4  梁桥设计

4.2.2.1 只增加梁高：刚度与重量增长得一样快吗

固定矩形宽度 $b$ 和跨度 $L$，只把 $h$ 增大为原来的 $\lambda$ 倍，面积与单位长度自重均增为 $\lambda$ 倍，$I$ 增为 $\lambda^3$ 倍，$W$ 增为 $\lambda^2$ 倍。对全跨均布荷载的等截面简支梁，

$$M_{\mathrm{mid}}=\frac{qL^2}{8},\qquad |\sigma|_{\max}=\frac{qL^2}{8W},\qquad |v|_{\max}=\frac{5qL^4}{384EI}. \qquad(4.4)$$

这里 $q$ 是该片梁承受的总均布线荷载；最大弯矩和下挠都在跨中，最大应力绝对值位于跨中截面的上下缘。若外加荷载保持不变且暂不计自重，增高使应力按 $h^{-2}$、挠度按 $h^{-3}$ 下降；若荷载只有自身重量 $g_\mathrm{self}=\gamma_cbh$，应力仍按 $h^{-1}$、挠度按 $h^{-2}$ 下降。高度增加虽使梁更重，却可能让截面收益超过新增自重的代价。实际计算应把变化的自重与外加荷载一起计入。

算例：增加50%的高度，收益与代价分别是多少？取 $L=6.0\ \mathrm m$、$b=0.30\ \mathrm m$、$E_c=30\ \mathrm{GPa}$、混凝土重度 $\gamma_c=25\ \mathrm{kN/m^3}$，外加均布线荷载 $q_a=10\ \mathrm{kN/m}$。这是沿跨等截面、按未开裂毛截面刚度作的弹性对照，不是该钢筋混凝土梁的完整使用状态验算。0.60 m梁的毛截面拉应力已提示可能开裂，实际应力与挠度需结合第4.4节的开裂模型重算。

加高后的梁承受了更大的弯矩，却有较小的弹性应力与挠度，这并不矛盾：内力取决于荷载与体系，应力和变形还取决于截面与材料。进入开裂状态后，应再用与配筋、开裂和长期效应相适应的刚度计算。对连续梁，局部加高还会改变刚度分配及内力，不能照搬简支梁的“弯矩只随荷载改变”。

4.2.2.2 跨径增长：为什么不能一直把实心矩形放大

有三种容易混淆的比较，应分别理解。

第三行中，截面面积与单位长度重量按 $k^2$ 增长，梁长按 $k$ 增长，总重量按 $k^3$ 增长；自重弯矩还包含跨度的平方，所以按 $k^4$ 增长。在相同弹性应力限值下，以 $\sigma_\lim W$ 表示的弯矩限值只按 $k^3$ 增长，因而自重应力按 $k$ 增大，绝对挠度按 $k^2$ 增大，相对挠度 $|v|/L$ 按 $k$ 增大。

整体放大2倍时，总重量为8倍、自重弯矩为16倍，而截面模量仅为8倍；小梁的承载余量不会原样保留。这里比较的是同材料、相似截面、简支线弹性模型的几何尺度效应，不是混凝土材料尺寸效应公式，也不是各种桥梁统一的跨度限值。钢筋混凝土的真实受弯承载力还与配筋、材料强度和破坏形态有关，不能一律用 $\sigma_\lim W$ 代替。

跨度增长使实心截面的自重负担逐渐突出，工程上因而需要提高材料布置效率，或者采用预应力、调整体系及材料。较短的房屋梁、构造较简单的梁板仍常采用矩形截面，其模板、节点和施工方便也是收益。选型是在给定条件下比较综合效果，不是按外形宣布某种截面总比另一种好。

4.3.2.1 一片主梁拿到荷载以后，怎样得到纵向内力

取靠近车辆的第5片梁。横向模型给它36 kN，这个数表示该梁获得的跨中向下荷载，不是它的端支反力。在 $L=20\ \mathrm m$ 的纵向简支隔离体上，两个端反力各为18 kN，跨中正弯矩为

$$M_{5,\max}=R_5\frac L4=36\times\frac{20}{4}=180\ \mathrm{kN\cdot m}.$$

五片梁的跨中弯矩依次为60、90、120、150、180 kN·m，合计600 kN·m，与把整车120 kN置于20 m整桥跨中得到的 $PL/4$ 相同。总弯矩能对上，只说明整体平衡正确；若只计算整桥总弯矩，仍看不出哪片梁达到局部控制值。每片梁的自重及其他分布作用还须按各自来源叠加，最后依据第3章确定相应组合。

4.3.2.2 从单轮比例到整轴、车列和内力

取单位轮载在横向位置 $y$ 的分担比例为 $\eta_i(y)$，实际轮载 $P_j$ 分给第 $i$ 片梁的作用为 $P_j\eta_i(y_j)$。一根轴有两个等重车轮、轴重为 $P_{\mathrm{axle}}$ 时，

$$R_i=\frac{P_{\mathrm{axle}}}{2}\left[\eta_i(y_1)+\eta_i(y_2)\right].$$

若以整轴重量为基准，系数就是括号内之和的一半。把以轮重定义的系数直接乘整轴重量，会多算一倍。四个轮子纵向位置不同时，各轮分给主梁的力还要放在各自的纵向位置，并与该响应的纵向影响线相乘求和；不能把真实四轮作用都挪到跨中后仍称为同一精确工况。

