5  拱桥设计

5.1.1 多跨石拱：中墩与两端的任务不同

法国加尔桥把输水渠抬升在三层石拱之上。下层6孔、中层11孔，上层原有47孔、现存35孔；最大开口为24.5 m。总高约49 m描述整座建筑，不能用它替代某一孔拱的矢高。三维图按官方孔数与层次组织，其余局部几何为构造示意。加尔桥官方管理规划

相邻拱跨在中墩处各施加一份水平推力；只有两侧作用大小相等、方向相反时，水平分量才抵消。两端桥台没有另一孔来抵消推力，因此承担不同的任务。维特鲁威《建筑十书》第六书第八章第4节已经讨论：连续拱结构的端墩要有足够宽度来抵抗拱的外推。这段原文针对建筑拱券，可与桥梁的推力闭合类比；不能据此断言某座桥照该书设计。原文译本，VI.8.4

5.1.2 赵州桥：把石拱放低，把拱肩打开

赵州桥的敞肩小拱位于主拱两肩，桥面重量经拱上构造进入主拱，再到两岸拱脚。当地政府公布的净跨为37.02 m、净矢高7.23 m，两者之比约0.195；主拱沿桥宽由28道纵向拱券并列。赵县政府资料低矢高使桥面较平缓，开孔减少拱肩的实心砌体，也提供过水空间。后面的施工三维图把这28道拱券与小拱分别显示。

5.1.3 材料与施工改变了跨越的尺度

石拱依靠砌体受压，现代钢拱、钢筋混凝土拱与钢管混凝土拱进一步利用高强材料、空心截面和分段架设。下图按有据可查的代表工程展开时间轴，呈现材料、跨度与结构形式的变化。它不是连续完整的世界纪录榜；同一年代也仍有大量尺度适中、适应本地地形的拱桥。

5.1.4 桥面位置与水平力的闭合

上承式拱桥的桥面在主拱上方，荷载经填料、腹孔结构或立柱传给拱圈；下承式拱桥的桥面悬挂在主拱下方，荷载通过受拉吊杆传给拱肋；中承式拱桥兼有立柱区和吊杆区。桥面位置决定连接构件的受力性质，也影响桥下净空、桥面高程和架设方法。

局部图对应整桥纵向 $x=230～355\ \mathrm m$ 的区段。立柱把桥面荷载传入主拱节点，横撑连接两片拱肋并约束相对侧移。裁切边界只是显示范围，不代表杆件中断。

两条传力路径。竖向路径从桥面经过立柱或吊杆到达拱肋；水平路径从一侧拱脚出发，追到对岸地基或受拉系杆。桥面在拱的上方还是下方，只能帮助辨认第一条路径，尚不能决定第二条路径在哪里闭合。

普通推力拱依靠拱座与地基承担水平力。系杆拱则在两拱脚之间设置受拉系杆，使拱肋压力的水平分量与系杆拉力在上部结构内闭合。取整个上部结构为自由体，系杆力和拱脚节点内的水平作用属于内力；取单片拱肋为自由体，系杆提供的水平约束却是外力。因此，系杆拱的竖向荷载可以主要由竖向支座反力平衡，而系杆本身仍承受很大的拉力。

把同一座理想系杆拱分离成不同对象，图上的水平箭头也要随对象改变：

显示隐藏与构件移除。若隐藏系杆后仍把两个拱脚都画成只能承受竖向力的支点，拱肋原来的水平平衡便丢失了。三维模型中的“隐藏”用于观察内部，计算模型中的“移除”则改变实际传力条件。

上述超静定次数针对单跨平面拱，不含拱上建筑参与和基础弹性自由度。桥面位置、截面形式与铰的设置是三组独立的分类指标：下承式不必是系杆拱，系杆拱也不由桥面位置单独决定。

5.1.5 从梁的弯矩理解拱的推力

相同竖向荷载下，拱脚的水平推力在高于拱脚的截面上形成力矩；它抵消同跨简支梁弯矩的一部分。图中先区分梁端竖向反力与拱脚斜向合力，再把推力的力臂定位到所取截面。

取两拱脚等高的三铰拱，水平坐标 $x$ 从左拱脚起算，拱轴高度为 $y(x)$。同跨简支梁承受相同竖向荷载时的弯矩、剪力分别为 $M^0(x)$、$V^0(x)$。左拱脚水平反力向跨内为正，记为 $H$，则

$$M(x)=M^0(x)-Hy(x).$$

拱顶铰位于跨中，高度为 $f$，其弯矩等于零，因而 $H=M^0(L/2)/f$。水平推力越大，其在拱轴高度上形成的抵消弯矩越大；但过大的推力也会增大拱肋压力、拱座尺寸和基础需求。

