动力分析方法选读

沿桥不同位置的风怎样共同激发模态

对无量纲实振型 $\phi_j(x)$，广义脉动力为

$$Q_j(t)=\int_0^L\phi_j(x)p_b'(x,t)\,\mathrm dx.$$

如果各处脉动力不完全同步，就不能用一条时程乘全跨面积。记两点荷载的一侧互功率谱为 $S_{pp}(x,x';f)$，则

$$S_{Q_j}(f)=\int_0^L\!\int_0^L\phi_j(x)\phi_j(x')S_{pp}(x,x';f)\,\mathrm dx\,\mathrm dx'.$$

$S_{pp}$的单位为(N/m)²/Hz，积分后的 $S_{Q_j}$ 为N²/Hz。再通过模态频响求 $S_{q_j}=|H_j|^2S_{Q_j}$，并积分得到位移方差；多模态合成还须保留必要的模态互谱。这条计算链说明风速谱、力谱和位移谱是不同对象。

全跨完全同步的均布脉动力对简支梁第二阶恰好相消；各处不完全同步时，第二阶一般可以受到激励。相干性减小并不总使每一阶响应都减小。与模态课堂的荷载位置和测点实验比较，可以分清荷载未激发、测点看不见与空间相消三种情形。

抖振的频域表达

对某一广义坐标 $q$，线性频域分析可概念化写为

$$S_q(f)=|H_q(f)|^2S_F(f), \qquad \sigma_q^2=\int_0^\infty S_q(f)\,\mathrm d f,$$

这里统一采用以频率 $f$（Hz）定义的一侧功率谱，$S_q$ 的单位为 m²/Hz。$S_F$ 为广义脉动风荷载功率谱，$H_q$ 为结构频率响应函数，$S_q$ 为响应功率谱。若用峰值因子 $g_p$ 从均方根响应估计峰值，可写为

$$q_{\max}\approx \overline q+g_p\sigma_q.$$

峰值因子不是固定常数，它与记录时长、带宽和超越概率有关。全桥抖振分析还需把不同位置的风速互谱、气动导纳和多个结构模态纳入，不能把单点风谱直接乘以静力影响线得到所有结果。

颤振的二自由度框架

以竖向位移 $h$ 和扭转角 $\theta$ 为广义坐标，桥面节段可写为

$$\begin{bmatrix} m_h&0\\0&I_\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot h\\\ddot\theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_h&0\\0&c_\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot h\\\dot\theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k_h&0\\0&k_\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h\\\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{se}\\M_{se} \end{bmatrix}.$$

$L_{se}$、$M_{se}$ 为与位移和速度有关的自激气动力；各惯性、阻尼、刚度及右端荷载须同取整段值，或同取单位桥长值。经典线性方法通过随约化频率变化的气动导数描述这些力。随风速增加求解复特征值，当某一模态的总阻尼降至零时得到线性颤振临界状态。这里 $h$ 与 $\theta$ 均为风致静平衡附近的扰动；$\alpha$ 留作风攻角。气动导数依赖断面外形、攻角、附属构造和试验方法；只拥有静力 $C_D$、$C_L$、$C_M$ 时不能完成耦合颤振计算。

风致现象机理对照汇列各现象的输入、运动反馈及响应特征。

在全宽 $B$ 的常用约定下，约化圆频率 $K=\omega B/U$，约化风速 $U_r=U/(fB)$，故 $K=2\pi/U_r$。不能把 $K$ 写成 $U/(fB)$。Scanlan模型中的速度项、位移项分别反映运动反馈；纯扭转情况下，常见记号 $A_2^*$ 对应角速度项，$A_3^*$ 对应转角项。使用原始导数数据时还须核对参考宽度、前置系数及正方向，不以教学归一化的 $a,b$ 直接代替颤振导数。