杠杆法把局部板带看作支承在相邻梁上的简支条带，利用静力平衡求邻梁份额；刚性横梁法进一步利用整条横向结构保持直线的条件；梁格和板壳模型显式保留有限横向刚度、扭转及连接变形。方法的选择来自构造与所求响应。上面的 $\eta_i$ 是本理想模型、指定位置和工况的荷载分担比例，不能不加说明地当成适用于所有截面、内力及规范组合的通用横向分布系数。

4.3.3.1 一块板，为什么不能先切成互不联系的梁条？

取两根纵向主梁与两道横向支承线围成的矩形板，令 $x$ 顺桥向、$y$ 横桥向、$z$ 竖直向上。为把问题说清楚，先把四条支承线理想化为简支边。主梁与横向构件的实际弹性、连续性及连接刚度，稍后再恢复。本例是独立机制算例：短跨2.00 m不等于前述五梁模型的2.40 m梁距，也不与第4.4节的 C30 主梁共用尺寸和荷载，参数列在下表中。

二维板中面上每一点的挠度是 $w(x,y)$。沿 $y$ 方向想象的一米宽条带，与旁边条带连成整体；它们不能各自任意下沉或转动。因此，板中既有横向弯矩 $m_y$、纵向弯矩 $m_x$，也可能有扭矩 $m_{xy}$。其中 $m_y$ 指作用在法线沿 $y$ 的截面上、使 $y$ 向板条弯曲的弯矩，不是绕 $y$ 轴的力矩分量。本节取使板底受拉的弯矩为正，单位均为 $\mathrm{kN\cdot m/m}$。

板弯曲刚度为

$$D_p=\frac{E_ct^3}{12(1-\nu^2)} =\frac{32.5\times10^9\times0.2^3}{12(1-0.2^2)} =22.5694\times10^6\ \mathrm{N\cdot m}.$$

该 $D_p$ 不是一根一米宽梁的 $EI$：前者保留板的泊松耦合，后者按实际条带截面 $I=1\times t^3/12$ 计算。写出单位，有助于避免把板的单位宽度弯矩直接当成整根梁的弯矩。

交互中的三维变形、二维俯视图和剖面曲线来自同一次 MITC4 板/壳求解。它在平直板的横向受载子空间中保留节点挠度和两个转角，面内与钻转自由度与本问题解耦。空间外观通过中面位移和给定板厚生成，显示放大倍数不进入任何计算。

为与独立的 Navier 简支板基准严格对应，除 $w=0$ 外，在 $x=0,L_x$ 边令 $r_x=0$，在 $y=0,L_y$ 边令 $r_y=0$，即使边上的转角与该边切向挠度为零相容。允许的法向弯曲转动不锁死。这些是本例明确选择的理想边界，不应照抄成任一实际梁间板的连接条件。

4.3.3.2 例：先算板，再检验一米条带的近似

第一步，计算板并核对基准。 对上述 $4\times2\ \mathrm{m}$ 板，沿 $x$、$y$ 分别划分 $64\times32$ 个规则单元，得到中心下挠 $0.14752\ \mathrm{mm}$，中心纵、横向弯矩约为

$$m_x=2.929\ \mathrm{kN\cdot m/m},\qquad m_y=7.982\ \mathrm{kN\cdot m/m}.$$

挠度取中心节点值；中心弯矩取紧邻该点的四个单元中心值的对称平均，用于和级数解在同一位置比较，不把它称为全板峰值。按相同边界独立计算的 Navier–Mindlin 级数解给出 $w=0.147645\ \mathrm{mm}$、$m_x=2.936\ \mathrm{kN\cdot m/m}$、$m_y=7.995\ \mathrm{kN\cdot m/m}$。保留板弯曲而忽略横向剪切变形的薄板级数解为 $0.143609\ \mathrm{mm}$；这两个挠度的区别来自理论假定，不能全算作有限元误差。

网格加密后，数值向独立解靠近；最后两组的原始积分点最大正横向弯矩变化约为 $0.074\%$。这比“云图看起来很平滑”更能说明该工况下结果是否稳定。四边竖向反力之和为 $160\ \mathrm{kN}$，与输入荷载一致。

第二步，沿短跨取一米宽条带。 若忽略顺桥向支承对中部板的分担，把长度 $L_y=2\ \mathrm{m}$、宽度 $\Delta x=1\ \mathrm{m}$ 的板条按简支梁计算，则

$$q_l=p\Delta x=20\times1=20\ \mathrm{kN/m},\qquad M_y=\frac{q_lL_y^2}{8}=10.0\ \mathrm{kN\cdot m}.$$

