9  桥梁动力学与抗风抗震设计

9.1.1 先看整座桥怎样动

桥面两侧同向升降表现为竖向弯曲，反向升降表现为扭转，水平运动还可能形成侧弯。下图把三维形态与同一时刻的测点记录对应，振型节点附近的这一阶位移很小。频率表示运动多快，振型表示各处怎样一起动，振幅表示实际动了多少。

单独打开桥梁振型与测点实验。这里的桥面运动采用预设教学振型，塔与主缆未参与完整的耦合模态求解，拉索随桥面连接点显示；画面放大只帮助辨认形态，不改变结构频率，也不代表实桥位移。具体振型与频率应由给定结构模型计算或由监测识别。

把画面暂停，在几个测点记录同一时刻的位移，再除以某个非零参考值，就得到一列相对数值。它是理解振型向量的入口；第2章特征问题提供矩阵语言，下面用连续桥梁解释这些比例怎样形成共同运动。测点恰好位于某阶节点时，这一阶可能几乎测不到，不能因此判断整桥没有振动。

9.1.2 看运动，再判断它为什么发生

下面前两种是基本响应，其余四种是风致现象：它们不是六个互斥的分类。抖振可看作随机外力引起的受迫振动，驰振和颤振属于自激现象，涡振需要考虑尾流与结构之间的反馈。竖弯、侧弯、扭转说的是怎样动；自由、受迫、自激说的是为什么动。 一段扭转视频本身不能证明发生了颤振。

切换振动类型，旋转桥梁观察桥面厚度、两侧高差和支点，再拖动时间游标，对照同一时刻的形态与曲线。先比较输入是否持续，再看包络衰减、维持还是增长，最后寻找相位、频率和风速区间的证据。概览中的风致曲线是机制示意；本章后续的涡振流固耦合、同输入控制和地震反应谱各自采用注明条件的计算模型。

9.1.3 从一个桥面位移开始

取桥面一个可见的控制点，其位移记为 $u$。在单一模态占主导、且该点振型归一化为1时，$u$ 可作为该模态的运动坐标；质量分布与各构件刚度按同一振型汇集成等效质量、刚度与阻尼。它们描述真实桥梁的共同运动，不要求桥上存在一根实物弹簧。以对应静平衡为位移零点，固定支点的线性关系为

$$m\ddot u+c\dot u+ku=p(t).$$

这里 $m$ 是质量，$k$ 是位移每增加一单位所增加的恢复力，$c$ 是速度每增加一单位所增加的黏滞阻力。惯性项、阻尼项与刚度项的单位均为N，右端也是N。质量不能直接用以kN表示的重量代入；若已知重量 $W$，须先由 $m=W/g$ 换算。

撤去外力后，质量与弹性恢复力使运动继续，阻尼使振幅逐渐减小。无阻尼固有圆频率 $\omega_n$、频率 $f_n=\omega_n/(2\pi)$、周期与阻尼比为

$$\omega_n=\sqrt{k/m},\qquad T_n=2\pi\sqrt{m/k},\qquad \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}.$$

增加质量或减小刚度会延长周期；增大阻尼主要改变衰减和共振附近的幅值。桥梁的质量、边界和刚度随施工阶段改变，成桥周期不能直接代表最大悬臂阶段的周期。

9.1.4 风作用与地震输入进入方程的位置

风在桥面上形成表面力。地震则首先使桥梁支点运动，质量因惯性而产生相对运动。先用单自由度集中质量教学模型，令支承沿同一方向作运动 $u_g(t)$，质量的绝对位移为 $x=u+u_g$，桥面相对随地面运动参考系的位移为 $u$。从绝对坐标中的平衡出发，移项可得

$$m\ddot u+c\dot u+ku=-m\ddot u_g(t).$$

这里的 $u$ 是集中质量相对支承的平移，不是任意全桥模态坐标。左端与前式相同，右端却是地面加速度产生的等效惯性激励；推广到全桥模态还需振型参与系数。风的外力时程与地震的地面加速度时程不能只改一个单位就互相替代。

本表分别讨论不同输入，不规定风和地震必须同时组合。多支点地震输入、非线性支座或运动反馈显著时，应扩展相应模型。

9.1.5 同一桥面运动的三种来源

下方共振实验直接并列同幅荷载和桥面响应，继而区分风力输入、运动反馈和地震支点输入；地震输入与结构模型直接显示地面与桥面的同步运动。

9.1.6 衰减记录怎样给出频率与阻尼

桥面在一次初始扰动后自由衰减，同一测点的相邻同向峰值间隔为 $T_d$，相应有阻尼频率为 $f_d=1/T_d$；相隔 $N$ 个完整周期的正峰值为 $A_j$、$A_{j+N}$。在线性、欠阻尼、自由衰减且单一模态主导的条件下，

$$\delta=\frac1N\ln\frac{A_j}{A_{j+N}},\qquad \zeta=\frac{\delta}{\sqrt{4\pi^2+\delta^2}},\qquad f_n=\frac{f_d}{\sqrt{1-\zeta^2}}.$$

例如连续正峰间隔2.0 s，5个周期后幅度由10 mm降至5 mm，则 $\delta=\ln2/5\approx0.1386$，$\zeta\approx2.21\%$，$f_d=0.50$ Hz，$f_n\approx0.5001$ Hz。把初始位移加倍，线性模型的频率与阻尼比不应改变；若改变，应检查非线性、测量噪声和多模态叠加，而不是直接把所有差异归因于阻尼。

持续受风时的峰值既受外部输入也受结构耗能影响，不能直接套这个自由衰减公式。拍振也会形成忽大忽小的包络；先看是否混入邻近频率，再决定能否用单一指数衰减拟合。

从本节带走的方法。 用周期识别节奏，用包络识别耗能，再用独立的输入记录检查解释。观察到大振幅只是问题的起点；共振、自激增长与多模态拍振需用不同证据区分。

9.1.7 相同幅值的荷载，不同频率的响应

周期荷载有两个独立条件：用力多大、每秒重复几次。下图左边给出输入荷载，中间是三座相同桥梁的连续变形，右边给出桥面跨中的位移；三组只改变荷载频率。下方幅频曲线把各个频率对应的稳态位移幅值汇总在一起。

三组共同采用40 m均匀简支桥的一阶竖弯形态，固有频率 $f_1=1$ Hz，即每秒完成一次固有振动。上方滑块分别调整三组共同的荷载幅值 $Q_0$、中组的荷载频率 $f$和共同的阻尼比；也可直接拖动幅频图选频率、拖动时程图选时刻。图中位移采用同一放大倍数，数值和曲线纵轴保留真实差别。

频率比 $r=f/f_1$ 没有单位。 $r=0.5$ 表示荷载变化的频率只有该阶固有频率的一半；$r=1$ 表示两者相同；$r=4$ 表示荷载重复得快四倍。它不是时刻，也不是风速。风的周期气动力、行人步频、规律性车辆作用都可能包含周期成分；是否明显激发某阶振动，还要看荷载分布是否能有效激发该振型，以及阻尼大小。