设拱轴切线与水平轴夹角为 $\varphi$，取轴力 $N$ 以受压为正，剪力 $Q$ 按下式局部方向取正。左侧截面平衡给出

$$N=H\cos\varphi+V^0\sin\varphi,\qquad Q=V^0\cos\varphi-H\sin\varphi.$$

可用 $N^2+Q^2=H^2+(V^0)^2$ 检查坐标变换。若荷载压力线与拱轴重合，则 $M=0$ 且 $Q=0$，拱主要承受轴向压力。车辆偏载改变压力线后，拱重新出现弯矩和剪力。

例5-1　三铰拱的支反力。 跨径 $L=60\,\mathrm m$、矢高 $f=12\,\mathrm m$，沿水平投影承受均布荷载 $q=80\,\mathrm{kN/m}$。两端竖向反力均为 $qL/2=2400\,\mathrm{kN}$；拱顶对应简支梁弯矩为 $qL^2/8=36000\,\mathrm{kN\cdot m}$，故 $H=3000\,\mathrm{kN}$。支点反力合力为 $\sqrt{3000^2+2400^2}=3842\,\mathrm{kN}$。这三个数分别回答竖向承载、水平抗推与拱脚合力问题，不能互相替代。

本例可在三处闭合检查：整拱的竖向平衡为 $2400+2400=80\times60=4800\ \mathrm{kN}$；拱顶铰的弯矩为 $36000-3000\times12=0$；拱脚合力大于其任一分量。保持跨度与荷载不变，把矢高改成15 m，水平推力降为2400 kN，竖向反力仍各为2400 kN。拱肋变得更陡时，减少的是本例的水平推力，桥面总重量并没有减小。

5.2.1 跨径、矢高与布置条件

计算跨径 $L$ 是两拱脚计算截面中心之间的水平距离，计算矢高 $f$ 是拱顶轴线相对两拱脚连线的高度。净跨径与净矢高按拱腹和净空边界量取，不能直接代入以拱轴为基准的计算式。矢跨比 $f/L$ 同时影响桥面高程、推力、拱肋长度和施工高度。

对三铰抛物线拱和水平投影均布荷载，$H=qL^2/(8f)$。保持 $L$、$q$ 不变，矢高增大20%，推力变为原来的 $1/1.2=0.833$；保持矢跨比不变而把跨度增大一倍，推力也增大一倍。比较方案时必须先说明保持哪些参数不变。

降低矢高的效果也可在上面的梁—拱对照图中直接看到：荷载与跨度不变，推力箭头增大，而竖向反力保持不变。

5.2.2 合理拱轴的确定

下图把实际拱轴与当前荷载的压力线叠在同一根拱肋上，弯矩与偏心在所选截面旁读出。满跨均布荷载下，两条曲线重合；仅左半跨加载后，左右四分点出现符号相反的弯矩。拖动金色拱顶可直接改变矢高，荷载值和单位始终留在图上。

图中竖向差由 $M/H$ 给出，截面偏心则由 $M/N$ 给出；所选截面把二者分别读出。这里采用60 m三铰拱，与例5-1采用相同跨度；后文120 m算例另列参数。压力线偏离不表示实际变形。

在竖向荷载下，若要求各截面弯矩为零，由 $M=M^0-Hy$ 得

$$y(x)=\frac{M^0(x)}{H}.$$

因此，合理拱轴与该荷载下对应简支梁的弯矩图具有相同形状。水平投影均布荷载给出抛物线

$$y(x)=\frac{4f}{L^2}x(L-x),\qquad y'(x)=\frac{4f}{L^2}(L-2x).$$

若荷载按弧长均布，水平投影荷载随斜率变化，平衡线为悬链线。实腹拱的填料厚度沿跨变化，空腹拱则在立柱位置集中传力，均应按实际荷载分布建立压力线。设计时先选轴线和截面，计算自重及拱上荷载，再检查压力线和偏心；截面或矢高变化后重新计算自重，使几何与恒载分布相协调。

5.2.3 跨度增长时的主要制约

扩大跨度时，拱桥必须同时处理越来越大的压力、越来越长的受压构件和合龙以前的临时体系。在固定矢跨比 $r=f/L$、单肋线荷载 $q$ 不变的理想比较中，$H=qL/(8r)$：跨度翻倍，水平推力翻倍；若只增跨度而不增矢高，推力按 $L^2$ 增长。真实方案增大截面后自重也增加，须重新计算，不能把 $q$ 永久保持为原值。

这些约束会随桥位、材料和施工条件改变先后次序，不能仅由一个矢跨比或强度公式宣布通用“跨度极限”。下面的实桥图谱把跨度、矢高、材料和结构形式对应到同一条记录；每座桥保留原文口径。净跨、计算跨与不同弦线之间的跨度不能未经区分就合并回归。