换回单位宽度弯矩，$m_y=M_y/\Delta x=10.0\ \mathrm{kN\cdot m/m}$。因此在本例均布、四边简支工况下，一米条带给出的中部短跨弯矩比板解大。这不是所有板、所有荷载和所有边界下均成立的保守性结论。 遇到连续板支点、悬臂根部、局部轮压、软支承或明显扭曲，应重新说明保留和舍去的传力条件。

上述比较保持短跨、板厚、材料和压力不变，网格沿短跨均为 32 等分，单元边长相同。板越长，远处横向支承线对板中区域的分担越弱，$m_y$ 越接近单向条带的 $10.0\ \mathrm{kN\cdot m/m}$。但即使趋近很长的板，若顺桥向曲率近于零，板的泊松耦合仍可使 $m_x\approx\nu m_y$；“主要沿一个方向传力”并不等于“另一个方向没有弯矩和钢筋”。

第三步，改变厚度，区分内力与变形。 保持 $4\times2\ \mathrm{m}$、$20\ \mathrm{kN/m^2}$ 和同一边界：

等厚线弹性板整体加厚时，外荷载和边界未改变，弯矩不会按 $t^3$ 同比减小；变化明显的是挠度和由弯矩对应的截面应力。上述压力被固定，没有另加随板厚变化的自重。若比较实际增厚方案，需把新增自重一并放回，不能把这张表直接理解成工程方案的净收益。

第四步，改成有限面积的局部加载。 交互还给出中央 $1.0\times0.4\ \mathrm{m}$ 范围内合力 $40\ \mathrm{kN}$ 的工况，压力为 $100\ \mathrm{kPa}$，用以看清局部弯曲。该荷载面是给定的教学加载区域，不冒称轮胎接触面或规范扩散宽度。采用 $64\times32$ 网格时中心下挠为 $0.10853\ \mathrm{mm}$，中心 $m_y\approx7.910\ \mathrm{kN\cdot m/m}$；加密到 $96\times48$ 后为 $0.10861\ \mathrm{mm}$ 和 $7.950\ \mathrm{kN\cdot m/m}$。此时局部弯矩比位移更敏感，不能把 $40\ \mathrm{kN}$ 压到一个节点上，再将该节点附近的应力峰值用于配筋。

板内弯矩怎样换成两向钢筋，见第4.4节的每米板条配筋。先明确板的作用与弯矩，掌握拉压合力平衡后，再完成同一板例的截面设计。

4.3.3.3 横隔板变软，为什么主梁分力会改变？

横向整体平衡只能给出总竖向力及总力矩，不能单独确定五根主梁的五个分力。还需要变形协调和刚度关系。前述刚性横向联系近似要求同一横截面的竖向位移近似成一直线；真实横隔板、横梁和桥面板有有限刚度，主梁之间可以出现相对挠曲，因此分力会改变。

另取一个独立的三梁机制算例说明（梁距、纵梁等效刚度见下表，不沿用前述五梁参数）：在同一个纵向位置取横截面，三根主梁位于 $y=-d,0,d$，把各主梁在该位置的竖向柔度等效为相同弹簧刚度 $k$。这些弹簧代表纵向主梁的弯曲响应，不是三座实体桥墩。三个节点由一根两端无端弯矩、抗弯刚度为 $EI_t$ 的连续横梁连接；在中间节点施加新增竖向力 $P$，下文反力、位移和内力均为该作用引起的增量。本例为小变形对称模型，不含桥面板的其他传力路径，也不把真实整车荷载都归给一道中横梁。

由对称性，两侧主梁反力相等，记为 $R_o$；中间反力为 $R_c=P-2R_o$。弹簧给出 $w_o=R_o/k$、$w_c=(P-2R_o)/k$。横梁在中间节点相对于两端连线的挠度为

$$w_c-w_o=\frac{(2R_o)(2d)^3}{48EI_t} =\frac{R_od^3}{3EI_t}.$$

联立得到

$$\eta=\frac{3EI_t}{kd^3},\qquad R_o=\frac{P\eta}{1+3\eta},\qquad R_c=\frac{P(1+\eta)}{1+3\eta}.$$

取 $P=120\ \mathrm{kN}$、$d=2\ \mathrm{m}$、$k=20\ \mathrm{MN/m}$：

横梁越柔，中间受载主梁承担的份额越大；横梁越刚，三梁越接近共同下沉。在 $\eta=1$ 时，$w_o=1.5\ \mathrm{mm}$、$w_c=3.0\ \mathrm{mm}$，相对挠度 $1.5\ \mathrm{mm}$ 与横梁公式一致；横梁中间截面的弯矩为 $R_od=60\ \mathrm{kN\cdot m}$。因此，相邻梁分力和横梁自身内力是同一模型里的两项不同输出。不能拿到主梁分配系数，就认为横隔板已经完成设计。