默认三组荷载频率为0.5、1.0、1.5 Hz。每组的广义荷载幅值均为10 kN，阻尼比5%；稳态跨中位移幅值分别约3.370、25.330、2.012 mm。荷载没有变大，接近固有频率的桥却动得更大。 将阻尼比提高到10%，1 Hz处的幅值降到12.665 mm。超过共振附近的频率范围后，继续增大荷载频率也不会使响应一直增大。

图中的幅值 $U$ 是稳态往复运动的最大偏移，时间游标显示的 $u(t)$ 是当前值，两者应分开读。图后用一行关系计算幅频曲线：

$$\frac{U}{u_{\mathrm{st}}}=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\qquad r=\frac f{f_1}.$$

这里的一阶振型取跨中值为1，故 $u(t)$ 就是一阶模态坐标，也就是该模态的跨中位移。线质量 $\mu=5$ t/m，换算后的一阶质量为 $m_1=\mu L/2=100$ t，不是把整桥质量都集中到跨中；一阶刚度 $k_1=m_1(2\pi f_1)^2=3947.84$ kN/m。默认 $Q_0=10$ kN时，静力标尺为 $u_{\mathrm{st}}=Q_0/k_1=2.533$ mm。

页面的竖向分布荷载为 $p(x,t)=(2Q(t)/L)\sin(\pi x/L)$；默认 $Q_0=10$ kN时，其峰值强度为0.5 kN/m，按一阶振型加权积分后得到 $Q(t)$。因此10 kN是本模态的广义荷载幅值，不是整桥荷载合力。采用这组分布是为了清楚比较同一振型的响应；真实风、行人和车辆的空间分布需另行输入。

小阻尼下位移幅值的峰点略低于 $f_1$，图中另行标出。无阻尼且恰好共振时没有有限稳态幅值；本页采用非零阻尼，只显示过渡衰减后的稳态。随后把这一共同模型用于随机风、多阶响应及减振装置。

同一标尺下的阻尼—幅频静态图

图示条件：线性单自由度，简谐力恒幅；已达稳态，不是启动瞬态；ζ>0；忽略非线性。图源：课程组绘制。

9.2.1 从一阶到四阶：形态固定，幅度随时间改变

下图用同一座均匀简支梁比较前四阶竖弯。切换阶次，观察跨中是否为节点；再移动测点，比较同一时刻的正负与比例。灰色极限线表示振型，彩色梁表示当前位移；桥梁经过原位时，振型并没有消失。

本图的频率比1∶4∶9∶16来自均匀简支Euler—Bernoulli梁；弯曲、剪切、轴力、支承和塔索耦合改变后，应重新求解。图中调整一阶频率等价于在质量和跨度不变时调整均匀抗弯刚度，并非调节视频播放速度。

9.2.2 多自由度与模态

全桥动力方程为

$$\mathbf M\ddot{\mathbf u}+\mathbf C\dot{\mathbf u}+\mathbf K\mathbf u=\mathbf F(t).$$

在梁上取多个位置，每处位移都会影响相邻位置的内力。质量矩阵描述各自由度的惯性关系，刚度矩阵描述位移与恢复力的联系；一个自由度的变化通常不会只影响自身。忽略阻尼和外力后，求解 $\mathbf K\boldsymbol\phi_i=\omega_i^2\mathbf M\boldsymbol\phi_i$（矩阵含义见第2章），得到频率与振型，就能找出这些位置可以共同维持的运动形态。

$\omega_i$ 为第 $i$ 阶固有圆频率，$\boldsymbol\phi_i$ 为振型。桥梁可能具有竖弯、侧弯、扭转、桥塔和拉索局部模态。振型是全桥空间运动形态，单个测点频谱不能完整确定振型。

9.2.3 从许多测点到少数模态坐标

沿桥31个测点在单阶振动中共享同一节奏，幅值与正负随位置改变：一个固定的空间比例 $\phi_1(x)$，乘上一条共同的时间函数 $q_1(t)$，便能生成各点时程：

$$u(x,t)=\phi_1(x)q_1(t).$$

这里把振型 $\phi_1$ 的最大绝对值归一化为1，因此它无量纲；$q_1$ 和位移 $u$ 都用 m。若某点 $\phi_1=-0.5$，某时刻 $q_1=0.008$ m，则该点位移为 $-0.004$ m。振型整体乘以2、模态坐标同时除以2，物理位移不变；交换模态数据时必须同时说明归一化。

均匀简支Euler—Bernoulli梁的振型为 $\phi_j(x)=\sin(j\pi x/L)$，频率满足 $f_j=j^2f_1$。第二阶的跨中振型值始终为零，两侧异号。它与“某一瞬间所有点恰好过零”不同：前者是振型节点，后者是模态坐标的瞬时零值。对于同一实模态，振型同号区域同相，异号区域反相。

当多阶同时被激发，需在同一位置、同一时刻相加：

$$u(x,t)\approx\sum_{j=1}^{r}\phi_j(x)q_j(t).$$

逐阶形态仍各自固定，合成形态却随时间变化。31是记录数量，不是结构自由度数；有限元自由度由独立构形坐标及约束决定。只含给定单阶的教学运动可由一个 $q_j$ 精确表示；一般实桥只保留有限阶是截断近似，应按荷载频带和目标响应检验保留阶数。

同阶各测点的时程通过振型比例联系。下图选第二阶时，跨中为节点、四分点有明显运动；加入其他阶后，同一测点的位移由各阶贡献相加。空间曲线标出位置，时间曲线标出时刻，不把一张振型图当作实际振幅。

单独打开振型与模态课堂

9.2.4 从哪里推，在哪里看

取沿跨线荷载 $p(x,t)=g(x)p(t)$。$g(x)$ 无量纲，描述荷载作用位置；$p(t)$ 用 N/m，描述时间变化。对无量纲振型，有

$$G_j=\int_0^L\phi_j(x)g(x)\,\mathrm dx,\qquad Q_j(t)=G_jp(t),$$

其中 $G_j$ 用 m，广义力 $Q_j$ 用 N。在经典阻尼、线性小振动条件下，各模态满足

$$M_j\ddot q_j+C_j\dot q_j+K_jq_j=Q_j(t).$$

对于简支梁第二阶，全跨同向均布荷载有 $G_2=0$，这是“推法没有激发该阶”；无论荷载放在哪里，跨中均有 $\phi_2(L/2)=0$，这是“观察点看不到该阶位移”。把局部荷载移到四分点，再把测点移到四分点，才能同时避开这两种零贡献。

在模态课堂的“05 荷载、阻尼与响应”中，依次只改变荷载强度、峰值频率、作用位置、观察位置和阻尼。输入为带限的教学随机线荷载，不是桥位实测风速；峰形谱不等同于Kaimal或Davenport风谱。改变谱形时保持总RMS一致，才能比较能量集中在哪一段频率所产生的影响。