5.2.4 压力线、偏心距与截面核心

压力线相对截面形心的法向偏心距为 $e=M/N$，本节取压轴力 $N>0$，边缘正应力也取受压为正，即 $\sigma_{\max,\min}=N/A\pm M/W$。第4章预应力小节取拉应力为正，二者数值符号相反，受拉或受压的物理结论不变。按第2章“偏心压力怎样成为轴力与弯矩”的弹性叠加关系求边缘应力。对未开裂矩形截面，全截面无拉应力要求 $|e|\le h/6$；压力线落在截面轮廓内而落在核心外时，仍会出现受拉边缘。比较图解压力线时，还需区分两种距离：竖向坐标差$\Delta y=M/H$，法向偏心距$e=M/N$。斜截面处$H$与$N$一般不同，不能把图上量出的竖向差直接代入截面应力式。

三维压力线图已将竖向差与法向偏心分别读出。前者用于图解平衡，后者进入截面应力计算；改变截面位置时，两者通常不会相等。

例5-2　同一轴力下偏心的影响。 矩形截面 $b=1.0\,\mathrm m$、$h=1.5\,\mathrm m$，$N=3000\,\mathrm{kN}$、$M=600\,\mathrm{kN\cdot m}$。$A=1.5\,\mathrm{m^2}$、$W=0.375\,\mathrm{m^3}$，故 $e=0.20\,\mathrm m<h/6=0.25\,\mathrm m$，两缘应力为 $3.6$ 与 $0.4\,\mathrm{MPa}$，均受压。若弯矩增为 $900\,\mathrm{kN\cdot m}$，则 $e=0.30\,\mathrm m$，边缘应力为 $4.4$ 与 $-0.4\,\mathrm{MPa}$，分别表示受压与受拉。圬工接缝须转入不承受拉力的接触分析，钢筋混凝土截面则需按开裂后的轴弯工作状态分析。两类材料的设计依据分别为JTG 3361—20255和JTG 3362—20182。

5.2.5 拓展：用材料分布探索传力路径

合理拱轴从平衡关系求曲线；拓扑优化则进一步把“哪里保留材料”也作为未知量。下面先给定可用空间、两端支承、桥面荷载和材料总量，再用三维实体单元计算各处对刚度的贡献，逐步调整材料密度。保留下来的形状由这些条件共同决定，并不是预先画好一条拱再播放动画。

本页借鉴Liu与Tovar的Top3D所采用的三维有限元、SIMP材料插值、密度滤波与迭代展示，独立建立了桥面加载的三维算例。页面回放保存下来的实际计算结果；满跨/半跨与35%/50%材料预算分别对应独立求解。它直观解释“材料为什么留在这里”，但只优化指定荷载下的柔度；承压稳定、多个车辆工况、节点、耐久和施工约束仍需补入，不能把生成形状直接当作施工图。

优化问题可简记为

$$\min_{\boldsymbol\rho}\ C=\mathbf F^\mathsf T\mathbf u,\qquad \mathbf K(\boldsymbol\rho)\mathbf u=\mathbf F,\qquad \sum_e\rho_eV_e\le V_{\mathrm{allow}}.$$

$\rho_e\in[\rho_{\min},1]$ 表示第 $e$ 个单元中的相对材料密度；$\rho_{\min}>0$ 用于避免空单元使刚度矩阵奇异，具体下限随求解设置记录。$V_e$ 为该单元体积，$C$为本荷载下的柔度。相同荷载下，柔度越小，外力作用方向上的总体变形越小；它不是任意一个截面的应力。

5.3.1 同一座现代拱桥：从整桥看到拱肋

下图直接载入已有的天峨龙滩特征模型。600 m主跨与125 m矢高对应约0.208的矢跨比；桥面、拱肋和劲性骨架可分别显现。外包混凝土、管内混凝土与钢管的位置来自既有图纸重构；附属设施与环境为教学补充。隐藏部件只是观察内部构造，不改变计算边界。

5.3.2 主拱截面的选择

板拱以较大的连续宽度形成整体横向联系，构造直接但自重较大。箱形拱把材料布置在远离形心的位置，提高抗弯、抗扭效率，同时保留内部检查通道。分离拱肋通过横撑和桥面系连接，减轻自重，但需要单独建立横向传力和面外稳定体系。桁式拱将整体弯矩转换为弦杆轴力，将剪力主要交给腹杆，节点偏心和杆件稳定因而成为构造重点。

钢筋混凝土拱的纵向钢筋沿拱轴布置，适应活载、温度和施工引起的正负弯矩；箍筋与横向钢筋约束纵筋，并承担局部剪力。钢拱的箱壁、加劲肋和横隔板共同维持截面形状，不能只按截面总面积评价其受压性能。