现有多梁桥横向分担交互可用于观察车位和主梁竖向刚度差异；其中横向连接仍按刚性处理，界面上的“末号梁刚度”不是横隔板刚度。要进一步研究实际横隔板刚度、数量或连接改变，应在板–梁或梁格模型中保留相应构件及连接，再逐项比较。

4.3.6.1 连续梁的反力由变形条件决定

两等跨连续梁有三个竖向支反力，平面竖向荷载只能提供合力、合矩两个独立平衡条件。还缺少的条件来自梁的连续变形：中支点必须停在规定高程，梁在该处没有被铰断。支座允许梁转动，不代表梁体内部的弯矩必须为零。

把中支座B暂时去掉，保留梁体连续，得到全长 $L_\Sigma=40\ \mathrm m$ 的简支基本体系。取 $q=100\ \mathrm{kN/m}$、$E=30\ \mathrm{GPa}$、$I=0.576\ \mathrm{m^4}$，有 $EI=17.28\times10^6\ \mathrm{kN\cdot m^2}$。竖向位移向上为正，均布荷载使B点自由下沉：

$$v_{q,B}=-\frac{5qL_\Sigma^4}{384EI}=-192.90\ \mathrm{mm}.$$

在同一位置施加向上的未知力 $R_B$，它造成的向上位移为 $f_{BB}R_B$，其中

$$f_{BB}=\frac{L_\Sigma^3}{48EI}=0.0771605\ \mathrm{mm/kN}.$$

$f_{BB}$ 是这个基本体系在B点的柔度，不是混凝土的材料系数。中支点不沉降时要求 $v_{q,B}+f_{BB}R_B=0$，因而

$$R_B=2500\ \mathrm{kN},\qquad R_A=R_C=\frac{qL_\Sigma-R_B}{2}=750\ \mathrm{kN}.$$

对左半梁取矩可得 $M_B=750\times20-100\times20^2/2=-5000\ \mathrm{kN\cdot m}$，与两等跨连续梁公式 $-q\ell^2/8$ 相同，式中每跨长度 $\ell=20\ \mathrm m$。全长40 m和单跨20 m不能混用。

图中可以分别查看释放体系的下挠、冗余反力的抬升和两者叠加后的连续梁。图上的三维梁、正交侧视、弯矩图与位移读数来自同一组数据；中支点不是把总荷载简单平均分给三个支座。

4.3.6.2 支座沉降为何产生附加内力

若B支座向下沉降 $s>0$，规定的位移变成 $-s$，兼容方程改为

$$v_{q,B}+f_{BB}R_B=-s,\qquad \Delta R_B=-\frac{s}{f_{BB}}.$$

取 $s=10\ \mathrm{mm}$，得到 $\Delta R_B=-129.60\ \mathrm{kN}$，两个端反力各增加64.80 kN。中支点弯矩增量为

$$\Delta M_B=-\frac{L_\Sigma}{4}\Delta R_B=+1296\ \mathrm{kN\cdot m}.$$

因此 $R_B=2370.40\ \mathrm{kN}$、$M_B=-3704\ \mathrm{kN\cdot m}$。这里外荷载完全没有增加；附加内力来自结构被要求发生一种受约束的变形。对简支梁，两端相对沉降可通过刚体转动适应，在小位移理想模型下不会产生同类弯矩；连续梁则必须同时保持连接和支点高程，所以结果不同。

均匀温变、温度梯度、收缩、徐变及预应力引起的变形是否产生附加内力，也要先问相应自由变形是否受到约束。不能把这些效应一律当作额外竖向荷载。预应力次内力将在第4.4节沿用这根梁进一步计算。

4.3.6.3 改变局部梁高，内力和应力可能朝不同方向变化

连续梁中增加支点附近刚度，会改变整根梁的变形协调。现有变高梁案例在相同100 kN/m外荷载下，把墩顶梁高由1.2 m增为2.4 m、保持跨中1.2 m，计算得到中支点弯矩从−5000.00变为−7051.37 kN·m，而第一跨几何中点下挠从4.823减至2.620 mm。支点负弯矩增大，并不意味着加高无效：较大的截面模量和刚度仍可能降低应力及变形，但这些量必须分别计算。

该模型两跨各20 m，矩形截面宽4 m、$E=30\ \mathrm{GPa}$，顶面保持水平。取 $x$ 自左端量，$u=\max(0,1-|x-20|/8)$，加高方案的 $h(x)=1.2+1.2u^2$（m），即加高范围为中墩两侧各8 m。所列比较暂未另加自重；开启自重后须按 $25bh(x)$ 重算荷载。给出变高范围及曲线，才能复算刚度分配，只有“墩顶高2.4 m”还不足以定义模型。

变高度连续梁的同体剖切与内力保留了原来的详细解释，可在同一截面看几何、内力、名义应力和变形。先保持外荷载不变以分离刚度影响，再打开按实际面积计算的自重；新增自重与重新分配的内力一起进入比较。这里的“重新分配”是线弹性变刚度结构之间的比较，不是塑性铰形成后的塑性内力重分配。