只在单一频率上观察谐波时，$\ddot\eta=-\omega^2\eta$，与加速度同相的作用可合并进频率相关的位移系数；这不等于空气惯性永远可以忽略。一般时域模型仍可显式含附加质量与记忆项。线性分析给出局部失稳起点，不能由此直接给出最终破坏幅度或非线性极限环。

墩柱非线性与截面—构件接口

桥墩是常规桥梁抗震分析中最常见的非线性构件，但“桥墩进入非线性”不能只用一个折减刚度表示。截面材料、轴力水平、配筋和约束决定弯矩—曲率关系；构件长度、边界和塑性区范围把曲率转化为转角与位移；体系模型再把构件变形分配到全桥。三个层级需要保持参数一致。

截面曲率可写为

$$\phi=\frac{\varepsilon_c-\varepsilon_s}{d},$$

其中 $\varepsilon_c$、$\varepsilon_s$ 分别为截面两侧相应位置的应变，$d$ 为两测点间距或有效高度。给定轴力 $N$ 后，通过截面应变协调、材料本构和内力平衡可得到 $M$—$\phi$ 曲线。屈服曲率 $\phi_y$、极限曲率 $\phi_u$ 及曲率延性

$$\mu_\phi=\frac{\phi_u}{\phi_y}$$

应注明判定定义。钢筋首次屈服、混凝土达到某压应变、保护层剥落或核心混凝土达到极限状态会给出不同的特征点，不能把软件自动标记当作统一物理定义。

集中塑性铰模型把非线性集中在构件端部，计算效率高，适合全桥非线性分析；分布塑性模型沿单元积分点描述材料非线性，更适合研究塑性发展和轴力变化，但对单元离散、积分规则和材料参数更敏感。两类模型的选择取决于问题，而不是精细程度的排序。

从截面到构件可作教学性位移分解。若墩柱等效为高度 $H$ 的悬臂，屈服前位移包含弹性曲率沿高度积分；进入塑性后，塑性转角可近似写为

$$\theta_p\approx(\phi-\phi_y)L_p,$$

其中 $L_p$ 为等效塑性铰长度。墩顶塑性位移与 $\theta_p$ 及转动中心到墩顶的距离有关。$L_p$ 是把分布塑性等效为集中转角的建模参数，其取值须与所用方法、构造和试验依据一致，不宜由教材给出脱离标准的固定比例。

支座、限位、碰撞与防落梁路径

地震时上部结构的惯性力通过支座、连接和桥墩传给基础。固定、活动、滑动、隔震和耗能支座在不同方向的力学行为不同；温度位移所需的活动方向与地震限位需求还可能产生矛盾。因此支承系统不能只用“固定端—活动端”的二维符号代表全部功能。

支座或限位装置的单调加载骨架曲线可概念化表示为

$$F(u)= \begin{cases} k_1u, & |u|\le u_y,\\ F_y+k_2(u-u_y), & u>u_y,\\ -F_y+k_2(u+u_y), & u<-u_y, \end{cases}$$

这里 $F_y=k_1u_y$ 保证骨架连续。它只给单调加载的力—位移关系；循环卸载和再加载还需另给历史相关规则。直接沿同一单值函数往返的净功为零，不能把这条骨架本身当成耗能滞回模型。

其中 $k_1$ 为初始刚度，$k_2$ 为屈服后或滑移后切线刚度，$u_y$、$F_y$ 为特征位移和力。实际装置还可能具有摩擦、速度、温度、老化和竖向力相关性。输入参数应来自产品试验、设计文件或适用标准，并保留试验温度、加载速率和循环次数。