5.3.3 吊杆及其连接

下承式拱桥中，桥面板把车轮荷载传给纵梁和横梁，横梁在吊点处把竖向力交给吊杆，吊杆再把拉力传入拱肋。若某吊点承担的竖向力为 $P$，吊杆与竖直方向夹角为 $\beta$，则其拉力为 $T=P/\cos\beta$，水平分力为 $P\tan\beta$。竖吊杆主要提供竖向联系，斜吊杆还能在拱与梁之间传递纵向分力，因此会改变二者的弯矩分配。

叉耳—销轴连接中，两片叉耳夹住中间眼板，吊杆力先进入叉耳，再经销轴和孔壁承压进入眼板。各部位需要分别检查：吊杆轴向应力，销轴剪切和弯曲，孔壁承压，眼板净截面和端部撕裂，以及循环作用下的疲劳。以双剪销轴为例，平均剪应力为 $T/(2A_p)$，$A_p=\pi d^2/4$；该式提供剪切基准，销轴跨越构件间隙产生的弯曲还应另计。

例5-3　吊杆与销轴。 竖吊杆力 $T=600\,\mathrm{kN}$，有效钢面积 $A_s=3000\,\mathrm{mm^2}$，平均轴应力为 $200\,\mathrm{MPa}$。销轴直径 $d=80\,\mathrm{mm}$，按双剪估算平均剪应力为 $59.7\,\mathrm{MPa}$。若中间眼板厚 $t=30\,\mathrm{mm}$，孔壁投影平均承压应力为 $T/(dt)=250\,\mathrm{MPa}$。三个结果属于不同部位和不同应力，分别用于相应构件验算。

5.3.4 系杆、横梁与横向联系

系杆承担拱脚间的水平拉力，主拱承担压力；刚性系杆还参与桥面弯曲。系杆的轴向刚度影响拱脚间距，从而改变拱肋推力及弯矩。端部节点汇集拱肋压力、系杆拉力、横梁作用和支座反力，应沿力流设置隔板、加劲肋或局部钢筋。横撑则把两片拱肋连成空间体系，将侧向作用分配至拱脚与桥面约束。

5.3.5 钢管混凝土拱的分阶段受力

空钢管首先承担架设荷载及湿混凝土重量。核心混凝土硬化并与钢管共同变形后，才参与新增荷载的分配。在线弹性、完全共同工作且暂不计约束增强的轴压模型中，组合轴向刚度为 $E_sA_s+E_cA_c$，新增轴力按两部分轴向刚度比例分担。

若 $E_s=200\,\mathrm{GPa}$、$A_s=0.05\,\mathrm{m^2}$、$E_c=35\,\mathrm{GPa}$、$A_c=0.80\,\mathrm{m^2}$，钢管和混凝土轴向刚度分别为 $10$ 与 $28\,\mathrm{GN}$。硬化后的新增轴力 $3.8\,\mathrm{MN}$ 使两者分别新增 $1.0$ 与 $2.8\,\mathrm{MN}$。钢管先前已经承担的轴力仍保留在钢管内，不能按成桥刚度比例重新分配全部既往荷载。灌注顺序、混凝土龄期和卸架时点由此进入结构计算。钢管混凝土拱的设计依据见JTG/T D65-06—20153。

钢管先承担的作用与硬化后新增作用，在这三个阶段分别进入不同材料。这是第4章施工历史原则在材料激活问题上的应用：本章新增的关键是混凝土开始参与共同工作的时点。

5.4.1 三种稳定问题

横撑把两片裸拱肋联系起来，保留拱轴平面内传力路径的同时改变了侧向变形条件。

受压拱肋可能在拱轴平面内弯曲失稳，也可能侧向弯曲并伴随扭转；钢箱板件和钢管壁还可能先出现局部屈曲。面内稳定与拱轴曲率、轴压水平、弯曲刚度和拱脚约束有关；面外稳定还取决于双肋间距、横撑、横梁和节点；局部稳定取决于板件宽厚比、钢管径厚比、加劲构造和应力分布。三者需要在不同尺度上检查。

5.4.2 刚度、长度与初始弯曲

用第2章“欧拉屈曲为什么也是特征问题”的铰支直杆公式作数量级对照：保持 $EI$ 不变，理想临界力随有效长度平方的倒数变化。

例如 $E=200\,\mathrm{GPa}$、$I=0.020\,\mathrm{m^4}$、$l_b=20\,\mathrm m$，则 $N_{\mathrm{cr}}=98.7\,\mathrm{MN}$；长度增为30 m时降至43.9 MN。这个对比说明侧向约束距离的重要性。真实拱的曲率、轴力分布和横撑柔度会改变失稳模态，不能把横撑间距直接当作整拱计算长度。

对两端铰支、线弹性、具有正弦形初弯曲的理想压杆，在$N<N_{\mathrm{cr}}$的平衡路径上，二阶弯矩放大系数可写成 $1/(1-N/N_{\mathrm{cr}})$。当轴力分别为临界力的0.2、0.5、0.8倍时，放大系数为1.25、2和5。轴力尚未达到临界值，初始偏心造成的弯矩就可能明显增大。这也是拱肋线形误差和施工横向联系不能忽略的原因。