4.4.2.1 从应力分布到两个合力

这张三维图先采用下文完整例题选配的3Φ20截面。$b,h,h_0,a_s$ 标在真实尺寸线上，$A_s$ 的引线分别连接3根钢筋的圆截面；$f_{cd},f_{sd}$ 标在应力小箭头上，$C,T$ 标在整组应力的合力粗箭头上；$x,c_n,z$ 分别连接等效压块、中性轴和两合力间距。弧箭头给出抗弯力偶 $M_u$，并与本题需求 $M_{Ed}$ 比较。全部参数随同一个模型旋转，点标注可读相应物理含义；分组按钮只控制标注显隐，不改变计算对象。

取正弯矩梁的左段为隔离体，在其右侧切面上，上部压力 $C$ 指向梁内，下部拉力 $T$ 指向梁外。两力方向相反、作用线不重合。当截面无轴力时，轴向平衡要求 $C=T$，但它们的力矩不会抵消，而是形成抗弯力偶。若改变隔离体，两个箭头同时反向；不能在同一切面把两个力画成同向。

在受拉钢筋达到设计应力、忽略受拉混凝土、采用等效矩形压应力图的条件下，

$$T=f_{sd}A_s,\qquad C=f_{cd}bx,\qquad C=T. \qquad(4.8)$$

式 4.8 与 式 4.9 是按JTG 3362—2018第5.2.2条、在本节单筋及钢筋达到设计应力条件下采用的平衡与抗力关系。这里的 $x$ 是等效矩形压块高度，其压力重心位于距受压边 $x/2$ 处；$h_0$ 是受压边至受拉钢筋合力点的距离。因此，内力臂和抗弯承载力为

$$z=h_0-\frac{x}{2},\qquad M_u=Cz=Tz. \qquad(4.9)$$

对拉力点取矩，可写成 $M_u=f_{cd}bx(h_0-x/2)$；对压力点取矩，可写成 $M_u=f_{sd}A_s(h_0-x/2)$。这是同一个弯矩的两种算法，不能把两个结果相加。未知量是 $x$ 与 $A_s$，力平衡与力矩平衡提供两个独立关系。

中性轴深度另记为 $c_n$，不能与 $x$ 混用。C30混凝土在本规范等效压块模型下取 $x=\beta c_n$、$\beta=0.80$。应变图中应变为零的位置是 $c_n$，矩形压块的下缘是 $x$。两者的差别来自对非线性压应力图的等效，不是绘图误差。

4.4.2.2 例4-2　由115 kN·m设计需求到3Φ20，再返回截面复核

这个例题沿用原《结构设计原理》课程的单筋矩形截面。先给定截面设计需求，使读者能完整完成一次正截面设计；它与例4-1的30 m主梁不是同一根梁，不能直接互换荷载或尺寸。若要把需求还原为一个可独立核算的整体模型，可取计算跨径 $L=6.0\ \mathrm m$ 的简支梁，在题定组合下施加已合并重要性系数的均布设计线荷载 $q_{Ed}=25.5556\ \mathrm{kN/m}$。于是 $M_{Ed}=q_{Ed}L^2/8=115.00\ \mathrm{kN\cdot m}$，支点剪力需求为 $q_{Ed}L/2=76.67\ \mathrm{kN}$。这是为贯通“荷载—内力—截面”而构造的教学等效荷载，已经包含该组合中的自重份额，不应再重复叠加自重；本题的正截面计算并未完成这个剪力需求的验算。

（1）先把输入分成几何、材料和需求。

（2）先由弯矩求压块高度，再由力平衡求钢筋面积。

令需求等于待求截面的抗力，

$$115\times10^6=13.8\times250\,x\left(460-\frac{x}{2}\right).$$

取满足几何与适筋条件的小根：

$$x=h_0-\sqrt{h_0^2-\frac{2M_{Ed}}{f_{cd}b}} =79.30\ \mathrm{mm},$$

$$A_{s,\mathrm{req}}=\frac{f_{cd}bx}{f_{sd}} =\frac{13.8\times250\times79.2989}{330} =829.03\ \mathrm{mm^2}.$$

根式中若出现负数，说明在这组材料和截面下，代数方程已没有实根；即使有实根，还必须检查适筋上限，不能只看计算器是否给出一个面积。

（3）同时检查配筋的下限和上限。

受弯构件采用 $\rho=A_s/(bh_0)$。按第9.1.12条，将配筋百分率换成无量纲比值后，

$$\rho_{\min}=\max\left(0.002,\,0.45\frac{f_{td}}{f_{sd}}\right) =\max(0.002,0.001895)=0.002, \qquad(4.10)$$

$$A_{s,\min}=0.002\times250\times460=230.00\ \mathrm{mm^2}.$$

第5.2.2条所用适筋条件还要求：

$$x<\xi_bh_0. \qquad(4.11)$$

所需面积829.03 mm²高于最小值；$x=79.30\ \mathrm{mm}<\xi_bh_0=243.80\ \mathrm{mm}$，也在采用受拉钢筋设计应力的适筋范围内。下限防止配筋过少使开裂后的受力突变过大；上限保证所用屈服假定成立，并保持适当延性。两项不是同一个检查。