同一荷载可以同时激发多个模态，测点位移由各模态在同一时刻相加。随机荷载响应还受输入频率分布与各阶相位关系影响。完整公式放在下方“模态频域计算选读”；先读后文风谱的直观说明，再回到这里可把时程与频域联系起来。

9.2.5 能量观点

一周期内，外部或运动相关气动力输入能量，结构阻尼消耗能量。若运动相关气动力的净输入超过结构耗散，振幅会增长。能量观点把共振、阻尼和颤振区分开：共振可以由外部周期力持续输入；颤振则包含结构运动对气动力的反馈，气动阻尼在临界状态之前就可能为负；在线性振荡模态仍存在时，气动供能恰好抵消结构耗能、总模态阻尼降至零才是相应的临界状态。

补充观察：风力做功与振动能量

风力做功与能量变化。 从同一个小扰动开始，对照“不持续输入”和“顺着运动输入”。当风力与速度同向时，瞬时功率为正；输入能量持续超过阻尼耗散时，振幅增长。此处用单一竖向自由度演示能量关系，真实桥梁颤振还需研究弯扭耦合及气动力反馈。

9.2.6 约化参数与量纲一致性

气动弹性结果常用无量纲参数表达。以桥面宽度 $B$ 为参考尺寸时，约化频率和约化风速可分别写为

$$K=\frac{\omega B}{U}, \qquad U_r=\frac{U}{fB}=\frac{2\pi}{K}.$$

$K$、$U_r$ 均无量纲。研究拉索或钝体涡振时，也常以直径或高度 $D$ 代替 $B$。因此“约化风速为8”只有在说明特征尺寸和频率后才完整。

质量—阻尼参数可用Scruton数表示。这里采用FHWA拉索风致振动报告附录C的定义

$$Sc=\frac{\mu_l\zeta}{\rho D^2},$$

其中 $\mu_l$ 为单位长度质量，单位为 kg/m；$\zeta$ 为阻尼比；$\rho D^2$ 同样具有 kg/m 的量纲，故 $Sc$ 无量纲。文献也可能用对数衰减率或不同常数定义质量—阻尼参数，比较试验结果前应统一定义，不应只比较数值大小。

9.2.7 从单点频谱到模态证据

某测点出现清晰谱峰，只能说明该点在相应频率附近存在显著响应。识别全桥振型至少需要多个同步测点的幅值和相位；识别扭转运动，需要比较桥面两侧测点的反相程度；识别索振，还需区分局部索模态与全桥模态。阻尼可由自由衰减、随机减量、频响函数或系统识别获得，不同方法的估计偏差应进入结果说明。

9.2.8 例9-1　同一周期力为何产生不同振幅

将一阶竖弯模态化为单自由度系统，振型按所考察控制点位移归一化为1。取广义质量 $m^*=2.0\times10^6\ \mathrm{kg}$、频率 $f_n=0.40\ \mathrm{Hz}$、阻尼比 $\zeta=0.02$，谐波广义力幅值 $P_0=20\ \mathrm{kN}$。分别取激励频率 $f=0.20$ Hz和0.40 Hz，求该控制点的稳态位移幅值。

解。 $\omega_n=2\pi f_n=2.513\ \mathrm{rad/s}$，模态刚度 $k^*=m^*\omega_n^2=12.633\ \mathrm{MN/m}$，静力位移幅值为 $P_0/k^*=1.583\ \mathrm{mm}$。取频比 $r=f/f_n$，稳态动力放大系数为

$$\mathrm{DAF}(r)=\frac1{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.$$

当 $r=0.5$，$\mathrm{DAF}=1.333$，位移幅值约 $2.11\ \mathrm{mm}$；当 $r=1$，$\mathrm{DAF}=25$，位移幅值约 $39.6\ \mathrm{mm}$。共振附近振幅对阻尼很敏感。上述比较采用给定外力与线性结构，适合说明受迫振动；颤振分析还须计入随结构运动变化的气动力，不能把此放大系数直接用作颤振判据。

9.3.1 从桥位风到结构响应

一座桥的抗风分析要经过三个环节：先描述桥位的风，再把风转换为桥面、塔和索上的气动力，最后求结构运动。平均风产生静态偏移，脉动风产生随机外激励，结构运动还可能反过来改变气动力。三者可以同时存在，应分别明确来源。

将同一时间窗口内的风速写为 $U(t)=\overline U+u'(t)$，其中脉动均值为零，湍流强度为 $I_u=\sigma_u/\overline U$。两段记录即使平均风速相同，脉动的大小、主要频段及沿桥同步程度也可能不同。桥面高度、平均时距、风向与地形必须与采用的设计风速和试验资料对应。

“百年一遇风速”描述选定风速指标的年超越概率，并不意味着风每百年才来一次。若采用独立、平稳的年最大值模型，$T=100$年对应 $p=0.01$，50年内至少超越一次的概率为 $1-0.99^{50}\approx39.5\%$。洪峰流量与地震动也涉及尾部概率，但统计变量、资料及模型各不相同，详见重现期与极值统计。

9.3.2 平均风力与静风平衡

取 $x$ 沿桥轴、$y$ 横桥向、$z$ 竖直向上。对于水平横向来流，桥面单位长度阻力、升力和绕桥轴力矩可写为

$$q=\tfrac12\rho U^2,\qquad D'=qHC_D,\qquad L'=qBC_L,\qquad M'=qB^2C_M.$$

这里 $B$ 为桥宽，$H$ 为迎风参考高度，$D'$、$L'$ 用N/m，$M'$用N·m/m。参考尺寸与系数定义必须成套使用。风速翻倍且其余条件不变，三分力变为4倍；结构振幅还要经过动力响应计算，不能随之直接乘4。

9.3.3 风致振动机理与气动稳定

看到桥面起伏的视频，先记录振动方向、频率以及振幅随风速的变化。相似的画面可能来自不同机制，仅凭晃动幅度很难判定是哪一种风致振动。

风致现象应先按“输入是否随机、气动力是否由结构运动反馈、响应是否局限于一段风速、评价量是峰值还是稳定边界”分类，再选择计算或试验方法。

表中的“典型表现”用于辨识，不替代项目判据。例如非线性涡振可能出现多稳态和滞回；单自由度扭转颤振与耦合颤振的模态特征也不同。

9.3.4 抗风措施与施工运营控制

一座桥在某段风速下发生明显振动，可以增加阻尼，也可能需要调整桥面气动外形。比较措施之前，先确认要控制的是哪种振动、哪种构造状态和哪个响应量。

抗风措施分为结构措施、气动措施和机械控制。结构措施改变质量、弯曲或扭转刚度和频率；气动措施改变截面周围流动，如开槽、导流板、稳定板、风嘴或栏杆优化；机械措施增加阻尼或控制力，如黏滞阻尼器、调谐质量阻尼器和拉索减振器。