相邻梁端或梁—桥台之间的间隙为 $g_c$。若相对位移

$$\Delta u(t)=u_1(t)-u_2(t)$$

需先规定正方向。令 $\Delta u=u_1-u_2$ 为闭合方向为正的相对位移，剩余间隙为

$$g(t)=g_c-\Delta u(t).$$

单侧接触在 $g\le0$ 时进入接触阶段，罚函数近似可取压缩力大小 $F_c=k_c\max(0,\Delta u-g_c)$，两物体承受等大反向力。$\Delta u<0$ 表示张开，不能用绝对值判成碰撞。仅当模型明确设有左右两侧等间隙限位时，才可分别检验 $\Delta u\ge g_c$ 与 $\Delta u\le-g_c$。接触刚度过大可能导致高频数值振荡和过小时间步，过小又会低估碰撞力和局部变形。碰撞结果应同时检查接触穿透量、时间步敏感性、能量和相邻构件的相位关系。若研究目的只是座宽和落梁风险，可能不需要用接触峰值力直接进行局部设计；若研究横梁或挡块受力，则需更合适的局部模型和材料破坏准则。

防落梁应按连续传力路径检查：梁体或横梁受力点—连接件—锚固区—墩台或相邻梁体。只给出拉杆直径而未验算锚固、安装间隙、斜向作用和可更换性，不能构成完整防护。座宽、挡块、连接装置和冗余措施的作用应区分：座宽提供位移容限，挡块限制相对运动，连接装置在规定阶段承担拉力或剪力，冗余构造降低单一装置失效的后果。

基础柔度、土—结构相互作用与多支点输入

把墩底完全固结可用于初步分析，但深水基础、软土、液化敏感场地或高墩桥梁可能受基础柔度影响。基础平动、转动和耦联刚度改变体系周期、墩柱弯矩分布及桩土需求。简化弹簧模型应说明弹簧方向、参考点、是否随位移退化以及是否包含群桩效应；精细土体模型则需说明本构、边界范围、初始应力和孔压条件。

若以六自由度刚度矩阵描述基础，可写为

$$\begin{bmatrix}\mathbf F\\\mathbf M\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf K_{tt}&\mathbf K_{tr}\\ \mathbf K_{rt}&\mathbf K_{rr} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf u\\\boldsymbol\theta\end{bmatrix},$$

其中下标 $t$、$r$ 分别表示平动与转动。若忽略耦联项，需证明其对研究响应不敏感。弹簧值来自静力荷载—位移关系时，用于循环地震响应还要考虑滞回、辐射阻尼和刚度退化；不同分析目标可能需要不同层级的基础模型。

长桥各支点的地震输入可能因波传播、场地条件和相干性而不同。多支点输入下，结构反应包含动力分量和支点相对位移引起的拟静力分量。此时不能把所有支点简单施加同一加速度并认为已覆盖不利情况。输入数据应说明各支点记录、时间延迟、相干模型、基线处理和位移相容性；模型坐标和支点方向应与地震动分量一致。

液化、侧向扩展和永久地面变形不同于仅输入地面加速度。它们可能通过桩土运动、土层强度退化或桥台位移向结构施加需求。教材交互可把基础柔度和支点时差设为概念参数，展示周期与梁端相对位移变化；项目设计必须由场地勘察、地震安全性评价及相应岩土分析支持。

地震分析的分级验证

抗震模型宜按由简到繁的顺序建立验证链，而不是直接在一个全桥非线性模型中同时调节全部参数。

1. 静力平衡层。 检查恒载反力、质量与重量换算、坐标方向和约束反力；
2. 线性动力层。 对照单墩或简化体系周期，检查振型方向、有效质量、基础柔度和支座耦联；
3. 反应谱层。 检查谱单位、阻尼修正、模态与方向组合、峰值符号和构件包络；
4. 单构件非线性层。 验证墩柱、支座、阻尼器和接触单元的骨架、循环及能量；
5. 全桥非线性层。 检查机制、收敛、时间步、输入组离散性、残余位移和能力保护；
6. 独立证据层。 用另一模型、试验、监测或审查计算验证最影响结论的响应。

每一级形成可归档检查表。进入下一层前，应明确上一层无法回答的问题；若线性模型已经暴露质量、边界或坐标错误，不宜通过调整非线性参数使结果“看起来合理”。