（4）由连续面积转为实际钢筋，并核对放得下。

钢筋只能按根数和直径选用。下面保留少量相邻方案，便于看清面积选择并非只按“多一点”判断。

选用3Φ20，单层等间距布置。沿用原课程题给的带肋钢筋外廓直径 $d_{out}=22.7\ \mathrm{mm}$ 与箍筋直径8 mm；三根主筋中心距左右边分别取40 mm，中心横坐标为40、125、210 mm，距底面40 mm。公称直径20 mm用于面积计算，题给外廓22.7 mm用于空间净距；二者不能互换。对应箍筋外缘至混凝土表面的净保护层为

$$c_{cover}=40-\frac{22.7}{2}-8=20.65\ \mathrm{mm},$$

相邻主筋净距为

$$s_n=\frac{250-2\times40}{2}-22.7=62.30\ \mathrm{mm}.$$

该排布满足题定20 mm最小保护层及第9.3.3条单层钢筋净距不小于30 mm、并不小于钢筋直径的要求；混凝土浇筑、振捣、弯钩、端部锚固和施工允许偏差仍应在详图中落实。$a_s=40\ \mathrm{mm}$ 是钢筋重心位置，绝不能直接标注为40 mm保护层。本例箍筋直径用于说明排布，并未由此完成箍筋面积和间距的受剪设计。

（5）必须用选配后的面积重新计算。

$$A_{s,\mathrm{prov}}=3\frac{\pi20^2}{4}=942.48\ \mathrm{mm^2},\qquad x_{\mathrm{prov}}=\frac{330\times942.4778}{13.8\times250}=90.15\ \mathrm{mm}.$$

$$C=T=330\times942.4778\times10^{-3}=311.02\ \mathrm{kN},\qquad z=460-90.1501/2=414.92\ \mathrm{mm},$$

$$M_u=311.0177\times0.414925=129.05\ \mathrm{kN\cdot m}>115\ \mathrm{kN\cdot m}.$$

同时，$\rho_{\mathrm{prov}}=0.820\%>0.2\%$，$x_{\mathrm{prov}}/h_0=0.196<0.53$。本题由选筋引起的 $M_u/M_{Ed}=1.122$ 是抗力与需求的比较值，不是另加的规范安全系数。至此完成所列条件下的正截面受弯设计；裂缝、挠度、受剪、锚固和其他构造仍需分别检查。

在原三维例题中，“按目标求配筋”回到829.03 mm²；当前入口先展示3Φ20对应的942.48 mm²和129.05 kN·m。正视与三维观察使用同一个截面，正视便于观察等效压块 $x$ 及其与界限高度的关系，$c_n,h_0$ 对照前面的力偶示意图；旋转后可观察拉力、压力沿梁轴的相反方向。图中的显示钢筋用于表现受力分工，具体3Φ20排布以本题坐标和净距计算为准。

增加 $A_s$ 会同时增大 $T$、加深 $x$、减小 $z$，所以抗弯能力不会与钢筋面积简单成正比。在适筋矩形模型中，

$$M_u=f_{sd}A_sh_0-\frac{f_{sd}^2A_s^2}{2f_{cd}b},\qquad \frac{\mathrm dM_u}{\mathrm dA_s}=f_{sd}(h_0-x).$$

这说明每增加相同面积钢筋，得到的抗弯增量逐渐减小。超过适筋界限后，混凝土达到极限时钢筋可能尚未屈服，应改用应变协调和实际钢筋应力求平衡。交互中的设计实线在界限处停止增长，表示本设计路线的取值上限；模型虚线展示超筋趋势，不能据此声称实际抗力物理上恒定，也不能把虚线结果直接作为推荐配筋。

4.4.2.3 同一3Φ20截面：开裂为什么使应力与刚度改变

极限承载力的等效矩形压块不能拿来求普通使用荷载下的弹性应力。仍取上述3Φ20截面，令 $E_c=3.00\times10^4\ \mathrm{MPa}$、$E_s=2.00\times10^5\ \mathrm{MPa}$，则弹性模量比 $n=E_s/E_c=6.667$。下述模型忽略钢筋自身绕重心的惯性矩、混凝土徐变、收缩和裂缝间混凝土的受拉作用，用来解释截面机制。

未开裂时，先找换算截面形心。混凝土毛截面已包含钢筋位置占据的面积，因而只额外增加 $(n-1)A_s$；若再加 $nA_s$，会把那部分混凝土重复计算。自顶面向下量，

$$A_0=bh+(n-1)A_s,\qquad \bar y_0=\frac{bh(h/2)+(n-1)A_sh_0}{A_0}=258.60\ \mathrm{mm},$$

$$I_0=\frac{bh^3}{12}+bh\left(\frac h2-\bar y_0\right)^2 +(n-1)A_s(h_0-\bar y_0)^2 =2.8300\times10^9\ \mathrm{mm^4}.$$

