$，弯曲应力幅值为 $3.0\ \mathrm{MPa}$，两表面正应力分别为 $4.0\ \mathrm{MPa}$ 和 $-2.0\ \mathrm{MPa}$。两侧受拉受压状态不同，即使膜内力为拉力，另一表面仍可能受压。钢筋混凝土开裂后需采用相应截面本构，不能继续把上述弹性应力直接解释为配筋抗力。

10.4.2.1 工具层级与责任边界

本教材将工具分为五层，各层可以交换数据，但不能相互冒充。

外形生成后仍须补齐材料、截面、连接、边界、荷载与初始状态。本书使用的Bridge Modeler等实现入口及文件交换说明保留在下方选读。

10.4.2.2 自动生成模型的基准校核

自动生成的模型首先通过简单工况校核：荷载加倍时线弹性位移应加倍，刚度加倍时位移应减半；对称结构承受对称荷载时，反力和变形应对称。修改程序后重新计算这些基准，检查原有正确结果是否改变。索的初拉力、接触或材料状态改变时，应使用相应的非线性校核条件。

10.4.5.1 AI交来一份计算，先检查什么？

图示条件：单根等效梁，暂不计自重；正确基准为线弹性小变形简支梁；单位故障仅为诊断；不把越域大位移当作物理预测。图源：课程组绘制。

检查生成的梁程序时，手算基准应采用与程序相同的荷载和支承条件。先核对反力、跨中位移及单位，再解释结果差异来自哪一项假定或实现。通过这个小例的检查后，还需说明方法能否用于后续桥梁问题。

简支梁反力、跨中位移和单位换算可以提供独立检查。检查中既要问程序是否正确求解了方程，也要问所解的模型是否忠实表达了原任务。

AI辅助代码与教学故障的完整材料。正文中的网格与边界对照直接并列正确任务与不同约束的结果。

任务书。 等效梁跨度20 m，两端竖向受约束、转角自由；弹性模量34 GPa，截面惯性矩0.100 m⁴；跨中向下集中力120 kN，暂不计自重。这是为验证程序设置的教学基准，尚未描述整座桥的横向受力、局部构造或设计荷载组合。

四份草稿分别用于定位单位、支承和荷载缺项。完整材料中的变形图各自归一显示，读数才表示实际位移；本章新对照图采用固定共同标尺，使相同荷载下的运动差异直接可见。

示范一次独立核对。 两端支反力应各为60 kN。沿用材料力学中跨中集中力的简支梁关系，可以得到跨中向下位移：

$$\delta=\frac{P L^3}{48 E I} =\frac{120000\times20^3}{48\times34\times10^9\times0.100} \approx 0.005882\ \mathrm{m}=5.882\ \mathrm{mm}。$$

这里，$P$是力（N），$L$是跨度（m），$E$是弹性模量（Pa），$I$是截面惯性矩（m⁴），$\delta$表示向下位移的大小。网页另用16个Euler–Bernoulli梁单元计算，与此基准比较。解析式与有限元结果吻合，说明这个基准通过；后续的桥面板、索或施工阶段仍需各自检验。

再想一步。 若草稿只装入96 kN，两端反力合计也是96 kN，程序内部仍能平衡。只有再和任务书要求的120 kN比较，才会发现漏载。这与核对一张支出表相似：加总无误，还不能证明每笔支出都已记入。

把计算核验接入智能桥梁设计。

改变跨度之后，要同步更新几何、荷载位置、构件分段和结果截面；改变截面之后，还要检查惯性矩、自重等依赖量。参数化让这些更新有共同来源。优化则在明确的变量、目标和约束内搜索候选，仍需要计算与复核。

查看实物构件与有限元层级 · 操作已有板有限元 · AI气动优化研究报告导读

本页使用预先准备的AI辅助代码与教学故障，在本地浏览器求解；没有调用在线大模型，也没有自动完成工程设计。代码和模型导出位于实验页面内。

同一基准的尺度变化。跨度由20 m增至24 m、集中力和截面保持不变时，位移按 $L^3$ 变化，为原来的1.728倍，约10.165 mm。若同时改变截面或自重，就需要重新建立依赖关系，不能沿用这一单参数比例。反力合计、端部运动和位移量级分别检查不同问题，任何一项都不能单独代替其余项。

人工智能可辅助生成参数表、建模脚本、组合枚举、结果读取、异常检查和图表说明。它给出的代码和参数均属于待验证输入。规范系数、材料性能和工程数据必须回查原始来源，不能由语言模型补齐。

建议采用四步记录：原问题与已知数据；工具输出及版本；人工执行的平衡、闭式、网格或规范检查；最终采纳、修改或拒绝的内容。提示词本身作为项目附件，使后续人员知道自动结果如何形成。