5.4.3 横撑与空间共同工作

两片拱肋由横撑连接后，一片拱肋的侧向变形会动员另一片拱肋及横向框架共同受力。横撑自身要有足够轴向和弯曲刚度，节点要能够传递所需的力和力矩。只提高拱肋截面惯性矩而保留柔弱节点，整体侧向刚度的提升可能很有限。施工阶段桥面尚未形成时，应按当时已经安装的横撑建立约束，不能提前借用成桥桥面系。

5.4.4 从屈曲模态到承载分析

对按比例加载的线弹性参考模型，求解 $(\mathbf K+\lambda\mathbf K_G)\boldsymbol\phi=0$可得到荷载倍数$\lambda$与屈曲形态$\boldsymbol\phi$；这里把受压软化效应计入$\mathbf K_G$的符号，若软件采用相反定义，方程中的符号也随之改变。恒载保持不变、只放大活载时，应分别建立相应的初始状态与增量刚度，不能把整体倍数直接当成可增加的活载倍数。先用它识别薄弱方向，再把初始几何偏差、材料屈服或混凝土开裂、节点刚度及施工状态纳入非线性分析，追踪荷载—位移曲线。计算中应同时观察拱顶位移、拱肋侧移、截面应变和关键构件内力，识别承载下降是整体变形、局部屈曲还是材料强度发展所致。

5.4.5 从荷载增加到承载极限

拱在施工与恒载作用下已经存在轴压、变形及材料状态。继续增加活载时，轴力作用在变形后的轴线上形成二阶弯矩，截面还可能开裂或屈服。若保持已建立的恒载$\mathbf G$不变，只按比例增加活载$\mathbf Q$，总量平衡应写成

$$\mathbf R_{\mathrm{int}}(\mathbf u;\,\text{已有材料状态})=\mathbf G+\lambda\mathbf Q.$$

$\lambda=0$对应已求得的恒载平衡，$\lambda=1$对应题定活载水平。每一级从上一级平衡继续求解，同时保留施工形成的初始应力和材料历史。只有在明确把全部作用按同一比例从零增加的算例中，才写成$\lambda\mathbf P$；它与“恒载不变、增加活载”是两条不同的路径。

从荷载—位移曲线可观察切线刚度减小、极限点和可能的下降段。单次求解不收敛也可能来自步长或求解设置，应先检查平衡残差与路径，不能直接把它报告成结构承载极限。

承载分析首先保持正确的施工初始应力，再加入几何偏差和材料本构。需要区分整体拱肋侧移、横撑屈曲、钢板局部屈曲及混凝土压碎，因为它们对应不同的构造改进：加强整体横向联系、调整杆件长细比、加劲板件或改变截面材料配置。

斜拱和空间拱的侧向约束可由桥面、横撑及节点共同提供；拱肋倾斜的外形本身不能证明侧向稳定。前面的整桥模型显示双肋间的横向联系，构件隐藏仅用于看清连接。更多实桥图纸见轻型桥梁专题。

5.4.6 强迫变形与基础相互作用

两个拱脚一起向下移动10 mm，与一个拱脚下沉10 mm、或两拱脚向外张开10 mm，给拱的变形要求不同。下图区分运动方向与相对量；超静定拱的附加推力由相应的变形协调确定。

5.5.1 赵州桥主拱形成前后的承重转换

石块尚未闭合成拱时，拱架承接重量并确定拱腹形状；主拱闭合、砌体具备接替条件后，支架才逐步卸载。模型默认显示成桥，阶段条可以直接回到拱架、两侧砌筑、拱顶合龙及落架。28道拱券、小拱开孔和已核实的尺寸属于结构事实；木拱架形式、石块划分与具体工序是教学重构，尚无证据确认赵州桥原施工全过程如此实施。

5.5.2 施工方法与支承条件

拱顶尚有缺口时，成桥后的完整推力路径还没有形成。下面各模型直接展示当时承担重量的临时构件，以及合龙、卸载后由谁接替。阶段百分比只表示动画进度，不等于实际工期。

5.5.3 四种施工过程，分别放回各自的支承条件

支架现浇。拱架把湿混凝土和施工荷载传到地面；主拱具备承力条件后分级卸架。对称成桥外形不能代替施工阶段的不均匀浇筑与支架沉降分析。

转体施工。半拱先在便于施工的位置形成，再依靠转动与平衡体系就位。转体之前、转动过程中和合龙之后，承重路径各不相同。

缆索吊装与扣挂。吊装索把构件送到位置，扣索继续维持半拱；这两种索的任务不能混同。合龙并形成永久连接后，再按计划把临时索的作用转交主拱。

钢管混凝土分阶段施工。空钢管先形成骨架，灌注增加重量，混凝土硬化后才参与新增作用。动画对应“已有材料—新加重量—新增刚度”的先后关系。

5.5.4 半拱架设与扣索支承

合龙前，左右半拱尚不能形成完整的推力路径。节段接入后，其自重由已架半拱、扣索、临时索塔与背索共同承担。把半拱取为自由体，扣索的竖向分力平衡一部分重量，水平分力及其力矩影响拱脚和半拱弯矩。吊装索完成节段运送后可以转入下一次吊装，扣索则继续保持半拱受力，直到完整拱具备接替条件。