措施选择先明确所针对现象。增加阻尼可能有效降低共振或涡振峰值，却不能自动解决所有颤振问题；加大刚度改变频率、振型与气动稳定条件，通常还改变材料量和自重；地震需求的增减须由更新后的质量、周期及所处反应谱区段判断；气动构造可能改善一个攻角，却需检查其他风向及施工阶段。比较措施时应写明所控制的振动类型、改变的参数及试验或计算结果，并注明适用风向和结构状态。

9.3.4.6 从论文结果读出研究方法

研究怎样做	原始结果	可以带走的判断
桁架加劲梁节段风洞：比较中央开槽、裙板、固定翼板与攻角	研究中开槽与弦杆处翼板的组合表现最好，单一措施并非对所有攻角有效	改形要做一组工况，不能只展示正攻角的一条好曲线。13
主动翼面节段风洞：固定均匀来流、0°攻角，改变反馈相位；双翼增益 $G=2$	有利相位的临界颤振风速最高提高17.3%，不利相位降低14.8%	“何时转”可以改变效果方向；这是特定模型试验，不是足尺桥通用提升率。14
2025年TMDI模型与现场试验：3 t装置控制某大跨斜拉桥第一竖弯模态	质量比0.466‰，该模态阻尼比由0.198%升至0.585%；模型试验发现摩擦与齿隙影响	测得的是阻尼提升，不能直接换成位移降低百分比。TMDI含惯容元件，此处只作普通TMD之后的研究进展。15
MR半主动TMD数值研究：改变涡振响应频率，并限制装置行程	该研究中对失谐更稳健，行程保持在设定限值内	结果来自数值算例；应继续检验实际可实现控制力、时滞与断电工况。16

图按论文报告数值重新绘制。左图基准是同一节段的无控制临界风速，右图是目标模态阻尼比；不在两图之间比较“谁更有效”。这也是读论文的基本顺序：先找对象和基准，再找所测量的物理量，最后看结论能推广到哪里。

9.3.4.8 施工阶段与运营监测

裸塔、大悬臂、未合龙梁段、猫道和主缆架设阶段的刚度、阻尼及气动外形与成桥不同。施工期虽短，也可能遭遇强风。施工组织应规定临界作业风速、停工条件、临时拉索或支承、设备固定和预警流程；专项分析覆盖最不利暴露状态。

运营监测可记录风速风向、桥面加速度、位移、应变、拉索振动和温度。数据解释先校核传感器、采样率、时钟和缺测，再由频谱、振型与阻尼辨识现象。报警阈值需要结合正常环境基线和工程限值，不能把单点峰值直接等同于结构异常。

施工与运营阶段的构造、约束和质量会改变频率与风致响应。一次监测比较至少保留同一时段的风、结构响应与构造状态；安装装置前后还应核对风况是否可比。

选读：施工阶段清单、监测字段与运行评价

9.3.4.8.1 施工阶段抗风状态表

施工期抗风首先建立阶段清单，而不是直接套用成桥模型。建议至少包括：

1. 独立桥塔达到最大自由高度；
2. 最大单悬臂或双悬臂尚未合龙；
3. 斜拉桥某侧索未张拉或张拉不同步；
4. 悬索桥猫道、主缆、吊索和首个梁段安装；
5. 加劲梁架设至最不利不对称长度；
6. 临时支承拆除与体系转换；
7. 栏杆、风嘴、导流板和铺装尚未形成最终断面；
8. 吊机、架桥机、挂篮、临时平台和材料堆载处于工作或停放状态。

每个阶段记录持续时间、可能季节、结构几何、边界、质量、阻尼、频率、气动外形、临时措施和允许工况。若阶段持续时间很短，可以采用相应概率水平的施工期风速，但具体取值仍由现行标准和项目风险确定；不能因为“只持续数天”便省略抗风分析。

临时拉索或支承既可能提高某方向刚度，也可能引入新的局部模态或不利约束。停工风速应与测风位置、平均时距、阵风换算和设备制造商限制相一致。现场预警至少形成“测量—转换—阈值—责任人—动作—恢复条件”的闭环。

9.3.4.8.2 监测系统与数据质量

抗风监测可分为环境、结构响应和状态信息三组。

信息组	典型测量	单位或数据形式	主要用途
环境	三维风速、风向、温度、气压、降雨	m/s、角度、°C、Pa、mm	风场统计、风雨振辨识和空气密度修正
总体响应	加速度、位移、倾角、应变、支座反力	$\mathrm{m/s^2}$、m、rad、应变、kN	模态、抖振、涡振、静风与疲劳
局部状态	索力、阻尼器行程、锚固振动、视频	kN、mm、$\mathrm{m/s^2}$、影像	拉索与控制装置性能
运维状态	交通、栏杆状态、检修车位置、施工活动	事件与时间戳	排除运营条件变化造成的混淆

数据质量检查包括量程、灵敏度、采样率、同步误差、漂移、缺失、异常跳变和传感器姿态。低频静风位移与高频索振需要不同传感器和采样设置。频谱出现峰值时，应排查采样混叠、设备自振和电源频率等非结构信号。

9.3.4.8.3 事件识别与报警

建议采用三级判读。第一层检查原始数据和设备状态；第二层提取10 min平均风、湍流强度、响应均方根、峰值、主频和阻尼；第三层与温度、交通、风向和历史基线联合分析。只有当环境输入、空间响应和模型预测相互支持时，才将事件解释为具体风致现象。

报警阈值可包含设备阈值、运营舒适性阈值、构件性能阈值和气动稳定安全阈值。不同阈值对应不同处置，如检查传感器、限制交通、停工、现场巡检或启动专项分析。教材案例不自行规定工程报警数值，而给出阈值制定所需的证据字段。

9.3.4.8.4 控制装置的运行评价

阻尼器或调谐装置安装后，需要比较装置启用前后在相近风况下的响应，并结合模型修正风速、风向和交通差异。评价量包括等效阻尼、峰值响应、累计疲劳、装置行程、温度和维护记录。若只选择一次有利事件比较，可能把风况差异误判为控制效果。

参考资料

数据管理参考。 NOAA National Centers for Environmental Information, Integrated Surface Database：https://www.ncei.noaa.gov/products/land-based-station/integrated-surface-database；Station Histories：https://www.ncei.noaa.gov/products/land-based-station/station-histories。页面用于数据字段和质量控制方法参考。

参考资料

平均口径参考。 U.S. National Weather Service, ASOS Wind Sensor：https://www.weather.gov/asos/WindSensor.html。该页面用于说明观测系统的平均与更新口径会影响数据含义，不作为我国桥梁设计风速取值依据。正式出版若使用示意截图需按网页许可办理，本章仅文字转述并保留链接。