取使用状态示例弯矩 $M_s=20\ \mathrm{kN\cdot m}$，顶面混凝土压应力大小为 $M_s\bar y_0/I_0=1.828\ \mathrm{MPa}$，底面拉应力为 $M_s(h-\bar y_0)/I_0=1.706\ \mathrm{MPa}$，钢筋拉应力为 $nM_s(h_0-\bar y_0)/I_0=9.488\ \mathrm{MPa}$。同高度钢筋应力是等效混凝土应力的 $n$ 倍，不能把应变相同说成应力相同。

以C30轴心抗拉强度标准值 $f_{tk}=2.01\ \mathrm{MPa}$ 作本弹性模型的开裂判据，可得

$$M_{cr,el}=\frac{f_{tk}I_0}{h-\bar y_0}=23.56\ \mathrm{kN\cdot m}.$$

该值只表示所列理想弹性模型中底缘首先达到所取抗拉强度；未计入规范抗裂计算的截面塑性等因素，不能直接替代预应力构件的规范开裂弯矩公式或裂缝宽度验算。

裂缝截面处，舍去受拉混凝土并重新满足轴向平衡。此时混凝土受压区为三角形弹性应力图，受压深度记为 $c_{cr}$，它不是前面的极限等效压块高度 $x$。换算钢筋位于被舍去的受拉区，要保留完整的 $nA_s$。由换算截面对中性轴的一次矩为零，

$$\frac{bc_{cr}^2}{2}=nA_s(h_0-c_{cr}),\qquad c_{cr}=128.99\ \mathrm{mm},$$

$$I_{cr}=\frac{bc_{cr}^3}{3}+nA_s(h_0-c_{cr})^2 =0.8673\times10^9\ \mathrm{mm^4}=0.3065I_0.$$

取独立的使用状态示例弯矩 $M_s=60\ \mathrm{kN\cdot m}$，裂缝截面顶面混凝土压应力为 $M_sc_{cr}/I_{cr}=8.924\ \mathrm{MPa}$，钢筋拉应力为 $nM_s(h_0-c_{cr})/I_{cr}=152.67\ \mathrm{MPa}$。相同弯矩下，完全开裂模型的曲率是未裂模型的 $I_0/I_{cr}=3.263$ 倍，解释了开裂后梁为什么更易弯曲。真实梁的裂缝间混凝土仍能参与受拉，整梁刚度还受裂缝分布、荷载持续时间和徐变影响，不能把 $0.3065I_0$ 无条件用于全跨长期挠度。

该交互固定几何和钢筋，允许比较未裂、完全开裂两种弹性模型，并在20、60 kN·m两个已算工况间切换。应力显示采用压力、拉力的大小；零线和受压/受拉区域均就近标出。它用于核对上述数值与趋势，不计算裂缝宽度或规范挠度限值。

4.4.2.4 排筋重心、双筋力偶与T形压区

先分清“两排受拉筋”与“双筋截面”。如果上下两排钢筋均在受拉区，它们只是分层布置的受拉钢筋。在各排钢筋应力相同的假定下，有效高度量至面积重心：

$$h_0=\frac{\sum_iA_{s,i}y_i}{\sum_iA_{s,i}},$$

其中 $y_i$ 自受压边量至各排钢筋中心。若各排尚未达到相同应力，应按力而非面积求合力点，即 $h_0=\sum T_iy_i/\sum T_i$。多排钢筋使重心上移时，$h_0$ 会减小；不能只累计钢筋面积而沿用最下排的高度。原三维第二例的5Φ20正是两排受拉筋，题给 $h_0=313\ \mathrm{mm}$，采用本设计路线的界限抗力约105.33 kN·m，低于需求120 kN·m，增加根数并未消除截面高度不足的问题。

双筋截面在受压区也配置参与计算的纵筋。当梁高受限、单筋方案不能满足需求时，可把抗弯内力分为“原单筋基础部分”和“新增钢筋对”两部分。当两侧钢筋都达到相应设计应力时，JTG 3362—2018第5.2.2条的相应平衡和抗力关系为

$$f_{sd}A_s=f_{cd}bx+f'_{sd}A'_s. \qquad(4.12)$$

$$M_u=f_{cd}bx(h_0-x/2)+f'_{sd}A'_s(h_0-a'_s). \qquad(4.13)$$

其中 $A'_s$ 为受压钢筋面积，$f'_{sd}$ 为其抗压强度设计值，$a'_s$ 为受压边至该组钢筋合力点的距离；三维图中的上部钢筋对照这一项。以下为与原三维双筋例一致的独立工况，不能沿用前题的250 mm宽、460 mm有效高度。

先取界限压块高度 $x_b=\xi_bh_0=204.05\ \mathrm{mm}$，单筋基础部分的受拉面积与抗力为

$$A_{s,1}=\frac{f_{cd}bx_b}{f_{sd}}=2559.90\ \mathrm{mm^2},\qquad M_b=f_{cd}bx_b(h_0-x_b/2)=239.05\ \mathrm{kN\cdot m}.$$