若把半拱暂按铰支拱脚及一根扣索的静力模型估算，重量合力 $W$ 位于拱脚外 $a$ 处，扣索作用线到拱脚的垂距为 $d$，由力矩平衡得 $T=W a/d$。$W=1200\,\mathrm{kN}$、$a=12\,\mathrm m$、$d=18\,\mathrm m$ 时，扣索力为800 kN。实际多组扣索和固结拱脚共同工作时，需加入变形协调分配各索力。

5.5.5 合龙、锁定与卸除临时支承

合龙前控制间隙、高差、相对转角、温度和扣索力。永久连接建立后，原本可以相对移动的两端开始共同变形，因此强行闭合的几何偏差会转化为锁定内力。连接完成只是建立新路径；卸索或卸架才使临时支承力逐步转入主拱。每一步都要重新计算支承反力、主拱内力和线形；施工监控依据见JTG/T 3650-01—20226。

施工分析按“激活构件—施加重量—建立连接—张拉或卸载—推进龄期”的顺序组织。混凝土弹性模量随龄期增长，收缩徐变使已有应力逐步重分配。较早浇筑的混凝土与较晚浇筑的混凝土，即使在成桥时截面相同，也不一定具有相同的应力历史。

5.5.6 连拱的共同桥墩与施工失衡

在连续几孔拱中，中墩同时接受左右拱脚传来的作用。下图采用明示的三铰抛物线连拱教学模型：增大某一孔荷载后，两个相邻中墩的水平不平衡力立即改变；这说明“相邻推力抵消”依赖两侧的实际荷载与支承状态。

凤凰施工事故中的桥梁为湖南凤凰县堤溪沱江大桥。该桥为4孔65 m空腹式无铰石拱桥，2007年8月13日在建时坍塌。官方调查指出，主拱圈材料及砌筑质量不满足要求、施工工序不合理，拱上荷载增长使局部拱脚区段首先破坏，随后受连拱效应影响扩展。调查还指出主拱圈未达到设计强度即开始落架。应急管理部公开事故调查记录

这项案例把施工的三个条件放在一起：当时材料已经形成多少强度、重量已经增加到哪里、临时支承是否仍在。上面的三铰模型仅解释共用桥墩的传力，并非该无铰砌体桥事故的数值重演。

5.5.7 从施工记录到交付基线

成桥时保存主拱线形、拱脚位置、吊杆或扣索转换记录、材料强度与关键连接检查结果。交付后的检测以这些状态作比较，才能判断新出现的裂缝、位移或索力变化，而不是只与一张理想设计外形比较。

5.6.1 列车经过时，直接在主拱上读响应

桥面、连续轨道、立柱与双拱肋在同一模型中对应。默认同时显示拱背和拱腹的应力色带：橙色受压、蓝色受拉，颜色深浅对应固定色标。拖动车辆，拉压区域与峰值标签同步移动；点击标签即可在同一截面核对数值。切到弯矩图，图带从拱轴向外或向内展开，带宽表示弯矩大小，正负号表示弯曲方向；某侧是否受拉，还要看轴力与弯矩叠加后的应力。图中不显示计算网格。

这是64 m两铰双肋拱的线弹性教学模型，结果表示列车静力增量；未包含完整成桥恒载、动力放大和全部设计组合。它与前面60 m三铰解析模型采用不同约束，不能直接套用同一个推力结果。截面偏心由局部轴力和弯矩计算；仅凭列车增量的压力偏心线，不能判断成桥总作用下的砌体接触状态。

5.6.2 模型如何表达实际结构

平面梁单元可表示规则拱肋的轴向和面内弯曲，适合推力、拱轴与对称荷载的初步分析。空间模型需要同时表示双肋、横撑、横梁、纵梁和桥面板的作用；柔性吊杆按仅受拉构件处理，立柱则应保留其弯曲刚度。拱肋与横梁连接偏离形心时，用真实偏心或刚臂表达力矩传递。

桥面荷载应先到桥面系，再传至吊点或柱顶。例如等间距 $a$ 的吊杆承受均布线荷载 $q$ 时，内吊点的初估作用为 $qa$，端吊点按实际分担长度确定；这给出荷载离散的起点。连续梁刚度会使相邻吊点重新分配，节点力总和及其对任一点的总力矩仍必须与原荷载相同。