图示条件：示意模态形状，无特征值求解；小转角且横截面近似刚体；非畸变截面；没有声称现实模态均为纯弯/纯扭。图源：课程组绘制。

参考资料

拉索参考。 Federal Highway Administration, Wind-Induced Vibration of Stay Cables, FHWA-HRT-05-083：https://www.fhwa.dot.gov/publications/research/infrastructure/bridge/05083/；Design Guidelines章节：https://www.fhwa.dot.gov/publications/research/infrastructure/bridge/05083/chap4.cfm。正式出版不复制网页照片和报告图，若需采用数据或图表应逐项核对权利和引用要求。

参考资料

CFD验证确认参考。 NASA Turbulence Modeling Resource：https://www.nasa.gov/nasa-turbulence-modeling-resource/；ASME关于V&V标准框架的公开说明：https://www.asme.org/getmedia/86af3020-b2e6-47ba-838a-200a1a897287/33929.pdf。这些资料用于术语和流程参考，不构成桥梁设计标准。正式出版如需复制表图须核对许可，本章均为重新组织的文字和自建公式示意。

9.4.1 性能目标与设计情景

抗震设计先确定桥梁类别、地震水准、预期损伤部位、震后功能和可接受恢复时间，再选择分析方法。性能目标可用“作用水准—构件状态—全桥功能—恢复要求”矩阵表达。常遇地震下通常关注基本运营和可修复损伤，较强地震下关注可控非线性、落梁防护与生命安全；具体分级、设防标准和验算指标必须回查项目采用的现行规范。

同一座桥在纵桥向、横桥向和竖向可能具有不同传力路径和控制构件。性能目标应落实到构件和连接，避免仅写“满足抗震要求”。例如延性墩柱、弹塑性支座、限位装置和基础分别承担不同功能；若预期塑性部位改变，其余构件的能力保护需求也随之改变。

9.4.2 地震动的概率水平

抗震危险性描述场地地震动指标超过某水平的可能性，例如峰值地面加速度或指定周期的谱加速度。它不同于某震级地震发生的概率，也不同于桥梁损伤概率。在平稳泊松近似下，若某地震动水平的年超越率为 $\lambda$，$n$年内至少超越一次的概率为 $1-e^{-\lambda n}$。

例如仅作为统计换算，若给定“50年内超越概率10%”，则 $\lambda=-\ln(0.9)/50\approx0.002107$ 年⁻¹，其倒数约475年。这个例子没有为本教材所有桥梁指定设防水平；项目应由桥梁类别、性能目标和适用规范确定输入。概率模型与年最大值口径的区别见重现期与极值统计。

9.4.3 地震输入与结构模型

地面与桥面可以同时向右移动，却移动不同的距离；这部分差值才是相对运动。下图直接在梁桥上把三者对应：地面位移 $u_g$、桥面绝对位移 $x$，以及 $u=x-u_g$。墩与支座的变形来自相对运动，惯性则由绝对加速度决定。

第3章已经用正弦支点运动区分了地面和桥面的移动，这里用一整段加速度记录继续计算；正弦图保持相同地面位移幅值时，加速度会随频率平方改变，不能当作同强度地震比较。

地震作用从场地条件和设计地震动开始。模型质量矩阵 $\mathbf M$、刚度矩阵 $\mathbf K$ 和阻尼矩阵 $\mathbf C$ 决定动力方程

$$\mathbf M\ddot{\mathbf u}+\mathbf C\dot{\mathbf u}+\mathbf K\mathbf u =-\mathbf M\mathbf r\ddot u_g(t),$$

这里的 $\mathbf u$ 是相对地面随动参考系的位移，$\ddot u_g(t)$ 为一致输入情况下的地面加速度，$\mathbf r$ 把该方向的地面运动映射到结构自由度。对单自由度集中质量教学模型，质量的绝对位移为 $x=u+u_g$；因此惯性项来自 $m(\ddot u+\ddot u_g)$，结构的弹性恢复与阻尼项则分别来自相对位移与相对速度。把地面加速度项移到右端，就得到 $m\ddot u+c\dot u+ku=-m\ddot u_g$。

用两个同时刻位置核对。若墩底与桥面沿同一方向分别移动20 mm和50 mm，二者相对位移为30 mm；等效结构恢复力由这30 mm决定。测得桥面的绝对加速度时，则还包含地面加速度，不能与相对加速度混用。多支点输入须分别给出各支点运动，不能把不同步的地面运动都写成一个 $u_g$。

空间桥梁需考虑纵、横和竖向分量以及支点输入方向。长联、大跨和地质变化显著的桥梁可能需考虑多点输入、行波效应和局部场地差异。

质量来源应可追溯，包括结构自重、桥面附属和规范规定参与地震反应的其他质量。支座、伸缩缝、限位、阻尼器和基础柔度会显著影响周期与位移，不能在静力模型中精细建立、在动力模型中又简化为完全固定而不说明。

9.4.4 一条地震记录，三种互相对应的读法

地震条带把按时间排列的加速度压成一条色带：颜色区分正负，深浅表示大小。展开同一条带，就得到 $a_g(t)$ 时程；输入结构模型后，才得到桥面相对位移 $u(t)$ 和绝对加速度 $\ddot u+a_g$。条带是记录的显示方式，不是震级、空间震害图或另一种地震指标。

三维画面可旋转观察梁、盖梁、双柱墩和支座。固定体系把柔度集中示意在墩柱，隔震体系集中在层状支座；两桥和地面位移使用同一放大倍率。拖动条带或定位响应峰值，画面与曲线停在同一时刻；该等效模型的位移不能直接当作某个真实支座的验算行程。

沿着游标看同一个时刻：输入正在向左加速，桥面仍可能向右运动；加速度与位移不是同一物理量。把游标移到输入最大处，再移到相对位移最大处，两者通常不重合。图中两条记录均为教学合成，保持同一PGA而改变快慢成分，输入24 s后继续计算12 s余振；不是以真实地震名称包装的模拟记录。

比较顺序是：先固定记录，改变周期；再固定结构，切换另一条同PGA记录。由此看见“地震峰值相同”并不能保证响应相同。真实记录还必须附事件、台站、分量、采样步长、单位、缩放与基线处理说明，分析时采用满足研究条件的一组记录。

9.4.5 一排振子各取一个峰值，才组成反应谱

选定同一条输入、同一个阻尼比，让许多周期不同的小振子分别接受这段输入。每个振子取整段响应的最大值，把它放到对应周期的位置，连起来就是反应谱。横轴是结构周期 $T$，不再是地震发生时间。它与把输入分解成不同频率成分的傅里叶谱不同。

$$S_d(T,\zeta)=\max_t|u(t)|,\qquad S_{pa}=\omega_n^2S_d,\qquad S_{aa}=\max_t|\ddot u(t)+a_g(t)|.$$