10.4.5.2 参数化、批处理与数据架构

参数变化沿同一条依赖链更新：板厚 → 截面面积、惯性矩与自重 → 内力和位移 → 使用性能与材料数量。跨径变化同时影响构件分段、荷载位置与结果截面。几何图和结果表引用同一参数来源，避免各自保留一套互相矛盾的数值。

10.4.6.1 例10-2　与第4章共享的两跨梁基准

这一自编教学基准与第4章例4-4共用输入，串联作用、连续体系、施工路径、节点离散与结果恢复。先完成这条可独立复算的流程，再考虑下方三跨箱梁开放任务。

$EI$与上述 $E,I$ 是复算用的教学给定值，并未确定截面形状、配筋和抗力，不构成完整截面设计。荷载、刚度及阶段不可从其他例题混入。

四单元离散。节点1—5依次位于 $x=0,10,20,30,40$ m；单元1—4连接(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)，长度均为10 m。每节点取向下位移 $v$ 与顺时针转角 $\theta$，总体顺序为 $[v_1,\theta_1,\ldots,v_5,\theta_5]$；约束 $v_1=v_3=v_5=0$，其余自由。成桥模型的中支点节点3只有一个转角。单元弯曲刚度与一致荷载为

$$\mathbf k_e=\frac{EI}{L_e^3}\begin{bmatrix}12&6L_e&-12&6L_e\\6L_e&4L_e^2&-6L_e&2L_e^2\\-12&-6L_e&12&-6L_e\\6L_e&2L_e^2&-6L_e&4L_e^2\end{bmatrix},\quad \mathbf f_e=\begin{bmatrix}qL_e/2\\qL_e^2/12\\qL_e/2\\-qL_e^2/12\end{bmatrix}.$$

按节点编号组装，约束后求自由位移，回代 $\mathbf R=\mathbf K\mathbf u-\mathbf F$ 得反力。向上反力在当前向下坐标中为负，结果表为便于阅读列出向上大小。单元端力用 $\mathbf k_e\mathbf d_e-\mathbf f_e$，随后按端面方向恢复正弯矩（跨中受拉为正），不能把两个端部广义力矩的正号直接当作相同截面弯矩正号。

施工状态怎样进入组装。一期分别求解两根简支梁，中支点两侧的转角独立；保留其内力与变形作为闭合参考状态。二期用上述四单元连续模型计算新增荷载的响应，再与一期结果按同一截面叠加。这里合并的是相对连接初态的转角增量；一期中支点左右的两个参考转角分别保存，不合并成一个绝对转角。连接形成时，不把已发生的一期转角强行归零，也不把一期荷载重新加载到连续体系。

两路径总反力都为1600 kN，总弯矩与变形分布却不同。静定一期中点位移由 $5g_1L^4/(384EI)$ 核对；连续两等跨中点位移由 $g_2L^4/(192EI)$ 核对。本例“四单元”是每跨两个单元；均布荷载的端力恢复保留原荷载项。加密能够改善单元内部位移插值，但不能把错误的加载历史修正为正确历史。

下载节点、单元与核对值。文件把位移正向、支反力正向、阶段荷载与结果单位分开记录，便于独立复算。后续如研究偏载横向分配、箱室畸变或支座区承压，应补齐相应几何与连接，再与本基准比较共同合力；本例不能回答这些局部问题。

10.4.6.2 开放课程设计：40+64+40 m连续箱梁

10.4.6.3 案例对象与分析边界

以下以$40+64+40\ \mathrm{m}$三跨预应力混凝土连续箱梁组织一项开放建模作业；与上方已给齐参数的例10-2分开使用。已给出的跨径用于演示模型升级，不是标准图，也不构成工程推荐。其余输入先按下表补齐，经教师确认后作为各组共用的案例数据；本节给出分析步骤与核对关系，尚不能凭跨径直接得到完整算例的数值答案。全局坐标$x$沿桥向、$y$沿横桥向、$z$竖向向上；桥台A0至桥台A3按里程递增编号，中墩为P1和P2。

将这张输入表与模型一起提交。只完成第一层时，可明确暂不研究的机制；升级到后续层级前，再补足该问题所需的数据，不由AI猜测缺失尺寸或预应力参数。

案例不试图用一个模型回答全部问题，而设置四个目标：Q1检查恒载下总体弯矩、反力和挠曲线；Q2研究偏载下横向分配和扭转；Q3研究中墩附近负弯矩区箱梁板件响应；Q4研究横隔板开孔或支座承压区的局部三维应力。Q1使用连续梁或一维空间梁，Q2使用梁格或空间壳，Q3使用壳局部模型，Q4使用实体子模型。各模型共享几何控制站和材料来源，但具有独立的网格与结论边界。