5.6.3 三铰拱的弯矩影响线

前面的列车模型显示整桥当前响应。若把观察对象固定为一个截面的弯矩，只让单位荷载移动，横坐标表示荷载位置，纵标表示这个固定响应随车位怎样改变。先求水平推力的变化，再扣除它在所选截面产生的弯矩。

单位竖向荷载位于 $\xi$ 时，水平推力影响线为

$$\eta_H(\xi)=\frac{\eta_{M_C^0}(\xi)}{f},$$

截面 $x$ 的弯矩影响线为

$$\eta_M(x;\xi)=\eta_{M^0}(x;\xi)-y(x)\eta_H(\xi).$$

其中 $\eta_{M^0}$ 是同跨简支梁相应弯矩影响线。拱脚推力与拱顶、四分点弯矩具有不同的影响线，求最大正弯矩时加载正区，求最大负弯矩时加载负区。车辆与分布荷载的加载规则见第3章“移动车辆、人群与影响线”。横向偏载再通过桥面横向刚度形成两片拱肋不同的作用。

5.6.4 结果的三层复核

第一层检查平衡：所有支反力与外荷载合力、合矩相等。第二层检查变形：对称结构在对称荷载下应具有相应对称性，三铰拱三个铰位置弯矩应为零。第三层检查截面：把软件输出的 $N,M,Q$ 还原成截面一侧的自由体，核对局部轴及正负号，再计算偏心和边缘应力。

网格加密应围绕吊点、截面变化、横撑节点和曲率变化较大处进行。比较相邻两级网格的拱顶位移、推力和控制弯矩；若整体量已稳定而节点峰值仍随网格变化，应检查节点理想化和局部应力的提取方法。

5.6.5 参数化设计案例

5.6.5.2 左半跨加载的逐步计算

仅在 $0\le x\le60\,\mathrm m$ 范围施加 $p=20\,\mathrm{kN/m}$。荷载合力为1200 kN，距左端30 m。整体平衡给出 $R_A=900\,\mathrm{kN}$、$R_B=300\,\mathrm{kN}$。跨中简支梁弯矩为18000 kN·m，因此 $H=750\,\mathrm{kN}$。

在左四分点 $x=30\,\mathrm m$，拱轴高度为18 m，

$$M^0=900\times30-20\times30^2/2=18000\,\mathrm{kN\cdot m},$$ $$M=18000-750\times18=4500\,\mathrm{kN\cdot m}.$$

在右四分点 $x=90\,\mathrm m$，$M^0=300(120-90)=9000\,\mathrm{kN\cdot m}$，故 $M=-4500\,\mathrm{kN\cdot m}$。半跨加载时总竖向荷载较少，却产生了全跨均布状态下没有的弯矩。

为单独比较加载范围，下图的满跨与左半跨工况均取 $q=20\ \mathrm{kN/m}$（半跨即上文的 $p=20\ \mathrm{kN/m}$），跨度、矢高、拱轴和三铰边界保持不变。前文 $q=100\ \mathrm{kN/m}$ 是另一项恒载工况。

图示条件与计算说明

仅计所示荷载，两图q均为20 kN/m；拱轴与边界保持不变；一阶三铰拱

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截面位置	$y$/m	半跨荷载弯矩/(kN·m)	全跨均布荷载弯矩/(kN·m)
左四分点	18	4500	0
拱顶	24	0	0
右四分点	18	−4500	0

在小变形线性模型中，恒载与上述半跨活载可以叠加。左四分点 $y'=0.4$，叠加后 $H=8250\,\mathrm{kN}$、$V^0=3300\,\mathrm{kN}$，得 $N=8885.5\,\mathrm{kN}$、$e=4500/8885.5=0.506\,\mathrm m$。若该处采用未开裂矩形截面，满足全截面无拉应力需 $h\ge6e=3.04\,\mathrm m$。这只确定弹性无拉条件，截面强度与稳定需继续检查。

5.6.6 综合算例与设计审查

5.7.1 疲劳与应力范围

吊杆、系杆锚固区和钢拱节点承受车辆反复作用。某次循环的应力范围为 $\Delta\sigma=\sigma_{\max}-\sigma_{\min}$。给定疲劳曲线时，可按各应力范围对应的允许循环次数 $N_i$ 与实际循环次数 $n_i$ 计算累计损伤指标 $D=\sum n_i/N_i$。使用哪一种应力定义必须与疲劳曲线一致，名义应力、结构应力和缺口峰值不能混用。

例如吊杆有效面积3000 mm²，车辆作用使拉力在500～620 kN之间循环，则应力范围为40 MPa，而最大应力为206.7 MPa。前者描述循环幅度，后者描述最大拉力水平，两者分别服务于疲劳和最大受力检查。