三个谱量分别是相对位移谱、伪加速度谱（PSA）、绝对加速度谱。对本线性模型，$mS_{pa}=kS_d$ 是弹性恢复力的峰值；$mS_{aa}$ 才对应质量的惯性力峰值。阻尼力存在时，两种峰值不能无条件当成相同值，尤其不能把高阻尼隔震图里的PSA直接标为桥面绝对加速度。19

图中两条谱曲线分别固定各自图例所示的阻尼比；只比较周期的影响时，沿同一条谱读数，或先把两组阻尼设成相同。图中用同一记录实际求解各周期的响应，不把预先画好的设计谱当作本条记录的计算结果。规范设计谱综合危险性、场地、阻尼与设计规则；单条记录的反应谱不能替代它。切换记录以后，周期与响应峰值的对应关系也会变化。

例9-3　由谱位移读出什么。 对 $T=1.0$ s、$\zeta=5\%$ 的线性振子，若 $S_d=50$ mm，则 $S_{pa}=(2\pi)^2\times0.050=1.974$ m/s²，约0.201g。若等效质量1000 t，则弹性恢复力峰值约1.974 MN。这个计算没有给出达到峰值的时刻，也没有给出残余位移；绝对加速度峰值需从相应时程另取。

9.4.6 从一个振子走向多振型桥梁

全桥分成若干模态，各阶按参与程度接受地震输入，再按规定组合峰值。两个模态各自最大值可能发生在不同时刻，不能直接当作同时发生的同号最大值相加。相近频率的模态还可能相关。初学时先掌握“分阶求解、峰值组合、检查参与质量”；参与系数和组合细节在下方按需阅读。

9.4.7 反应谱、线性时程与非线性时程的边界

时程分析的模型更复杂，并不意味着结果自动更可信。必须说明地震动来源、选择标准、方向、调整方法、谱兼容程度、持续时间和基线处理；说明墩柱、支座、阻尼器、碰撞和土—结构相互作用模型；检查积分步长、收敛、能量和结果离散性。若只选择一条给出较小响应的记录，不能作为设计结论。

9.4.8 延性与能力保护

延性设计允许规定构件在强震下进入可控非线性，通过塑性变形耗能，同时保护不希望发生脆性破坏的构件和连接。能力保护要求按可能形成塑性铰的实际超强弯矩确定相邻剪切、节点和基础需求，使预定延性机制先于脆性机制发生。

桥墩塑性铰区的截面、轴压水平、箍筋约束、纵筋锚固和搭接位置决定变形能力。支座、盖梁、桩基和防落梁装置需与预期机制协调。只完成弹性内力比较不能代替延性和构造设计。

单柱墩的最小能力保护计算。取墩底为预期塑性铰、墩顶近似铰接且水平力集中于墩顶的教学自由体，有效高度 $H_p=10$ m，墩底可能达到的超强弯矩 $M_o=12$ MN·m。忽略二阶效应及墩身分布惯性力，弯矩平衡给出

$$V_{\mathrm{demand}}H_p=M_o,\qquad V_{\mathrm{demand}}=1.20\ \mathrm{MN}.$$

允许的是墩底按预期形成塑性转动；应保护的路径包括墩身剪切、顶底连接与基础传力。不能仍用初次屈服弯矩代替 $M_o$ 来压低剪切需求。若上下两端均形成塑性铰，剪力关系须按两端弯矩与符号重新建立；实际设计还应计入轴力、二阶、分布惯性、强度取值与规范要求。本例只展示能力保护的平衡依据，不给出工程配筋。

9.4.9 减隔震与位移控制

图示条件：m相同；图中Sa按本例的伪加速度谱值理解，并非实际场地谱；线性谱等效示例，无滞回或多模态求解；作用箭头仅示方向，不能代替真实时刻的惯性力。图源：课程组绘制。

隔震装置降低体系水平刚度、延长周期；耗能装置增加耗散。周期与刚度的关系见本章共同动力模型。隔震方案应同时比较力与位移需求，不能仅依据周期变长判断效果。实际反应还取决于反应谱形状、装置非线性和多模态。设计必须同步核查伸缩缝、梁端碰撞、防落梁、管线和基础位移，不能只报告基底剪力降低比例。

对于稳定滞回循环，可用割线刚度和等效黏滞阻尼对装置进行教学性表征：

$$K_{\mathrm{eff}}=\frac{F_{\max}-F_{\min}} {d_{\max}-d_{\min}}, \qquad \zeta_{\mathrm{eff}}= \frac{E_D}{2\pi K_{\mathrm{eff}}d_{\max}^2},$$

上述阻尼式按以零位移为中心、幅值为 $d_{\max}$ 的对称稳定循环书写；非对称循环应明确循环中心与相应振幅。式中 $F_{\max}$、$F_{\min}$ 为循环端点力，单位为 N或kN；$d_{\max}$、$d_{\min}$ 为位移，单位为 m或mm，但计算时须统一；$E_D$ 为一周滞回耗能，单位为 J或$\mathrm{kN\,m}$；$K_{\mathrm{eff}}$ 的单位为 N/m。若循环不对称或装置具有速度、温度和轴力依赖，上式只是指定循环下的等效参数，不能取代完整本构。

能力保护需要把“允许形成的延性机制”和“必须保持弹性或避免脆性破坏的机制”成对列出。设计流程为：确定预期塑性部位；估计其可能达到的实际抗力；由该抗力计算相邻剪切、节点、支座和基础需求；检查构造和变形能力；最后用总体非线性模型验证机制。装置隔震方案也需执行能力保护，防止装置位移尚未充分发挥时连接或基础先破坏。

9.4.10 把隔震、减震与延性放回桥的构造

隔震是让支承体系在水平方向更柔，改变传力与周期；耗能装置把往复运动的机械能耗散；延性设计允许指定部位形成可控塑性。三者可组合使用，但不能互相替代。普通活动支座释放温度位移，并不自动具备经过设计验证的隔震功能。

图为力学功能示意，不是产品安装图；实际橡胶支座的竖向稳定、锚固、限位与连接需另行设计。17

黏滞阻尼器作用于某一端的力可写作 $F_d=-c\dot u_{\mathrm{rel}}$；耗散功率为 $c\dot u_{\mathrm{rel}}^2\ge0$。摩擦和屈服装置则沿不同的力—位移路径往复。闭合滞回圈的面积是每周耗能，不是线的斜率；斜率表示刚度。位移很小但力很大，与圈面积大，是两回事。

9.4.11 非线性时程分析

复杂桥梁可采用非线性时程分析研究塑性铰、支座滑移、限位接触和耗能装置。地震动选择与调整应符合采用标准，记录谱匹配、持续时间和方向。输出除最大内力和位移外，还应给出残余位移、塑性转角、装置滞回、碰撞和构件损伤指标。

9.4.12 从简化模型走向全桥核查

单自由度图回答输入节奏、周期与阻尼的关系。实际桥梁还需检查四个可见接口：墩柱在哪里变形，支座在哪里滑移，梁端剩多少间隙，防落梁力最终传到哪里。 地面与梁都向右移动，不代表间隙一定闭合；应按同一时刻、同一方向比较两端位移。