10.4.6.4 步骤一：手算建立最小基准

若控制截面面积为$A_c(x)$，结构自重线荷载为

$$g_k(x)=\gamma_c A_c(x),$$

式中，$g_k$单位为kN/m，$\gamma_c$单位为kN/m$^3$，$A_c$单位为m$^2$。对分段变截面，可按控制站之间的几何变化积分或分段求和，总自重为$G_k=\int_0^L g_k(x)\,\mathrm dx$。总体模型竖向支反力之和应与结构自重、二期恒载和其他竖向作用之和相等。若铺装和防撞护栏作为附加线荷载输入，它们不得同时计入材料自重。

连续梁内力基准可由位移法、力法、结构分析程序或经过验证的解析表获得。手算不要求复现每个有限元节点，而应给出支点负弯矩、跨中正弯矩、反力和挠曲线的符号及量级。等截面简支梁在均布荷载$q$作用下的跨中挠度基准

$$w_{\max}=\frac{5qL^4}{384EI}$$

仅用于数量级对照，式中$q$为N/m，$L$为m，$E$为Pa，$I$为m$^4$，所得$w_{\max}$为m。三跨连续、变截面和预应力体系不能把该式作为最终解，但若有限元挠度比该量级相差多个数量级，应优先检查单位、边界和截面刚度。

均匀温变下长度$L$构件的自由伸缩为

$$\Delta L=\alpha\Delta T L,$$

式中，$\Delta L$和$L$采用同一长度单位。该结果用于检查活动支座方向：完全释放相应方向时，构件可接近自由伸缩，均匀温变轴力接近零；支承限制自由伸缩时即会产生温度轴力，其大小由梁与支承的相对刚度决定。完全约束是轴向变形被完全抑制的理想极限，有限刚度关系见第8章。偏心竖向作用$P$相对截面剪切中心偏心$e$时，扭矩量级为$T=Pe$，其中$P$单位kN，$e$单位m，$T$单位kN·m。该关系是横向偏载模型最直接的量级基准。

预应力的截面初始效应可用轴力$N_p$及相对截面参考轴的弯矩$M_p=N_pe_p$描述；$N_p$单位kN，偏心距$e_p$单位m，$M_p$单位kN·m。该关系用于核对等效荷载或初始应变模型的总体效应。实际有效预应力、损失和二次效应必须与案例阶段数据一致。

10.4.6.5 步骤二：建立一维总体梁模型

以箱梁参考轴生成三维梁单元，控制节点至少设置在桥台、墩顶、跨中、变截面控制点、横隔板、预应力控制点和荷载路径变化处。网格划分既要表达几何和荷载变化，也要满足目标响应的收敛要求；等距细分不是唯一原则。截面表给出每个控制站的$A$、$I_y$、$I_z$、$J$和参考点，程序在区段内按明确规则插值。对薄壁闭口箱梁，扭转常数和剪切中心应由经核对的截面分析获得。

支座节点设置在实际支承中心，主梁参考轴与支座中心之间用偏置或刚性臂连接。A0、P1、P2和A3的纵横向自由度按案例边界表逐项定义，不用“一个固定、其余活动”的文字替代自由度表。先施加六个单位作用检查约束，再施加自重检查反力。温度试算用于发现多余纵向约束；横向单位力用于检查横向固定支点；扭矩工况用于检查两侧支座反力偶。

施工阶段依次表示节段或梁段形成、预应力张拉、临时支承变化、合龙、二期恒载和成桥状态。每阶段输出结构重量、累计竖向反力、墩顶弯矩、跨中位移及预应力增量。模型同时运行“成桥一次加载”的对照工况，通过差值说明路径依赖，而不把简化工况混入最终阶段结果。

车辆工况在一维模型中先沿桥轴或指定车道中心移动，提取跨中弯矩和支点剪力影响线。车辆每个轴重及轴距均保留来源，车位坐标与响应共同输出。细化位置步长后若控制车位和极值趋于稳定，才能形成包络。此层的车辆横向位置通过等效分配或偏心扭矩表示，不能用于得出局部桥面板应力。

10.4.6.6 步骤三：梁格或空间壳模型

为研究偏载，建立纵向主梁—横梁梁格，或建立箱梁板壳空间模型。梁格纵梁代表箱梁纵向弯曲和扭转刚度，横梁代表横向分配；两者的等效宽度与刚度必须有截面或板理论依据。空间壳模型则显式建立顶板、底板和腹板中面，横隔板按目标问题决定是否建模。两类模型均与一维总体模型在对称恒载下比较总反力、跨中位移和关键截面合力。