5.7.2 从部位和证据安排检测

下图把拱脚、主拱、横向联系和桥面排水分别定位在同一座桥上。点击部位后，检查方法与观测量随之对应；橙色透视用于显示被遮挡的联系构件，不表示损伤或应力。

拱桥检测沿同一传力链展开：桥面接缝与排水影响下方构件环境，吊杆和节点把桥面作用交给主拱，拱脚与基础维持推力闭合。裂缝、渗水或索力异常应同时记录位置、方向、时间与当时作用，不能只凭一张外观照片判断承载能力。

检查、修复防护、恢复连接或更换吊杆对应不同目标；更换前先建立临时承力路径，恢复后再比较索力与桥面线形。

5.7.3 吊杆更换中的重新分配

吊杆卸载后，原吊点荷载经桥面纵梁向相邻吊点转移，局部桥面弯矩增大，相邻吊杆拉力及拱肋弯矩也会改变。若只用一段简支桥面梁说明尺度变化，支承间距从 $a$ 变为 $2a$，均布荷载下弯矩由 $qa^2/8$ 增至 $q(2a)^2/8$，即4倍。实际连续桥面会重新分配，仍须计算整个邻近区域。

更换分析按安装临时承力构件、旧吊杆分级卸载、拆除、安装新吊杆、分级张拉及拆除临时构件展开。每一步求索力、桥面标高和拱肋内力，并把可检查、可排水、防腐和张拉空间落实到节点。可更换性是结构布置和构造设计的一部分。

5.8.1 本章练习

1. 系杆闭合的水平力（对应目标：1）。 对竖向荷载下的理想系杆拱，桥面荷载通过吊杆传给拱肋。拱脚之间的系杆主要承担什么任务？

2. 降低拱顶后的水平推力（对应目标：2）。 80 m三铰抛物线拱，两拱脚等高，水平投影全跨均布荷载60 kN/m。把矢高由16 m降为12 m，其他条件不变，忽略几何非线性。求新水平推力 $H=qL^2/(8f)$。

3. 截面核心与边缘应力（对应目标：2）。 矩形拱截面宽1.2 m、高2.0 m，压轴力8000 kN、弯矩2000 kN·m。采用未开裂均质线弹性模型，以压应力为正。求减压侧应力 $N/A-M/W$，并判断偏心 $e=M/N$ 是否超过 $h/6$。

4. 半跨荷载下的四分点弯矩（对应目标：2）。 120 m三铰抛物线拱，矢高24 m，仅左半跨施加水平投影均布荷载20 kN/m，忽略其他荷载。记半跨荷载集度为 $p=20\ \mathrm{kN/m}$，整体平衡给出 $R_A=900\ \mathrm{kN}$、$R_B=300\ \mathrm{kN}$、$H=750\ \mathrm{kN}$。左四分点 $x=30\ \mathrm m$ 处拱轴高 $y=18\ \mathrm m$，求 $M=R_Ax-px^2/2-Hy$。变式：改为仅右半跨加载，给出同一左四分点的弯矩，并说明反力如何互换。

5. 半拱、合龙与卸索（对应目标：1、3）。 一座拱桥采用扣索支承的分段悬拼施工。分别考虑“两侧半拱尚未合龙”“永久合龙连接已形成、扣索仍保留”“按计划分级卸索完成”三个状态。画出各状态已生效的主拱、扣索、临时塔与必要锚固，标出自重到地面的路径。说明扣索和横撑的任务，以及卸索前还需检查哪些条件。

6. AI辅助制作拱轴比较网页（对应目标：2、4）。 借助AI制作120 m三铰抛物线拱的比较网页。两拱脚等高，水平投影全跨均布荷载100 kN/m，只允许选择矢高18、24、30 m。用同一尺度显示拱轴和支反力，注明线性平衡等假定。独立手算三个推力，并用竖向平衡及对称性核对；说明改为半跨加载后哪些结论需要重算。提交模型及修正记录；若未发现错误，提交检查通过的依据和局限。

初始提示词：“请制作120 m三铰抛物线拱的HTML或Three.js比较网页，两拱脚等高，水平投影全跨均布荷载100 kN/m。只设一个矢高选择器，选项18、24、30 m。按y=4fx(L−x)/L²绘制同尺度拱轴，显示H=qL²/(8f)及左右竖向反力qL/2，箭头方向和单位清楚。说明三铰、线性、小变形及满跨荷载条件，不把图示纯压自动解释为稳定合格。输出网页和计算式供我独立核对。”

7. 基础柔度与协调（对应目标：3）。 两铰拱均匀升温后的自由张开量为24 mm，拱体和基础相对柔度分别为0.008、0.004 mm/kN，无规定变位。按$\Delta H=\Delta_f/(\delta_a+\delta_b)$求附加推力，再分别计算拱体减少的张开量和基础张开量，核对两者协调。将基础改为理想固定后，推力和张开量怎样改变？