若支座滑移、墩柱屈服或梁端碰撞，线性图中的周期和阻尼不能再包办全过程。先核对单个构件的力—位移循环，再接入全桥；最后检查时间步、能量平衡和多条地震动下的结果。长桥各支点不同步，还要计入支点相对运动引起的变形。

选读：墩柱非线性、支座与防落梁、基础柔度、多支点输入及分级验证。

9.5.1 从测点记录判断振型

把两个传感器分别放在桥面左右两缘，同一时刻同向移动主要反映竖向分量，反向移动则提示扭转分量。单点频谱出现一个峰值，只能证明该测点在相应频段有响应；识别振型还需多个同步测点的幅值与相位。位移、速度、加速度的频谱不能直接用同一纵轴比较，求导还会放大高频成分与噪声。

回到本章前面的三维振型实验，选择单阶振型，比较节点与非节点位置的观测。进一步打开多阶叠加实验，检查同一测点的时程能否说明全桥形态。记录所选振型、测点位置和观测量，用9.2的 $u(x,t)=\sum\phi_j(x)q_j(t)$ 逐项解释。桥型画面用于观察，是否为经过求解的实桥模态应以页面模型说明为准。

单独打开桥梁模态与传感器作业

在生成数据与识别作业中，输出的是18路竖向和18路横向加速度，记录长600 s、采样频率50 Hz。对同一横断面左右两侧同步、有符号的竖向时程取半和，可提取截面中心的竖向加速度；在左右高程相同、小转角条件下，按同一坐标约定将两者之差除以横向间距，可得到扭转角加速度。应先处理时程或保留相位的互谱，不能直接把两条功率谱相减当成扭转响应。这里使用带噪声的等效主梁合成记录，所示桥塔与拉索外形没有参与全桥耦合模态求解。

9.5.2 风洞与数值分析各提供什么证据

刚性节段测力模型给出指定断面与攻角的气动力；弹性悬挂节段可研究断面运动及气动稳定；全桥气弹模型进一步保留塔、梁、索的空间共同运动。选择模型前先说明要识别平均力、涡振幅值、气动导数还是施工期全桥响应。比例尺不仅涉及几何，还涉及质量、频率、阻尼及流动条件。风洞相似与试验矩阵提供展开讨论。

CFD可以解释分离、再附和尾流，也可以计算气动力时程，但一幅流线图不能给出稳定边界。网格加密、时间步缩小与统计时长增加分别检查不同误差；通过这些检查后，还需与独立试验或观测比较。规定运动计算得到的是该运动下的力，自由系统是否增长还要计入结构惯性、刚度和耗能。CFD建模与核验列出计算步骤。

9.5.3 例9-4 从风速到荷载再到响应

取9.3中的教学参数，平均风速32 m/s，断面高3 m，阻力系数1.25。先手算动压为627.2 Pa，再得单位长度平均阻力2.352 kN/m；取湍流强度15%，顺风向脉动引起的阻力标准差约0.706 kN/m。

补齐空间分布与结构，继续算到位移。用一条自编单频记录代替本例的宽带随机风：$u'(t)=\sqrt2\times4.8\sin(2\pi\times0.20t)$ m/s，其RMS仍为4.8 m/s。这是便于完整复算的教学谐波，不是实测风谱。按顺风向准定常一阶阻力关系，单位长度脉动横向力为

$$p'(t)=\rho UH C_Du'(t)=997.869\sin(2\pi\times0.20t)\ \mathrm{N/m}.$$

结构取100 m均匀简支梁的一阶横弯，$\phi_1(s)=\sin(\pi s/L)$在跨中归一为1；线质量 $\mu_l=20000$ kg/m，$M_1=\mu_lL/2=1.0\times10^6$ kg，固有频率0.50 Hz、阻尼比2%。在沿跨完全相干、各处同幅同相的教学假定下，

$$Q_1(t)=\int_0^L\phi_1(s)p'(t)\,\mathrm ds=\frac{2L}{\pi}p'(t),\qquad Q_{1,0}=63526.319\ \mathrm N.$$

这里空间坐标写 $s$，模态横向位移写 $x$。质量与荷载都按同一振型归一；$K_1=M_1(2\pi\times0.50)^2=9.86960$ MN/m，$C_1=2\zeta M_1(2\pi\times0.50)=125663.71$ N·s/m。解 $M_1\ddot x+C_1\dot x+K_1x=Q_1(t)$，稳态复振幅为

$$X=\frac{Q_{1,0}}{K_1-M_1\Omega^2+\mathrm i C_1\Omega} \approx(7.65979-0.14590\,\mathrm i)\ \mathrm{mm},\qquad\Omega=2\pi\times0.20.$$

由于跨中振型值为1，跨中位移就是 $x(t)=\operatorname{Im}(Xe^{\mathrm i\Omega t})$，幅值 7.66118 mm、RMS 5.41728 mm。下载风速—线荷载—广义力—跨中位移同记录CSV，记录0—100 s、间隔0.05 s，从已建立的稳态取样；前2000行包含20个完整周期，最后一行是重复端点。由记录核对的线荷载RMS为0.7056 kN/m，位移RMS为5.41728 mm，与公式相符。

以上位移是相对平均风致平衡位置的脉动增量；平均阻力2.352 kN/m应另作静力计算，不能把它当作0.20 Hz的力幅。真实抖振需恢复风谱、沿跨相干和相应气动导纳，不能将本例的完全相干谐波结果直接当作实桥最大响应。若把平均风速加倍并保持湍流强度与气动系数不变，平均力和准定常脉动力标准差均变4倍；频谱、反馈与结构响应仍须按更新的条件计算。

再取竖弯频率0.55 Hz、与斯特劳哈尔数定义一致的特征尺寸3 m、$St=0.12$，得到频率相近风速13.75 m/s。它低于上述32 m/s参考风速并不构成矛盾：前者帮助安排涡振试验区间，后者用于给定风速的荷载计算。完整静力、模态与控制措施的计算见抗风贯通算例。

9.5.4 抗震计算怎样核对

先用质量和刚度求周期，再用所选阻尼与相应谱读取需求。若谱采用伪加速度 $S_{pa}$，线性单自由度系统的谱位移可由 $S_d=S_{pa}/\omega_n^2$ 核对，等效弹性恢复力为 $kS_d=mS_{pa}$。加速度用m/s²；以重力加速度倍数给出的数值需先换算。

引入隔震后，周期、装置位移和传给桥墩的力都要重新检查；较小的力不能代替行程、防落梁连接和碰撞空间验算。非线性时程还应核对初始条件、时间步、收敛、能量与多条记录间的离散性。不能用一个漂亮的变形动画代替这些检查。