尚差 $\Delta M=300-239.04794=60.95\ \mathrm{kN\cdot m}$。增加一组上压、下拉钢筋，其力臂为 $z_s=h_0-a'_s=345\ \mathrm{mm}$。当上下新增钢筋采用相同设计应力时，两者新增面积相等：

$$\Delta A_s=A'_s=\frac{\Delta M}{f_{sd}(h_0-a'_s)} =535.37\ \mathrm{mm^2}.$$

$$\Delta C_s=\Delta T_s=176.67\ \mathrm{kN},\qquad \Delta M=176.67\times0.345=60.95\ \mathrm{kN\cdot m}.$$

于是，上部受压筋计算面积为535.37 mm²，下部受拉筋计算总面积为 $2559.90+535.37=3095.27\ \mathrm{mm^2}$。相等的是新增的上下钢筋面积，不是整个截面上、下钢筋的总面积。这里相加的是两个独立内力部分的弯矩 $M_b+\Delta M$；与前面同一力偶的 $Cz$ 和 $Tz$ 相加有本质区别。

本例 $x_b>2a'_s$，符合所用受压钢筋设计应力分支的高度条件。用平截面再核对，$c_n=x_b/0.8=255.06\ \mathrm{mm}$，顶面压应变取0.0033时，受压钢筋应变约0.00278，大于所取屈服应变 $330/200000=0.00165$。这是基础配筋面积的设计分解；实际选根数、布置、重算重心及严格适用条件仍需后续完成。取 $x=x_b$ 是本例构造设计分解的界限状态，不代表任意双筋梁都固定在界限压区。

“分开看钢筋对”和“插入梁中”移动的是同一组新增钢筋，便于追踪上部压力和下部拉力；这只是内力的计算分解，真实钢筋与混凝土仍在同一截面共同变形。保持新增面积不变而下移受压筋，会缩短 $z_s$、降低新增抗力；不能只说“多放上筋就一定增加同样多的承载力”。

T形截面改变的是压区几何。正弯矩下上翼缘受压，若等效压块位于翼缘内，即 $x\le h'_f$，压区面积为 $b'_fx$，压力重心仍在 $x/2$；可按宽度为有效翼宽 $b'_f$ 的矩形计算。这里的有效翼宽是用于整体受弯的计算宽度，须按规范及支承、跨径、构造条件确定，不能直接把整桥宽度填入。

压块进入腹板后，应拆分腹板矩形和两侧翼缘外伸部分：

$$f_{sd}A_s=f_{cd}\left[bx+(b'_f-b)h'_f\right], \qquad(4.14)$$

$$M_u=f_{cd}bx\left(h_0-\frac x2\right) +f_{cd}(b'_f-b)h'_f\left(h_0-\frac{h'_f}{2}\right). \qquad(4.15)$$

仍是力平衡与力矩平衡，区别只在受压面积和压力重心的求法。负弯矩使上部翼缘受拉时，不能继续照搬“上翼缘参与受压”的模型。

原三维第四例取 $b=250\ \mathrm{mm}$、$b'_f=650\ \mathrm{mm}$、$h=500\ \mathrm{mm}$、$h_0=460\ \mathrm{mm}$、$h'_f=100\ \mathrm{mm}$，采用与单筋例相同材料，配筋 $A_s=2200\ \mathrm{mm^2}$。由平衡得 $x=80.94\ \mathrm{mm}<h'_f$，$M_u=304.58\ \mathrm{kN\cdot m}$。与宽650 mm、高500 mm的矩形相比，两者在这个工况下的压区和抗力相同；T形混凝土面积为165000 mm²，矩形为325000 mm²，相同长度和容重下前者混凝土自重约为后者的50.8%。节约的是本工况中不进入等效压块的下部混凝土，仍须保留足够腹板满足受剪、配筋及构造，不能据此无限挖空。

本例先比较抗力和自重；网页在切到配筋曲线后保留的400 kN·m默认目标是另一道设计任务，当前2200 mm²配筋并未满足这一目标。当 $A_s$ 增至2718.18 mm²时，$x=100\ \mathrm{mm}$，恰到翼缘底部。继续增加相同钢筋面积，需要更大的压区深度增量，因为腹板比翼缘窄。$x$ 对 $A_s$ 的变化率在这里由 $f_{sd}/(f_{cd}b'_f)$ 变为 $f_{sd}/(f_{cd}b)$，增为2.6倍；抗弯曲线的一阶斜率则连续，不能把压区深度曲线的折角照搬到抗弯曲线上。

矩形、T形和变宽截面都可统一写成 $C=f_{cd}\int_0^x b(y)\,\mathrm dy$、$M_u=f_{cd}\int_0^xb(y)(h_0-y)\,\mathrm dy$。积分中的 $b(y)$ 是该深度实际参加受压的净宽度，有孔洞时应扣除孔洞宽度。几何表达可以统一，受力假定、适筋界限、有效宽度和构造条件仍须针对具体截面核实。