横向分配计算以车辆横坐标$y_v$为变化参数。当$y_v=0$且结构与支承对称时，左右支反力和响应应对称；车辆向一侧移动时，近侧响应通常增大并伴随扭转。把各次计算整理为一组对照图：标出车辆位置、截面变形、各纵向路径反力和$T=Pe$量级线。这是本节空间模型的结果整理任务，前面的截面构形实验不提供这些计算。对车辆跨越网格边界的全过程，轮载分配保持合力和一阶矩，并用固定色标比较响应。

空间模型网格在支点、横隔、集中作用和几何突变处局部加密，在规则区保持逐渐过渡。粗、中、细网格分别比较全桥位移、截面合力、横向分配系数和局部壳内力。若节点最大应力不收敛而截面合力稳定，应判断是否存在点载、点约束或尖角奇异，不以节点平滑值替代工程评价。

10.4.6.7 步骤四：中墩与支座区局部模型

在P1附近截取包含变截面段、横隔板和足够过渡长度的壳局部模型。总体梁模型在截断面给出的$N,V_y,V_z,T,M_y,M_z$映射为边界位移或分布面力，并检查合力和合矩守恒。截断面向外移动后，关注区内板壳力和热点应力变化应处于预定容许范围，才能说明边界离关注区足够远。

若Q4涉及支座承压、锚固块或横隔开孔三向传力，再建立实体子模型。材料可先采用线弹性获得应力扩散和网格需求；若进一步研究混凝土开裂、接触或钢筋，应明确本构、界面、初始状态和试验依据。实体模型的边界来自已验证的总体或壳模型，不能直接在切割面施加一个未说明分布的集中力。

局部结果采用路径、区域或截面表达。壳模型输出单位长度膜力和弯矩；实体模型输出应力分量、主应力和接触量。跨模型比较时先积分为共同的截面合力，再比较局部场。可视化中同时显示局部坐标和结果位置，并将“未经网格和边界敏感性验证的单点峰值”标为待审查。

10.4.6.8 步骤五：组合、设计接口与证据包

作用组合从结构化组合表读取。每个控制结果记录极限状态、阶段、组合ID、车辆位置、结构位置和正负号。总体梁模型向截面设计提供$N$、$V$、$T$、$M$及相应同现组；空间模型提供横向分配和扭转修正；局部模型提供板件或构造区的局部效应。承载能力和正常使用验算在相应设计章节完成，本章不以有限元应力颜色直接替代承载力、裂缝或变形判定。

最终证据包包括：分析需求表；参数与来源台账；手算基准；一维总体模型；空间或梁格模型；局部子模型；施工阶段表；组合表；验证与确认矩阵；网格、位置步长和必要的时间步敏感性；关键结果表；未决事项和适用边界。学生提交一张“模型升级图”，用箭头说明上一层输出如何成为下一层输入，并对每次升级回答“新增了什么物理机制、改变了哪个结论、付出了什么计算和数据成本”。

10.4.6.9 其他桥型的模型升级（选读）

连续箱梁的基本案例完成后，可选择下列一个对象深化，无需同时建立四套全桥精细模型。

每次升级先说明原模型不能回答什么，再增加相应自由度与有来源参数。梁、壳、索与局部实体之间保持构件对应、坐标和力矩基准。空间模型升级后仍核对原有整体合力与位移，再判断新增局部响应是否可信。

10.4.7.1 一个实验只验证一个主要因果关系

每次实验只改变一个主要因素。例如，改变偏载位置研究扭转，改变网格尺寸研究离散误差，改变基础刚度研究支点位移。记录控制响应与平衡检查量，再解释结果变化。随后组合两种参数变化，比较它们是否相互加强或抵消。

10.4.7.2 基准数据、故障数据与开放探索

先计算一个参数齐全、具有解析解的基准模型，再故意改变一个支点、一个连接或一种单位，比较反力与变形。错误定位后恢复基准，最后研究跨径、截面和支承刚度对响应的影响。每次只改变一种因素，便于辨认因果关系。

10.4.7.3 计算书的组织与复核

计算书应包含受力简图、输入参数、单元与边界、荷载、控制结果及独立核对。对同一问题比较不同网格时，保持材料、几何和荷载不变；比较不同结构方案时，说明同时变化的自重和刚度。

10.4.7.4 结果图的读法与比较

内力图须标明构件局部轴、单位和正负号；位移图须标明变形放大倍数；应力图须区分积分点、节点平均值与截面平均值。比较不同模型时采用相同色标，并配列关键数值。这样可以把图形变化与真实物理量联系起来。

10.4.7.5 模型结果与独立依据

解析梁和小矩阵给出反力、位移与量级基准。有限元与基准的差异需要对应到荷载、边界、离散或新增物理机制；这些差异说明模型的适用范围，也为下一次参数修改提供依据。计算报告保留输入、关键推导、结果与校核之间的联系。