9.5.5 由交互实验整理计算记录

周期、幅值、相位与气动力应连同输入和模型参数一起保存。输入变化、结构参数变化与显示倍率变化属于不同层面，后者不改变计算结果。静风、动力学、模态与自激力课堂采用的局部坐标和系数基准应分别核对，转换后再将量值用于同一计算。

风场统计、静风切线稳定、谱积分及扩展算例见抗风计算与试验选读；水文、风和地震共有的概率概念见重现期与极值统计。

9.6.1 本章练习

1. 风速与平均风力（对应目标：风力与响应）。 同一桥面截面在15 m/s来流下的平均阻力为12 kN。空气密度、阻力系数、攻角和迎风面积均不变，风速增至30 m/s时，平均阻力为多少？

2. 桥面截面的两种运动（对应目标：风致现象）。 图中甲的两侧同步向上且位移相同；乙的一侧上移、另一侧等量下移。假定横截面近似刚体、小转角且测量同步，分别判断甲、乙的运动，并说明仅凭这两种运动能否认定发生颤振。

3. 脱涡频率的估算（对应目标：风力与响应）。 取St=0.12、来流风速U=25 m/s、与St定义一致的特征尺寸D=3 m，按fₛ=St·U/D估算脱涡频率，单位Hz。此题不要求预测锁定振幅。

4. 风洞模型的选择（对应目标：试验与模型）。 任务是研究长悬臂施工阶段的全桥弯扭振型及气弹响应，并计入塔、梁、索共同运动。选择最直接对应这一任务的试验模型，说明应保持哪些关键相似条件，以及刚性节段测力模型为何不足。

5. 抗风措施的比较（对应目标：风致现象、抗风措施）。 桥面在一段常遇风速范围内出现接近一阶竖弯频率的窄带振动，越过该范围后振幅下降。提出两项可能的控制措施，分别说明它主要改变气动力、刚度还是阻尼，并列出一项措施前后必须在相同条件下比较的结果。

6. AI辅助风力图与模型复核（对应目标：风力与响应）。 用AI辅助制作一个可改变风速的网页或图：取空气密度ρ=1.225 kg/m³、阻力系数Cᴅ=1.0、迎风面积A=20 m²，风速U在0～40 m/s内变化，显示平均风力F=ρU²CᴅA/2。只设置一个风速控件。独立核对10、20 m/s两点的风力及单位，并说明这幅静风力图为何不能直接预测桥面振幅。提交结果和独立核对记录；若发现差异，说明修正依据；若未发现错误，说明检查了哪些量以及检查范围。

初始提示词：

请制作一个中文静风力教学网页，唯一控件是风速U（0～40 m/s）。固定ρ=1.225 kg/m³、Cᴅ=1.0、A=20 m²，按F=ρU²CᴅA/2计算，显示风速—风力曲线和当前点，风力以kN显示。曲线从零开始，坐标单位完整；可用同一比例的箭头表示力的方向和大小。不要生成桥面振动或临界风速。列出10、20 m/s的计算过程，供我手算核对。

7. 激发与观测的两个零（对应目标：风力与响应、试验与模型）。 均匀简支梁第二阶振型为 $\phi_2(x)=\sin(2\pi x/L)$。说明全跨同向均布荷载为什么没有第二阶广义力；若在四分点施加局部荷载，跨中测点为什么仍看不到第二阶位移？提出一个能够观察该阶的测点位置，并计算当 $q_2=0.6$ cm时该点位移。

8. 相对风与气动阻尼（对应目标：风力与响应）。 水平来流 $U=20$ m/s，水平桥面正以 $\dot h=+0.20$ m/s向上运动，取 $\rho=1.225$ kg/m³、$B=6$ m、$C'_L(0)=2\pi$ rad⁻¹、$C_{D,B}(0)=0.4$。按本章的小速度比模型求攻角、每延米竖向气动力增量及气动阻尼系数，并判断该增量在此刻供能还是耗能。均为教学参数。

9. 正做功与失稳（对应目标：风致现象、试验与模型）。 给定整段单自由度模型，$F_{\mathrm{se,1}}=a\eta+b\dot\eta$，有效质量、刚度均为正，$A=0.01$ m、$f=0.5$ Hz、$b=20$ N·s/m、$c_s=30$ N·s/m。求一周气动输入和结构耗能，判断撤去运动控制后的振幅趋势。若仅把 $b$ 增至40 N·s/m，趋势怎样改变？解释强迫振动页始终等幅为何不能作为稳定判据。

10. 百年一遇与50年使用期（对应目标：试验与模型）。 某风速水平的年超越概率为1%。在各年独立、分布不变的教学模型下，计算50年内至少超越一次的概率。能否据此说桥梁50年内的破坏概率也相同？

11. 隔震后的位移空间（对应目标：动力模型、地震响应）。 两个教学方案的计算结果分别为：甲，传至桥墩的水平力600 kN、装置最大位移40 mm；乙，水平力360 kN、装置最大位移110 mm。若选乙方案，列出至少三项必须核对的位移或连接条件，并说明为什么水平力更小仍不能单独决定方案。

12. 质量、刚度与自由衰减（对应目标：动力模型、试验与模型）。 一个教学单自由度系统的等效质量为100 t、无阻尼周期为1.0 s。求刚度；保持质量不变、刚度增至原来的1.44倍后求周期。另一条独立的自由衰减记录中，相邻正峰间隔1.5 s，4周期后峰值由12 mm降至7 mm，求 $f_d$、$\zeta$、$f_n$。说明持续受风记录能否直接使用该衰减公式。

13. 减振率与装置行程（对应目标：动力模型、抗风措施）。 在例9-2的同一稳态工况下，桥面幅值由50.66 mm降到6.25 mm，质量块相对桥面的行程幅值为30.8 mm。计算幅值减小比例及装置峰—峰行程。若改变外力频率后桥面振幅反而增大，能否仅凭这一结果断言程序出错？应核查哪些条件？

14. 从地震条带到反应谱（对应目标：地震响应）。 先把两体系阻尼设为相同（如5%），固定一条输入，在地震图上记录两种周期的峰值及发生时刻。解释反应谱横轴为何不是时间，并说明相同PGA的两条记录能否产生不同响应。再计算 $T=1.2$ s、$S_d=60$ mm时的PSA，指出它与绝对加速度谱的区别。

15. 主动、被动与半主动（对应目标：抗风措施）。 固定同一输入，比较TMD与主动附加质量的主梁RMS、相对行程和控制力。指出主动控制增加了哪些环节，MR半主动装置与主动施力有何区别。某论文报告阻尼比从0.198%升至0.585%，能否直接说振幅降低了66%？

16. 隔震与耗能的两面（对应目标：地震响应、试验与模型）。 从铅芯橡胶、摩擦摆、黏滞阻尼器中任选两种，指出哪里相对运动、什么机制耗能、什么机制复位。若长周期方案降低力却增加位移，应核查哪三处构造？说明如何用同一组地震记录比较两方案，而不只挑有利记录。